Краткий курс высшей математики. Натансон И.П.

М.: 1999.— 736 с.

Фундаментальный учебник «Краткий курс высшей математики», в одном томе, профессора И. П. Натансона предназначен для студентов вузов, где математика не является профилирующим предметом.

Формат: pdf

Размер: 21 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 11
Введение 13
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости 17
§ 1. Точки и координаты. . * 17
1. Прямоугольная система координат (17). 2. Расстояние между двумя точками (19). 3. Середина отрезка (20). 4. Деление отрезка в данном отношении (22). 5. Площадь треугольника (24). 6. Площадь многоугольника (26).
§ 2. Линии и уравнения 27
I. Второй принцип соответствия (27). 2. Окружность (31).
§ & Прямая линия 33
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (33). 2. Общее уравнение прямой (37). 3. Уравнение прямой в отрезках на осях (39). 4. Угловые соотношения между прямыми (41). 5. Проведение прямой через одну иди две заданные точки (44). 6. Расстояние от точки до прямой (49).
§ 4. Эллипс 54
1. Определение эллипса. Его каноническое уравнение (54).
2. Исследование формы эллипса (56). 3. Эллипс как сжатая окружность (59). 4. Эксцентриситет эллипса (60). 5. Взаимно сопряженные диаметры. эллипса (60).
§ Ь. Парабола 63
1. Определение параболы. Ее каноническое уравнение (63).
2. Исследование формы параболы (65). 3. Парабола у=*ахг (67).
§ 6. Гипербола 68
1. Определение гиперболы. Ее каноническое уравнение (68).
2. Исследование формы гиперболы (69). 3. Асимптоты гиперболы (70). 4. Эксцентриситет гиперболы (74). 5. Равнобочная гипербола (75). 6. Сопряженная гипербола (75). 7. Некоторые применения гиперболы (76).
§ 7. Преобразование координат 77
1. Постановка вопроса (77). 2. Параллельный перенос системы (78). 3. Поворот системы (79). 4. Общий случай преобразования координат \Щ. 5. Алгебраическая кривая и ее порядок (81).
§ 8. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка 83
1. Уравнение у^яах*-\-Ьх^-е (83). 2. Уравнение А*2+Суа + + Dx + Ey + Fs=Q (85). 3. Общее уравнение второй степени (89). 4. Примеры. Гипербола, отнесенная к асимптотам (90).
§ 9. Полярные координаты 94
1. Полярная система координат (94). 2. Расстояние между двумя точками (95). 3. Связь между полярными и прямоугольными координатами (96). 4. Спираль Архимеда (97). 5. Гиперболическая спираль (98). 6. Лемниската (99).
Глава II. Переменная. Предел. Функция . • 101
§ 1. Переменные и их пределы - 101
1. Нумерованная переменная (101). 2. Предел (103). 3. Величины бесконечно малые и бесконечно большие (105). 4. Основные свойства переменных величин (109). 5. Неопределенные выражения (112). 6. Раскрытие некоторых типов неопределенностей (113). 7. Число е (122)*JL Натуральные логарифмы (125). 9. Эквивалентные бесконечно малые (127). 10. Три замечательных предела (129). 11. Сравнение бесконечно малых величин (132).
§ 2. Функция « 135
1. Понятие функции (135). 2. Различные способы задания функции (135). 3. Графики некоторых функций (139). 4. Понятие о непрерывности функции (142). 5. Элементарные функции (144).
6. Область задания функции. Различные типы промежутков (146).
7. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Ш).
8. Понятие о функциях нескольких переменных (147).
Глава III. Производная и дифференциал 149
§ 1. Производная 149
1. Касательная (149). 2. Скорость (152). 3. Плотность стержня (154). 4. Определение производной (156).
§ 2. Техника дифференцирования элементарных функций 160
1. Производная постоянной (160). 2. Производная независимой переменной (160). 3. Производная степенной функции (160). 4. Производные синуса и косинуса (161). 5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (162). о. Производные тангенса и котангенса (166). 7. Производная показательной функции (166). 8. Производная логарифма (167). 9. Правило цепочки (169). 10. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование (174). 11. Особые случаи дифференцирования (180).
§ а Дифференциал 182
1. Определение дифференциала (182). 2. Геометрический смысл дифференциала (184). 3. Примеры нахождения дифференциала (185). 4. Об инвариантности записи дифференциала (186). 5. Примеры применения дифференциала в приближенных подсчетах (187).
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 190
1. Производные высших порядков (190). 2. Дифференциалы высших порядков (191).
§ 5. Исследование функций , 191
1. Возрастание и убывание функций (191). 2. Экстремум функции (194). 3. Принцип Ферма (196). 4. Второй способ исследования стационарных точек (203). 5. Нахождение наибольшего и наимень¬шего значения непрерывной функции (204). 6. Задачи конкрет¬ного характера (207). 7. Графики разрывных функций (213). ». 8. Острый экстремум (216).
§ 6. Основные теоремы дифференциального исчисления 217
1. Теорема Ролля (217). 2. Формула конечных приращений (218). 3. Обобщенная формула конечных приращений (219). 4. Признак постоянства функции (220). 5. Раскрытие неопределенностей (221).
6. Оценка точности равенства by~dy (223).
§ 7. Формула Тейлора 223
1. Постановка вопроса (223). 2. Формула Тейлора для многочлена (224). 3. Формула Тейлора для любой функции (225). 4. Некоторые другие формы формулы Тейлора (229).
Глава IV. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии . . . 231
§ 1. Касательная и нормаль 231
1. Проведение касательной (231). 2. Нормаль (234).
§ 2. Направление вогнутости кривой 235
1. Направление вогнутости (235). 2. Точки перегиба и выпрямления (237).
§ 3. Параметрическое задание кривой 239
1. Подход к вопросу (239). 2. Параметрические уравнения окружности и эллипса (z40). 3. Циклоида (242). 4. Эвольвента окружности (244). 5. Параметрическое дифференцирование (245).
§ 4. Кривизна 248
1. Средняя и истинная кривизна (248). 2. Формула для вычисления кривизны (249). 3. Случай параметрического задания (252). 4. Случай полярных координат (253). 5. Окружность, центр и радиус кривизны (254). 6. Понятие об эволютах и эвольвентах (256).
7. Координаты центра кривизны (257). 8. Железнодорожные
закругления (259).
Глава V. Неопределенный интеграл 261
§ 1. Общие приемы интегрирования 261
1. Первообразная (261). 2. Произвольная постоянная. Неопределенный интеграл (262). 3. Таблица основных интегралов (264). 4. Интегрирование суммы и вынесение постоянного множителя (266). 5. Способ подстановки (268). 6. Линейные подстановки (271). 7. Интегрирование по частям (272). 8. Приведение интеграла к самому себе (278). 9. Интегралы, не выражающиеся элементарно (280).
§ 2. Интегрирование рациональных функций 283
1. Постановка вопроса (283). 2. Некоторые сведения об алгебраических многочленах (283). 3. Разложение рациональных дробей на простые (286). 4. Интегрирование рациональных дробей (289).
§ Э. Интегрирование некоторых нррациональностей 292
1. Рационализация подынтегральной функции (292). 2. ИнтегралыJ Уах> + Ьх + с
§ 4. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 296
1. Интегралы \eaxP(x)dx9 $ P (x) sin ax dx, $ Р (х) cos ax dx (296).
2. Интегралы \p(x)\nnxdx (298). 3. Интегралы $sta"xcos"1 xdx (298). 4. Интегралы J tg" JC ЙГЛГ И ^ ctg* x dx (300). 5. Интегрирование функций, рациональных относительно sin* и cos* (301). 6. Тригонометрические подстановки (304).
Глава VI. Определенный интеграл 308
§ 1. Определение и важнейшие свойства определенного интеграла 308
1. Задача о массе стержни (308). 2. Определенный интеграл (311).
3. Геометрический смысл интеграла (312). 4. Два простейших
свойства- интеграла (315). 5. Интеграл как функция верхнего
предела. Теорема Барроу (317). 6. Вычисление определенного
интеграла. Формула Ньютона—Лейбница (319). 7. Интегрирование
по частям и замена переменной в определенном интеграле (321).
8. Важнейшие свойства интеграла (324).
§ 2. Методика применения определенного интеграла к решению
практических задач 328
1. Вычисление давления жидкости на вертикальную стену (328).
2. Нахождение работы, необходимой для выкачивания воды из сосуда (334). 3. Правило применения интеграла в конкретных вопросах (337).
§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла*. 339
1. Вычисление площадей. Декартовы координаты (339). 2. Вычисление площадей. Полярные координаты (340). 3. Выражение объема тела через площади его сечений • (342). 4. Объем тела вращения (345). 5. Длина дуги кривой (347). 6, Площадь поверхности вращения (349). 7. Случай параметрически заданной кривой (350). 8. Длина дуги в полярных координатах (352).
§ 4. Механические применения определенного интеграла 354
1. Статические моменты и моменты инерции (354). 2. Центр параллельных сил (359). 3. Центр тяжести (3(H)*
§ 5. Приближенное вычисление определенных интегралов 366
1. Постановка вопроса (366). 2. Формула трапеций (367). 3. Малая формула Симпсона (369). 4. Выражение объема тела при помощи формулы Симпсона (371). 5. Приближенное спрямление эллипса (372). 6. Большая формула Симпсона (373).
§ 6. Несобственные интегралы 375
1. Интегралы по бесконечному промежутку (375). 2. Интегралы от неограниченных функций (379).
Глава VII. Определители 383
§ 1. Определители 2-го порядка 383
1. Определения (383). 2. Шесть основных свойств определителя 2-го порядка (385).
§ % Определители 3-го порядка 386
1. Определение. Правило Саррюса (386). 2. Шесть основных свойств определителя 3-го порядка (388). 3. Миноры и алгебраические дополнения (388).
§ 3. Определители любого порядка . . . . 38Й
I. Определение (389). 2. Основные свойства определителей. Их вычисление (390). 3. Теоремы замещения и аннулирования (393).
§ 4. Решение систем линейных уравнений 394
1. Формулы Крамера (394). 2. Однородные системы (398).
Глава VIII. Векторы 402
§ 1. Основные определения 402
1. Вектор (402). 2. Равенство векторов (403). 3. Умножение вектора на число (403). 4. Сложение векторов (404). 5. Вычитание векторов (405). о. Скользящий вектор (406).
§ 2. Проекции 409
1. Проекция вектора на ось (409). 2. Важнейшие свойства проекций (410).
§ 3. Координаты в пространстве 412
1. Определения и обозначения (412). 2. Основная формула векторного исчисления. Длина вектора. Соотношение между направляющими косинусами, Расстояние между двумя точками. Уравнение поверхности шара (414). 3. Деление отрезка в данном отношении (416).
§ 4. Скалярное произведение векторов 417
1. Скалярное произведение и его свойства (417). 2. Выражение скалярного произведения через проекции (418). 3. Угол между двумя векторами. Условия перпендикулярности и параллельности (419). 4. Работа (421). 5. Задачи (ту.
§ 5. Векторное произведение 423
1. Определение и простейшие свойства векторного произведения (423). 2. Распределительное свойство. Нахождение векторного произведения (426). 3. Процесс построения векторного произведения. Доказательство распределительного свойства (428). 4. Момент силы относительно точки (430). 5. Смешанное произведение трех векторов (431).
§ 6. Переменные векторы. Вектор-функции н их дифференцирование 432
1. Переменный вектор. Вектор-функция. Годограф (432). 2. Предел вектора (434). 3. Непрерывность вектор-функций. Их дифференцирование (437). 4. Формулы и правила дифференцирования вектор-функций (439).
Глава IX. Аналитическая геометрия в пространстве 441
§ 1. Плоскость 441
1. Уравнение плоскости (441). 2. Уравнение плоскости в отрезках на осях (443). 3. Угловые соотношения (444).
§ 2. Прямая линия 446
1. Канонические уравнения прямой (446). 2. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (447). 3. Задание прямой двумя плоскостями (447). 4. Параметрические уравнения прямой (448). 5. Угловые соотношения между прямыми (449). 6. Угловые соотношения между прямой и плоскостью (452). 7. Расстояние от точки до плоскости и до прямой (453).
§ 3. Поверхности 2-го порядка 457
1. Цилиндрические поверхности (457). 2. Уравнение поверхности вращения (458). 3. Сжатие и растяжение поверхностей (459). 4. Эллипсоид (460J. 5. Однополостный гиперболоид (462). 6. Двух-полостный гиперболоид (464). 7. Конус (464). 8. Эллиптический параболоид (465). 9. Гиперболический параболоид (465).
§ 4. Преобразование координат 468
1. Постановка вопроса. Параллельный перенос системы (468).
2. Поворот системы (469). 3. Общий случай преобразования координат (470). 4. Примеры (470).
Глава X. Функции нескольких переменных 472
§ 1. Производные функции нескольких переменных 472
1. Основные понятия (472). 2. Непрерывность (474). 3. Частные производные (475). 4. Формула полного приращения (477). 5. Дифференцирование сложных функций (478). 6. Дифференцирование неявной функции (480). 7. Касательная к пространственной ли¬нии и касательная плоскость к поверхности (482). 8. Производные высших порядков (483).
§ 2. Экстремальные значения функции нескольких переменных . . 485
1. Определение экстремума. Необходимые условия экстремума (485). 2. Правило исследования стационарной точки (487).
3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
(488). 4. Примеры конкретного характера (490). 5. Расстояние
между двумя прямыми в пространстве (492).
§ 3. Полный дифференциал 494
1. Определение дифференциала (494). 2. Применение дифференциала в теории ошибок (496). 3. Интегрирование полных дифференциалов (497).
Глава XI Дифференциальные уравнения 501
§ 1. Уравнения 1-го порядка 501
1. Основные определения (501). 2. Начальное условие (502)..
3. Уравнения с отделенными переменными. Общий интеграл (503).
4. Уравнения с отделяющимися переменными (505). 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка (506). 6. Обобщенное линейное уравнение (уравнение Я. Бернулли) (511). 7. Однородные функции и однородное дифференциальное уравнение (511). 8. Уравнения в полных дифференциалах (515). 9. Геометрический смысл дифференциального уравнения и связанных с ним понятий (516). 10. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера—Коши (519). 11. Некоторые применения дифференциальных уравнений 1-го порядка (524).
§ 2. Уравнения высших порядков 530
1. Простейшие дифференциальные уравнения высшего порядка (530). 2. Начальные условия (532). 3. Некоторые случаи понижения порядка дифференциального уравнения (533).
§ 3, Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . 536
1. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка (536).
2. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения (537). 3. Характеристическое уравнение (539).
4. Случай равных корней характеристического уравнения (542).
5. Формулы Эйлера (545). 6. Случай мнимых корней характеристического уравнения (551). 7. Уравнение Эйлера (552). 8. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (554). 9. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения для некоторых видов свободного члена (555). 10. Метод вариации произвольных постоянных (565).
§ 4. Элементы теории колебаний 563
1. Гармонические колебания (568). 2. Свободные колебания материальной точки (569). 3. Вынужденные колебания точки. Резонанс (571). 4. Учет сопротивления среды. Затухающие колебания (572).
§ 5. Понятие о системах дифференциальных уравнений 574
1. Нормальные системы дифференциальных уравнений (574). 2. Канонические системы (579).
Глава XII. Двойные, тройные и криволинейные интегралы .. . . 581
§ U Двойной интеграл 581
1. Задача о массе пластинки (581),. 2. Определение двойного интеграла. Его механический и геометрический смысл (582).
3. Вычисление двойного интеграла (585). 4. Интеграл \ dx (590).
5. Механические приложения двойных интегралов (591). 6. Геометрические приложения двойных интегралов (592). 7. Площадь в криволинейных координатах (594). 8. Замена переменных в двойном интеграле (599). 9. Интеграл Эйлера (605).
§ 2. Тройной интеграл 607
1. Определение тройного интеграла. Его механический смысл (607).
2. Вычисление тройного интеграла (608). 3. Механические приложения тройных интегралов (611). 4. Замена переменных в тройных интегралах (613).
§ 3. Криволинейные интегралы 617
1. Криволинейный интеграл первого рода (617). 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой (618).
3. Случай пространственной кривой (619). 4. Применения криволинейного интеграла первого рода (619). 5. Криволинейный интеграл второго рода (621). 6. Вычисление интеграла второго рода
(о22). 7. Связь криволинейных интегралов первого и второго
рода (623). 8. Выражение работы интегралом второго рода (623).
9. Работа силового поля (623). 10. Вычисление криволинейного
интеграла от полного дифференциала (625).
Глава XIII Бесконечные ряды 626
§ 1. Ряд Тейлора 626
I. Разложение функции в ряд (626). 2. Терминология (630). 3. Теорема разложения (634). 4. Формула Эйлера (639). 5. Степенные ряды (640). 6. Разложение логарифма (643). 7. Разложение арктангенса (646). 8. Биномиальный ряд (647). 9. Приложение рядов к вычислению интегралов (649). 10. Приложение рядов к решению дифференциальных уравнений (651). 11. Упражнения (658).
§ 2. Дальнейшие сведения из теории рядов 659
I. Основные свойства рядов (659). 2. Положительные ряды. Признаки сравнения (661). 3. Признак Даламбера (665). 4. Интегральный признак сходимости (669). 5. Знакочередующиеся ряды (671). в. Абсолютная сходимость. Общий признак Даламбера (673). 7. Применение общего признака Даламбера к степенным рядам (676).
§ а Ряды Фурье 678
1. Вводные замечания (678). 2. Ортогональность тригонометрической системы (679). 3. Теорема единственности. Ряд Фурье (681). 4. Теорема разложения. Примеры (682). 5. Обобщение (686). 6. Разложение четных и нечетных функций (688). 7. Разложение функции, заданной на части промежую [—*, к] (690). 8. Сдвиг основного промежутка (694). 9. Растяжение основного промежутка (696). 10. Задача о колебании струны (697). 11. Распространение тепла в стержне (703).
Добавление I. Гиперболические функции 710
I. Определения (710). 2. Аналогия с тригонометрическими функциями (711). 3. Связь тригонометрических и гиперболических функций (711). 4. Связь с гиперболой (712).
Добавление II. Приближенное решение уравнений 714
1. Постановка вопроса (714). 2. Способ хорд (715). 3. Способ касательных (716). 4. Другая трактовка способа Ньютона. Решение системы уравнений (/19).
Добавление III. Способ наименьших квадратов 721