Математический анализ в задачах и упражнениях. Злобина С.В., Посицельская Л.Н.

М.: 2009 - 360 с.

Пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания математического анализа в вузах и охватывает все разделы дифференциального и интегрального исчисления функций одной действительной переменной. По каждой теме даны краткие теоретические сведения и упражнения, решения задач, задачи для самостоятельной работы и задания для контрольных работ. Пособие предназначено студентам высших и средних специальных учебных заведений. Будет полезно также учителям математики, ученикам профильных физико-математических классов и школьникам, интересующимся математикой.

Формат: pdf

Размер: 2,2 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 12
I. Введение в математический анализ
Глава 1. Числовые множества и функции на них 15
1. Числовые множества 15
1.1. Основные понятия и теоремы 15
1.2. Теоретические упражнения 16
1.3. Примеры решения задач 16
1.4. Задачи для самостоятельной работы 17
2. Метод математической индукции 17
2.1. Основные понятия и теоремы 17
2.2. Примеры решения задач 18
2.3. Задачи для самостоятельной работы 20
3. Ограниченные множества. Верхняя и нижняя грани 20
3.1. Основные понятия и теоремы 20
3.2. Теоретические упражнения 22
3.3. Примеры решения задач 22
3.4. Задачи для самостоятельной работы 24
4. Функция действительной переменной 24
4.1. Основные понятия и теоремы 24
4.2. Теоретические упражнения 26
4.3. Примеры решения задач 26
4.4. Задачи для самостоятельной работы 27
5. Четные и нечетные функции. Монотонные функции 28
5.1. Основные понятия и теоремы 28
5.2. Теоретические упражнения 29
5.3. Примеры решения задач 30
5.4. Задачи для самостоятельной работы 32
6. Ограниченные функции 32
6.1. Основные понятия и теоремы 32
6.2. Теоретические упражнения 33
6.3. Примеры решения задач 33
6.4. Задачи для самостоятельной работы 34
7. Периодические функции 35
7.1. Основные понятия и теоремы 35
7.2. Теоретические упражнения 35
7.3. Примеры решения задач 36
7.4. Задачи для самостоятельной работы 38
8. Сложная функция. Обратная функция 38
8.1. Основные понятия и теоремы 38
8.2. Теоретические упражнения 39
8.3. Примеры решения задач 40
8.4. Задачи для самостоятельной работы 41
Глава 2. Предел последовательности 42
1. Понятие последовательности. Ограниченные, монотонные последовательности 42
1.1. Основные понятия и теоремы 42
1.2. Теоретические упражнения 43
1.3. Примеры решения задач 44
1.4. Задачи для самостоятельной работы 45
2. Предел последовательности 46
2.1. Основные понятия и теоремы 46
2.2. Теоретические упражнения 47
2.3. Примеры решения задач 47
2.4. Задачи для самостоятельной работы 50
3. Переход к пределу в неравенствах 50
3.1. Основные понятия и теоремы 50
3.2. Теоретические упражнения 51
3.3. Примеры решения задач 51
3.4. Задачи для самостоятельной работы 53
4. Бесконечно малые последовательности 53
4.1. Основные понятия и теоремы 53
4.2. Теоретические упражнения 54
4.3. Примеры решения задач 54
4.4. Задачи для самостоятельной работы 55
5. Бесконечно большие последовательности 55
5.1. Основные понятия и теоремы 55
5.2. Теоретические упражнения 56
5.3. Примеры решения задач 57
5.4. Задачи для самостоятельной работы 59
6. Арифметические операции над сходящимися последовательностями 59
6.1. Основные понятия и теоремы 59
6.2. Теоретические упражнения 60
6.3. Примеры решения задач 60
6.4. Задачи для самостоятельной работы 62
7. Подпоследовательность. Частичный предел 63
7.1. Основные понятия и теоремы 63
7.2. Теоретические упражнения 64
7.3. Примеры решения задач 65
7.4. Задачи для самостоятельной работы 66
8. Предел монотонной последовательности. Число е 66
8.1. Основные понятия и теоремы 66
8.2. Теоретические упражнения 67
8.3. Примеры решения задач 67
8.4. Задачи для самостоятельной работы 70
9. Критерий Коши 70
9.1. Основные понятия и теоремы 70
9.2. Теоретические упражнения 71
9.3. Примеры решения задач 71
9.4. Задачи для самостоятельной работы 73
Глава 3. Предел и непрерывность функции 74
1. Понятие предела функции (по Коши) 74
1.1. Основные понятия и теоремы 74
1.2. Теоретические упражнения 76
1.3. Примеры решения задач 76
1.4. Задачи для самостоятельной работы 80
2. Переход к пределу в неравенствах 81
2.1. Основные понятия и теоремы 81
2.2. Теоретические упражнения 81
2.3. Примеры решения задач 82
2.4. Задачи для самостоятельной работы 84
3. Бесконечно малые функции 84
3.1. Основные понятия и теоремы 84
3.2. Теоретические упражнения 85
3.3. Примеры решения задач 86
3.4. Задачи для самостоятельной работы 89
4. Арифметические операции над пределами. Первый замечательный предел 90
4.1. Основные понятия и теоремы 90
4.2. Теоретические упражнения 90
4.3. Примеры решения задач 91
4.4. Задачи для самостоятельной работы 94
5. Непрерывность функции в точке 95
5.1. Основные понятия и теоремы 95
5.2. Теоретические упражнения 95
5.3. Примеры решения задач 96
5.4. Задачи для самостоятельной работы 97
6. Односторонние пределы и непрерывность. Пределы монотонных функций 98
6.1. Основные понятия и теоремы 98
6.2. Теоретические упражнения 99
6.3. Примеры решения задач 99
6.4. Задачи для самостоятельной работы 101
7. Бесконечно большие функции 102
7.1. Основные понятия и теоремы 102
7.2. Теоретические упражнения 104
7.3. Примеры решения задач 104
7.4. Задачи для самостоятельной работы 105
8. Пределы по последовательностям (по Гейне). Второй замечательный предел 106
8.1. Основные понятия и теоремы 106
8.2. Теоретические упражнения 107
8.3. Примеры решения задач 108
8.4. Задачи для самостоятельной работы 111
9. Предел и непрерывность сложной функци 112
9.1. Основные понятия и теоремы 112
9.2. Теоретические упражнения 113
9.3. Примеры решения задач 113
9.4. Задачи для самостоятельной работы 118
10. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые 119
10.1. Основные понятия и теоремы 119
10.2. Теоретические упражнения 121
10.3. Примеры решения задач 121
10.4. Задачи для самостоятельной работы 125
11. Точки разрыва. Асимптоты 126
11.1. Основные понятия и теоремы 126
11.2. Теоретические упражнения 127
11.3. Примеры решения задач 128
11.4. Задачи для самостоятельной работы 132
12. Свойства функций, непрерывных на промежутках 133
12.1. Основные понятия и теоремы 133
12.2. Теоретические упражнения 134
12.3. Примеры решения задач 134
12.4. Задачи для самостоятельной работы 136
Ответы и указания 137
1. Числовые множества и функции на них 137
2. Предел последовательности 137
3. Предел и непрерывность функции 138
Приложение. Варианты контрольных работ 139
1. Контрольная работа по теме «Предел последовательности» 139
2. Контрольная работа по теме «Предел и непрерывность функции» 141
II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Глава 1. Производная и дифференциал 149
1. Понятие производной 149
1.1. Основные понятия и теоремы 149
1.2. Теоретические упражнения 150
1.3. Примеры решения задач 150
1.4. Задачи для самостоятельной работы 153
2. Правила вычисления производной. Таблица производных. . . 154
2.1. Основные понятия и теоремы 154
2.2. Теоретические упражнения 156
2.3. Примеры решения задач 156
2.4. Задачи для самостоятельной работы 161
3. Односторонние производные 162
3.1. Основные понятия и теоремы 162
3.2. Теоретические упражнения 162
3.3. Примеры решения задач 162
3.4. Задачи для самостоятельной работы 166
4. Геометрический смысл производной 166
4.1. Основные понятия и теоремы 166
4.2. Теоретические упражнения 167
4.3. Примеры решения задач 168
4.4. Задачи для самостоятельной работы 170
5. Производные высших порядков 171
5.1. Основные понятия и теоремы 171
5.2. Теоретические упражнения 172
5.3. Примеры решения задач 173
5.4. Задачи для самостоятельной работы 176
6. Производные функции, заданной параметрически 176
6.1. Основные понятия и теоремы 176
6.2. Теоретические упражнения 177
6.3. Примеры решения задач 178
6.4. Задачи для самостоятельной работы 179
7. Дифференциал функции 179
7.1. Основные понятия и теоремы 179
7.2. Теоретические упражнения 181
7.3. Примеры решения задач 181
7.4. Задачи для самостоятельной работы 183
Глава 2. Свойства дифференцируемых функций 184
1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 184
1.1. Основные понятия и теоремы 184
1.2. Теоретические упражнения 185
1.3. Примеры решения задач 186
1.4. Задачи для самостоятельной работы 188
2. Правило Лопиталя 189
2.1. Основные понятия и теоремы 189
2.2. Теоретические упражнения 190
2.3. Примеры решения задач 191
2.4. Задачи для самостоятельной работы 196
3. Формула Тейлора 196
3.1. Основные понятия и теоремы 196
3.2. Теоретические упражнения 198
3.3. Примеры решения задач 199
3.4. Задачи для самостоятельной работы 208
Глава 3. Исследование функций 210
1. Монотонность функции 210
1.1. Основные понятия и теоремы 210
1.2. Теоретические упражнения 210
1.3. Примеры решения задач 211
1.4. Задачи для самостоятельной работы 215
2. Экстремумы функции 216
2.1. Основные понятия и теоремы 216
2.2. Теоретические упражнения 217
2.3. Примеры решения задач 218
2.4. Задачи для самостоятельной работы 221
3. Выпуклость и точки перегиба 221
3.1. Основные понятия и теоремы 221
3.2. Теоретические упражнения 223
3.3. Примеры решения задач 223
3.4. Задачи для самостоятельной работы 227
4. Наибольшее и наименьшее значения функции 227
4.1. Основные понятия и теоремы 227
4.2. Теоретические упражнения 229
4.3. Примеры решения задач 229
4.4. Задачи для самостоятельной работы 233
5. Построение графиков функций 233
5.1. Схема исследования функции 233
5.2. Примеры решения задач 234
5.3. Задачи для самостоятельной работы 241
Ответы и указания 242
1. Производная и дифференциал 242
2. Свойства дифференцируемых функций 243
3. Исследование функций 244
Приложение. Варианты контрольных работ 246
III. Интегральное исчисление функций одной переменной
Глава 1. Неопределенный интеграл 253
1. Первообразная и неопределенный интеграл 253
1.1. Основные понятия и теоремы 253
1.2. Теоретические упражнения 255
1.3. Примеры решения задач 256
1.4. Задачи для самостоятельной работы 260
2. Интегрирование заменой переменной 260
2.1. Основные понятия и теоремы 260
2.2. Теоретические упражнения 261
2.3. Примеры решения задач 262
2.4. Задачи для самостоятельной работы 276
3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. . . . 277
3.1. Основные понятия и теоремы 277
3.2. Теоретические упражнения 278
3.3. Примеры решения задач 278
3.4. Задачи для самостоятельной работы 283
Глава 2. Определенный интеграл 284
1. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница 284
1.1. Основные понятия и теоремы 284
1.2. Теоретические упражнения 286
1.3. Примеры решения задач 287
1.4. Задачи для самостоятельной работы 289
2. Замена переменной в определенном интеграле 290
2.1. Основные понятия и теоремы 290
2.2. Теоретические упражнения 290
2.3. Примеры решения задач 291
2.4. Задачи для самостоятельной работы 295
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле 296
3.1. Основные понятия и теоремы 296
3.2. Теоретические упражнения 296
3.3. Примеры решения задач 297
3.4. Задачи для самостоятельной работы 299
Глава 3. Приложения определенного интеграла 301
1. Площадь плоской фигуры 301
1.1. Основные понятия и теоремы 301
1.2. Теоретические упражнения 302
1.3. Примеры решения задач 302
1.4. Задачи для самостоятельной работы 305
2. Объем тела 306
2.1. Основные понятия и теоремы 306
2.2. Теоретические упражнения 307
2.3. Примеры решения задач 307
2.4. Задачи для самостоятельной работы 310
3. Длина кривой 310
3.1. Основные понятия и теоремы 310
3.2. Теоретические упражнения 312
3.3. Примеры решения задач 312
3.4. Задачи для самостоятельной работы 314
4. Площадь поверхности вращения 315
4.1. Основные понятия и теоремы 315
4.2. Теоретические упражнения 316
4.3. Примеры решения задач 316
4.4. Задачи для самостоятельной работы 320
Глава 4. Несобственные интегралы 321
1. Несобственный интеграл и его свойства 321
1.1. Основные понятия и теоремы 321
1.2. Теоретические упражнения 324
1.3. Примеры решения задач 325
1.4. Задачи для самостоятельной работы 330
2. Исследование сходимости несобственных интегралов 330
2.1. Основные понятия и теоремы 330
2.2. Теоретические упражнения 332
2.3. Примеры решения задач 332
2.4. Задачи для самостоятельной работы 337
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. . . 337
3.1. Основные понятия и теоремы 337
3.2. Теоретические упражнения 338
3.3. Примеры решения задач 339
3.4. Задачи для самостоятельной работы 341
Ответы и указания 342
1. Неопределенный интеграл 342
2. Определенный интеграл 345
3. Приложения определенного интеграла 347
4. Несобственные интегралы 350
Приложение. Варианты контрольных работ 351
1. Контрольная работа по теме: «Неопределенный интеграл» . . 351
2. Контрольная работа по разделу: «Интегральное исчисление функций одной переменной» 352
Список литературы 360