Математика для гуманитариев. Задачи и решения. Просветов Г.И.

М.: 2008.— 320 с.

В настоящем учебно-методическом пособии для людей, которые по роду занятий профессионально не связаны с математикой, представлены все основные разделы этой фундаментальной науки с целью создания необходимого базиса знаний, без которого даже в гуманитарной области не сможет состояться ни один грамотный и востребованный специалист. В пособии большое внимание уделено линейной алгебре и геометрии, теории вероятностей и теории статистических исследований, а также математическому анализу, дискретной математике и математической логике. Для преподавателей и студентов высших учебных заведений.

Формат: pdf

Размер: 6,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 1. Матрицы 8
1.1. Действия с матрицами 9
1.2. Свойства действий с матрицами 12
ГЛАВА 2. Определители 13
2.1. Определители второго порядка 13
2.2. Определители третьего порядка 13
2.3. Алгебраические дополнения и миноры 14
2.4. Разложение определителя по строке или столбцу 15
2.5. Свойства определителей 16
2.6. Вычисление определителей 17
ГЛАВА 3. Обратим матрица 20
3.1. Алгоритм нахождения обратной матрицы 20
3.2. Нахождение обратной матрицы для матрицы второго порядка 20
3.3. Нахождение обратной матрицы для матрицы третьего порядка 21
3.4. Свойства обратной матрицы 22
ГЛАВА 4. Системы линейных уравнений 23
4.1. Основные определения 23
4.2. Правило Крамера 23
4.3. Матричный метод 26
4.4. Ступенчатый вид матрицы. Ранг матрицы 27
4.5. Метод Iaycca 29
4.6. Нахождение обратной матрицы методом Iaycca 33
ГЛАВА 5. Векторы на плоскости 35
5.1. Действия с векторами 35
5.2. Система координат на прямой 36
5.3. Декартова прямоугольная система координат на плоскости 37
5.4. Координаты вектора. Преобразование координат вектора при основных операциях 38
5.5. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками 38
5.6. Скалярное произведение векторов 39
ГЛАВА 6. Прямая на плоскости 41
6.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости 41
6.2. Взаимное расположение прямых на плоскости 42
6.3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 43
6.4. Расстояние от точки до прямой 44
ГЛАВА 7. Линейные пространства 45
7.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис 49
ГЛАВА 8. Линейные операторы 52
ГЛАВА 9. Многочлены 55
9.1. Действия с многочленами 55
9.2. Схема Горнера 56
ГЛАВА 10. Собственные векторы 58
10.1. Нахождение собственных векторов и собственных значений 58
ГЛАВА 11. Евклидовы пространства 62
Ответы 64
Программа учебного курса «Линейная алгебра и геометрия» 68
Задачи для контрольной работы по курсу «Линейная алгебра и геометрия» 70
Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 1. Множество 76
ГЛАВА 2. Функция 78
2.1. Постоянные и переменные величины 78
2.2. Понятие функции 78
2.3. Способы задания функции 79
2.4. Элементы поведения функции 80
2.5. Сложная функция 83
2.6. Линейная интерполяция 84
2.7. Дробно-линейная функция 85
2.8. Квадратичная функция 86
2.9. Рациональная функция 89
2.10. Преобразования графиков 91
2.11. Показательная функция 94
2.12. Логарифмическая функция 95
2.13. Взаимно-обратные функции 95
2.14. Окружность 96
2.15. Тригонометрические функции 96
ГЛАВА 3. Последовательность 99
3.1. Арифметическая прогрессия 99
3.2. Геометрическая прогрессия 100
3.3. Предел последовательности 102
3.4. Монотонные последовательности 102
3.5. Ограниченная последовательность 103
3.6. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности 103
ГЛАВА 4. Предел функции 105
4.1. Теоремы о пределах 105
4.2. Раскрытие неопределенностей 106
4.3. Замечательные пределы 107
ГЛАВА 5. Непрерывность 108
5.1. Свойства функций, непрерывных на отрезке 108
ГЛАВА 6. Производная 109
6.1. Приращения аргумента и функции 109
6.2. Понятие производной 109
6.3. Правила дифференцирования ПО
6.4. Первая таблица производных 111
6.5. Производная сложной функции. Вторая таблица производных 111
6.6. Производные высших порядков 113
6.7. Правило Лопиталя 113
6.8. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной... 114
6.9. Дифференциал 114
6.10. Применение дифференциала в приближенных вычислениях ... 115
6.11. Возрастание и убывание функции. Локальные экстремумы 115
6.12. Выпуклость вверх и вниз. Точки перегиба 116
6.13. Исследование функций и построение графиков 117
6.14. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 118
ГЛАВА 7. Неопределенный интеграл 119
7.1. Первообразная и неопределенный интеграл 119
7.2. Основные свойства неопределенного интеграла 120
7.3. Таблица интегралов 120
7.4. Непосредственное интегрирование 121
7.5. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле 121
7.6. Замена переменной в неопределенном интеграле 122
7.7. Понятие о неберущихся интегралах 123
ГЛАВА 8. Определенный интеграл 124
8.1. Основные свойства определенного интеграла 124
8.2. Формула Ньютона-Лейбница 125
8.3. Геометрический смысл определенного интеграла 126
8.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле 126
8.5. Замена переменной в определенном интеграле 127
ГЛАВА 9. Рады 128
9.1. Виды рядов 128
9.2. Сходящиеся и расходящиеся ряды 129
9.3. Необходимый признак сходимости 129
9.4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 130
ГЛАВА 10. Дифференциальные уравнения 131
10.1. Основные понятия 131
10.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 132
Ответы 133
Программа учебного курса «Математический анализ» 137
Задачи для контрольной работы по курсу «Математический анализ» 139
Раздел III. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ГЛАВА 1. Основные понятая теория вероятностей 144
ГЛАВА 2. Действия с вероятностями 148
2.1. Сумма событий 148
2.2. Вероятность суммы несовместных событий 148
2.3. Произведение событий 149
2.4. Зависимые и независимые события 149
2.5. Вероятность произведения двух независимых событий ISO
2.6. Условная вероятность 151
2.7. Вероятность произведения двух зависимых событий 151
2.8. Вероятность суммы двух совместных событий 152
ГЛАВА 3. Дерево вероятностей 153
ГЛАВА 4. Формула Байеса 155
ГЛАВА 5. Повторение испытаннй 157
5.1. Схема Бернулли 157
5.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа 158
5.3. Теорема Пуассона 158
5.4. Интегральная теорема Лапласа 159
ГЛАВА б. Простейший поток событий 160
ГЛАВА 7. Относительная частота 162
7.1. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях 162
ГЛАВА 8. Дискретные случайные величины 164
8.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 164
8.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства 165
8.3. Дисперсия дискретной случайной величины, ее свойства 166
8.4. Биномиальный закон распределения вероятностей 167
8.5. Распределения Пуассона 167
ГЛАВА 9. Непрерывные случайные величины 169
9.1. Функция распределения, ее свойства 169
9.2. Плотность распределения вероятностей, ее свойства 169
9.3. Математическое ожидание непрерывной случайной величины 170
9.4. Дисперсия непрерывной случайной величины 171
9.5. Нормальный закон распределения вероятностей 173
9.6. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал 174
9.7. Показательный закон распределения вероятностей 175
9.8. Равномерное распределение вероятностей 176
ГЛАВА 10. Задачи математической статистики 177
10.1. Задачи математической статистики 177
10.2. Выборочный метод 177
ГЛАВА 11. Вариационные ряды 179
ГЛАВА 12. Расчет сводных характеристик выборки 182
ГЛАВА 13. Доверительные интервалы 185
13.1. Доверительный интервал для генеральной средней а (генеральная дисперсия а2 известна) 185
13.2. Доверительный интервал для генеральной средней а (генеральная дисперсия а2 неизвестна) 187
13.3. Доверительный интервал для генеральной доли 188
ГЛАВА 14. Испытание гипотез 190
14.1. Испытание гипотезы на основе выборочной средней при известной генеральной дисперсии а2 191
14.2. Испытание гипотезы на основе выборочной средней при неизвестной генеральной дисперсии 193
14.3. Испытание гипотезы на основе выборочной доли 194
14.4. Испытание гипотезы о двух генеральных дисперсиях 195
14.5. Сравнение средних величин двух выборок при известных генеральных дисперсиях 197
14.6. Испытание гипотезы по выборочным средним при неизвестных генеральных дисперсиях 199
14.7. Испытание гипотезы по двум выборочным долям 203
14.8. Испытание гипотез по спаренным данным 205
14.9. Критерий хи-квадрат 207
ГЛАВА 15. Индексы 211
15.1. Индексы роста и прироста 211
15.2. Базисные и цепные индексы 211
15.3. Переход от одних индексов к другим 212
15.4. Средний индекс роста для сгруппированных данных 212
ГЛАВА 16. Линейная регрессия 214
16.1. Простая модель линейной регрессии 214
16.2. Ошибки 216
16.3. Коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент детерминации 216
16.4. Предсказания и прогнозы на основе модели линейной регрессии 219
16.5. Основные предпосылки в модели парной линейной регрессии 219
16.6. Регрессия и Excel 220
ГЛАВА 17. Порядковые испытания 223
ГЛАВА 18. Дисперсионный анализ 225
18.1. Однофакторный дисперсионный анализ 225
18.2. Двухфакторный дисперсионный анализ 228
ГЛАВА 19. Непараметрические критерии 232
19.1. Х-критерий Колмогорова-Смирнова 232
19.2. Q-критерий Розенбаума 236
19.3. U-критерий Манна-Уитни 238
19.4. Н-критерий Крускала-Уоллиса 239
19.5. S-критерий Джонкира 241
19.6. G-критерий знаков 243
19.7. Т-критерий Вилкоксона 244
19.8. Xr-критерий Фридмана 246
19.9. L-критерий тенденций Пейджа 248
19.10. ф*-критерий Фишера 249
19.11. Биномиальный m-критерий 250
19.12. Критерий Кохрана 251
ГЛАВА 31. Линейная корреляция 253
31.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости 253
31.2. Условные средние 253
31.3. Выборочные уравнения регрессии 254
31.4. Оценка коэффициента корреляции 258
Ответы 259
Программа учебного курса «Теория вероятностей и математическая статистика» 262
Задачи для контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» 265
Раздел IV. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ГЛАВА 1. Комбинаторика 276
1.1. Размещения 276
1.2. Перестановки 277
1.3. Сочетания 277
ГЛАВА 2. Булевы функции 279
2.1. Высказывания 279
2.2. Основные операции 279
2.3. Равносильные функции 281
ГЛАВА 3. Нормальные формы 282
3.1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма 282
3.2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма 283
ГЛАВА 4. Предикаты 284
4.1. Одноместный предикат 284
4.2. Кванторные операции 284
ГЛАВА 5. Основные понятия теории графов 285
ГЛАВА 6. Задача определения кратчайшего пути 291
6.1. Метод присвоения меток 291
6.2. Задача о кратчайшем пути между двумя пунктами 295
ГЛАВА 7. Построение коммуникационной сети минимальной длины 297
ГЛАВА 8. Правила вывода и получение выводимых суждений 300
ГЛАВА 9. Алгоритм 303
9.1. Что такое алгоритм? 303
9.2. Основные свойства алгоритма 303
Ответы 305
Программа учебного курса «Дискретная математика и математическая логика» 306
Задачи для контрольной работы по курсу «Дискретная математика и математическая логика» 307
Литература 309