Введение в математическую статистику. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И.

М.: 2010.— 600 с.

Настоящая книга представляет собой своеобразный расширенный учебник по математической статистике. Данный учебник не ограничен рамками учебного стандарта или вузовской программы — он предназначен всем, кто интересуется математикой вообще и, в частности, хочет узнать, что такое современная математическая статистика, какие задачи и какими методами она решает, какие результаты в ней уже накоплены, какие проблемы в ней сегодня актуальны; наконец, каковы ее истоки, какой путь она прошла и какие ученые были ее творцами. По замыслу авторов, книга простым и доступным языком рассказывает о математической статистике и одновременно обучает ей. Вся теория объясняется и иллюстрируется на интересных и тщательно подобранных примерах. Книга может служить и задачником, так как содержит большой список упражнений для самостоятельного решения, а также справочным пособием по математической статистике, а в некоторых аспектах — и по теории вероятностей.

Книга будет интересна преподавателям, аспирантам и студентам естественных и технических вузов, в которых изучается математическая статистика, научным работникам, использующим в своей деятельности методы математической статистики, а также самому широкому кругу любителей математики.

Формат: pdf

Размер: 20 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Содержание
Предисловие 11
Введение 14
§ 1. Что такое математическая статистика, ее предмет и задачи 14
§2. Краткий исторический очерк развития математической статистики 25
Глава 1. (Вспомогательная, но очень важная!) Основные распределения и их моделирование . 30
Введение 30
§ 1.1. Основные дискретные модели математической статистики 31
1. Схема Бернулли и биномиальное распределение 31
2. Отрицательное биномиальное распределение 34
3. Распределение Пуассона 35
4. Гипергсометрическое распределение 37
5. Распределение Маркова—Пойа . 37
6. Полиномиальное распределение 39
7. Многомерное распределение Маркова—Пойа 40
8. Распределение степенного ряда . 42
§ 1.2. Основные абсолютно непрерывные модели 43
1. Нормальное распределение 44
2. Многомерное нормальное распределение 47
3. Гамма-распределение 51
4. Бета-распределение 53
5. Равномерное распределение 54
6. Распределение Стьюдента 55
7. Распределение Снедекора 56
8. Распределение Вейбулла 57
9. Распределение Парето 57 10. Распределение Дирихле 57
II. Преобразования случайных величин и векторов 58
§ 1.3. Моделирование выборок из конкретных распределений 62
1. Предварительные замечания 62
2. Моделирование распределений Бернулли Bi(l,p) и биномиального Bi(A:, p) 64
3. Моделирование_отрицательного биномиального распределения Bi(r,p) 64
4. Моделирование полиномиальных испытаний 65
5. Моделирование пуассоновского распределения П(А) 65
6. Моделирование непрерывных распределений 66
7. Моделирование показательного и связанных с ним распределений 67
8. Моделирование нормальных случайных чисел 67
9. Метод суперпозиций 68 10. Моделирование цепи Маркова 70
1L Метод Монте-Карло 73
Упражнения 74
Глава 2. Первичная обработка экспериментальных данных 89
§2.1. Вариационный ряд выборки, эмпирическая функция распределения и гистограмма . 89
1. Порядковые статистики и вариационный ряд выборки 89
2. Эмпирическая функция распределения 90
3. Дальнейшие свойства э.ф. р. 96
4. Полигон частот, гистограмма 100
5. Ядерные оценки теоретической плотности 103
§2.2. Выборочные моменты: точная и асимптотическая теория 105
1. Выборочные моменты 105
2. Моменты выборочных среднего и дисперсии 108
3. Сходимость по вероятности выборочных моментов и функций от них 109
4. Асимптотическая нормальность выборочных моментов 114
5. Асимптотические доверительные интервалы для теоретических моментов 117
§2.3. Многомерные данные 118
1. Эмпирическая функция распределения 119
2. Моменты 120
3. Большие выборки 121
4. Добавление: нормальная модель 122
5. Другие корреляционные характеристики 125
§2.4. Выборочные квантили и порядковые статистики 128
1. Теоретические и эмпирические квантили 128
2. Распределение порядковых статистик 130
3. Асимптотическая нормальность средних членов вариационного ряда 133
4. Асимптотическое поведение крайних порядковых статистик 135
5. Асимптотическая теория для верхних экстремумов 138
§2.5. Линейные и квадратичные статистики от нормальных выборок 140
1. Линейные и квадратичные статистики, условия их независимости 141
2. Распределения квадратичных статистик 143
3. Теорема Фишера 145 Упражнения 150
Глава 3. Общая теория оценивания неизвестных параметров распределений 159
§ 3.1. Статистические оценки и общие требования к ним 159
1. Понятие статистической оценки и ее среднеквадратичная ошибка 159
2. Несмещенные оценки 162
3. Оптимальные оценки 168
§ 3.2. Критерии оптимальности оценок, основанные на неравенстве Рао—Крамера. Эффективные оценки 173
1. Функция правдоподобия, вклад выборки, функция информации 173
2. Неравенство Рао—Крамера 175
3. Экспоненциальная модель 179
4. Критерий Бхаттачария оптимальности оценки 181
5. Критерии оптимальности в случае векторного параметра 182
§ 3.3. Достаточные статистики и оптимальные оценки 186
1. Достаточные статистики и критерий факторизации 186
2. Теорема Рао—Блекуэлла—Колмогорова 191
3. Экспоненциальные семейства и достаточные статистики 193
§ 3.4. Способы решения уравнения несмещенности 199
1. Модель степенного ряда, оценивание параметрических функций 200
2. Модели с выборочным пространством, зависящим от параметра в 204
3. Метод подгонки 207
4. Гамма-модель с неизвестным параметром масштаба, оценивание параметрических функций 213
5. Другие применения гамма-модели для оценивания неизвестных параметров 217
§ 3.5. Оценки максимального правдоподобия . 219
1. Определение и примеры оценок максимального правдоподобия (о. м. п.) 219
2. Принцип инвариантности для о. м.п. 223
3. Метод накопления для приближенного вычисления о.м.п. 225
4. Асимптотические свойства о. м. п. 227
5. Асимптотические доверительные интервалы, основанные на о. м. п. 234
§ 3.6. Другие методы н принципы построения оценок 239
1. Метод моментов . 239
2. Метод минимума хи-квадрат 241
3. Модально несмещенные оценки 243
4. Медианно несмещенные оценки 245
5. Эквивариантные оценки 246
6. Байесовские и минимаксные оценки 250
7. Оценивание по цензурированным данным 258
§ 3.7 Объединение и улучшение оценок 264
1. Объединение оценок 264
2. Улучшение оценок 271 §3.8. Доверительное оценивание 276
1. Построение доверительного интервала
с помощью центральной статистики 277
2. Построение доверительного интервала с использованием распределения точечной оценки параметра 281
3. Асимптотические доверительные интервалы 284
§3.9. Оценивание при выборе из конечной совокупности 288
1. Оценивание среднего совокупности 288
2. Оценивание состава совокупности 292 Упражнения 297
Глава 4. Проверка статистических гипотез 311
§4.1. Основные понятия и общие принципы теории проверки гипотез 311
§4.2. Проверка гипотезы о виде распределения 318
1. Критерий согласия Колмогорова 318
2. Критерий согласия хи-квадрат К. Пирсона 320
3. Критерий хи-квадрат для сложной гипотезы 327
4. Критерий квантилей 332
5. Критерий пустых ящиков 334
§4.3. Гипотеза и критерии однородности 340
1. Критерий однородности Смирнова 340
2. Критерий однородности хи-квадрат 341
3. Другие критерии в задаче о двух выборках 347
§4.4. Гипотеза независимости 350
1. Критерий независимости хи-квадрат 351
2. Критерий Спирмена 357
3. Критерий Кендалла 358
4. Случай гд признаков 359
§4.5. Гипотеза случайности 361
1. Критерий инверсий 362
2. Проблема датчиков и обобщенный критерий хи-квадрат 364
Упражнения 368
Глава 5. Параметрические гипотезы 372
§5.1. Общие положения 372
§5.2. Выбор из двух простых гипотез. Критерий Неймана—Пирсона 374
1. Постановка задачи и предварительные соображения 374
2. Случай абсолютно непрерывных распределений 375
3. Критерий Неймана—Пирсона в случае дискретных распределений 386
§5.3. Сложные гипотезы 394
1. Р. н. м. критерии против сложных односторонних альтернатив. Модели с монотонным отношением правдоподобия 394
2. Двусторонние альтернативы, р.н.м. несмещенные критерии 398
3. Локальные наиболее мощные критерии 403
4. Проверка гипотез и доверительное оценивание 405
§5.4. Критерий отношения правдоподобия 409
1. Метод отношения правдоподобия для общих гипотез . 409
2. КОП для больших иыборок 417
3. Дальнейшие асимптотические свойства КОП 421
4. Сложная нулевая гипотеза 423
5. Доверительные области максимального правдоподобия 426
§5.5. Проверка гипотез для конечных цепей Маркова 427
1. Гипотезы для конечных цепей Маркова 428
2. Критерий хи-квадрат для простой гипотезы 431
3. Критерий хи-квадрат для сложной гипотезы 432
4. Критерий отношения правдоподобия для общих параметрических гипотез 436
5. Критерий однородности 438
6. Оценивание порядка цепи 442
§5.6. Понятие о последовательном анализе. Критерий Вальда. 443
1. Определение критерия Вальда 444
2. О числе испытаний до момента остановки в критерии Вальда 445
3. О выборе границ в критерии Вальда 446
4. О среднем числе наблюдений в критерии Вальда 448 Упражнения 451
Глава 6. (Специальная) Линейная регрессия и метод наименьших квадратов 457
§6.1. Модель линейной регрессии 457
§6.2. Оценивание параметров модели линейной регрессии 459
1. Метод наименьших квадратов 459
2. Оптимальность оценок наименьших квадратов 460
3. Оценивание остаточной дисперсии 462
4. Условные о. н. к. 463
5. Оптимальный выбор матрицы плана . 464
6. Примеры применения метода наименьших квадратов 465
7. Ортогональные многочлены Чебышева 470
§6.3. Нормальная регрессия 474
1. Модель нормальной регрессии 474
2. Оценки максимального правдоподобия (о. м.п.) параметров нормальной регрессии 475
3. Основная теорема теории нормальной регрессии 476
4. Доверительное оценивание параметров нормальной регрессии 477
5. Доверительная область для линейных комбинаций параметров /3 479
6. Система совместных доверительных интервалов 480
7. Доверительный интервал для отклика 481
8. Проверка адекватности модели 482
§6.4. Общая линейная гипотеза нормальной регрессии 484
1. Понятие линейной гипотезы 484
2. ^-критерий для линейной гипотезы 484
§6.5. Некоторые применения теории нормальной регрессии 490
1. Гипотеза о параллельности линий регрессии 490
2. Гипотеза однородности для нескольких нормальных выборок 493
3. Двойная классификация. Дисперсионный анализ 496
§6.6. Статистическая регрессия и прогнозирование 502
1. Задачи статистического прогноза 502
2. Условное математическое ожидание 503
3. Оптимальный предиктор и его свойства 505
4. Из истории регрессии 507
5. Линейный прогноз 508
6. Использование в прогнозе дополнительных переменных. Алгоритм обновления прогноза 511
7. Прогнозирование стационарных временных рядов 514
Упражнения 520
Глава 7. Элементы теории решений. Дискриминантный анализ 525
§ 7.1. Статистические решающие функции.
Байесовское и минимаксное решения 525
1. Понятие решающей функции 525
2. Функция риска и допустимые решающие правила 526
3. Байесовское решение 527
4. Минимаксное решение 528
5. Оценивание параметров и проверка гипотез с позиций теории решений 531
§7.2. Классификация наблюдений 532
1. Задача классификации 532
2. Функция риска в задаче классификации 532
3. Байесовское решение 533
4. Минимаксное решение 535
§7.3. Классификация наблюдений в случае двух нормальных классов 535
1. Байесовский подход 536
2. Минимаксный подход 537
§7.4. Классификация нормальных наблюдений. Общий случай 538
1. Байесовский подход 538
2. Минимаксный подход 540
3. Классификация наблюдений в случае неизвестных параметров 540
Упражнения 542
Глава 8. Факторный анализ 546
§8.1. Постановка задач факторного анализа 546
§8.2. Неоднозначность решения в факторном анализе 548
§8.3. Вывод уравнений максимального правдоподобия 549
§8.4. Итерационный метод нахождения факторных нагрузок 553
§8.5. Проверка гипотезы о числе факторов 555
§ 8.6. Центроидный метод 558
§8.7 Оценка значений факторов 562
Компонентный анализ 564
компонентного анализа 564
уравнении. Глаиныс компоненты 566
Приложение 573
1. Нормальное распределение 573
2. Распределение Пуассона 574
3. Биномиальное распределение 575
4. Распределение х2(п) 576
5. Распределение Стьюдента S(n) 577
6. Распределение Снедекора 5(п|,п2) 578
7. Критерий Колмогорова 579
8. Критерий Смирнова 580
9. Равномерно распределенные случайные числа 581
10. Нормально распределенные (0, 1) случайные числа 582
Литература 585
Путеводитель по моделям в примерах и задачах 586
Именной указатель 598