Математика для инженеров и технологов. Салимов Р.Б.

М.: 2009.— 484 с.

Книга рассчитана на студентов втузов, обучающихся на строительных, технологических и других родственных специальностях и изучающих курс математики в объеме примерно 350 часов аудиторных занятий с разбиением последних поровну на лекционные и практические. Она содержит все основные разделы математики, изучаемые студентами названных специальностей: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, основные сведения по уравнениям математической физики. Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов, специализирующихся в области математики и ее приложений.

Формат: pdf

Размер: 4,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 12
Глава 1. Элементы векторной алгебры 13
§ 1.1. Действительные числа, числовая ось 13
§ 1.2. Декартовы координаты. Полярные координаты 14
§ 1.3. Векторы, линейные операции над ними 15
§ 1.4. Проекция вектора на ось 18
§ 1.5. Разложение вектора по базисным векторам 18
§ 1.6. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями 20
§ 1.7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками 20
§ 1.8. Направляющие косинусы вектора 21
§1.9. Скалярное произведение, угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов 22
§ 1.10. Определители второго и третьего порядков. Векторное произведение, условие коллинеарности двух векторов, площадь треугольника 24
§1.11. Смешанное произведение и его геометрический смысл. Условие компланарности векторов 29
Глава 2. Элементы аналитической геометрии 31
§2.1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве 31
§2.2. Плоскость, общее уравнение плоскости 32
§2.3. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей 34
§2.4. Расстояние от точки до плоскости в пространстве 35
§2.5. Прямая в пространстве и ее уравнения 36
§2.6. Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 38
§2.7. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности 39
§2.8. Уравнение линии на плоскости 39
§2.9. Общее уравнение прямой на плоскости, угол между прямыми . . 40
§ 2.10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности прямых 41
§2.11. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и прямой, проходящей через две заданные точки 42
§2.12. Кривые второго порядка. Окружность 43
§2.13. Эллипс 43
§2.14. Гипербола 45
§2.15. Парабола 47
§2.16. Преобразование координат на плоскости 49
§2.17. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр 51
§2.18. Эллипсоид 53
§2.19. Конус 54
§2.20. Однополостный и двуполостный гиперболоиды 55
§2.21. Эллиптический и гиперболический параболоиды 57
§2.22. Понятие о многомерном евклидовом пространстве 58
Глава 3. Элементы линейной алгебры 61
§3.1. Определители высших порядков 61
§3.2. Свойства определителей 62
§3.3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица 63
§3.4. Системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Матричный метод решения 67
§ 3.5. Формулы Крамера 68
§3.6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса 70
§3.7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли 73
§3.8. Однородные системы 74
Глава 4. Теория пределов 76
§4.1. Обозначения, переменные, интервалы 76
§4.2. Абсолютная величина 77
§4.3. Функция, способы ее задания 78
§4.4. Предел функции при х —> +оо и его геометрический смысл. ... 79
§4.5. Предел функции при х —> хо и его геометрический смысл. Односторонние пределы 82
§4.6. Теоремы о пределах. Ограниченные функции 83
§4.7. Бесконечно малые функции и их свойства 84
§4.8. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой. ... 87
§4.9. Свойства пределов 88
§4.10. Переход к пределу в неравенствах 89
§4.11. Первый замечательный предел 90
§4.12. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы 91
§4.13. Сравнение бесконечно малых функций 93
§4.14. Непрерывность функции в точке и в интервале 94
§4.15. Свойства непрерывных функций 96
§4.16. Точки разрыва функции 97
Глава 5. Производные функции одной переменной 99
§5.1. Задача об определении скорости 99
§5.2. Определение, механический и геометрический смыслы производной 100
§5.3. Касательная и нормаль к кривой. Существование производной. . 102
§5.4. Дифференцируемость функции 103
§5.5. Производная постоянной. Правила дифференцирования 104
§5.6. Производные тригонометрических и логарифмической функций 106
§5.7. Производная сложной функции 107
§5.8. Производные степенной и показательной функций. Логарифмическое дифференцирование 109
§5.9. Неявная функция и ее производная ПО
§5.10. Обратная функция и ее производная ПО
§5.11. Производные обратных тригонометрических функций 112
§5.12. Функция, заданная параметрически, и ее дифференцирование . . 114
§5.13. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях 115
§5.14. Производные и дифференциалы высших порядков 117
Глава 6. Функции, непрерывные в замкнутом интервале. Правило Лопиталя 119
§6.1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале 119
§6.2. Теоремы Ферма и Ролля 121
§6.3. Теоремы Коши и Лагранжа 123
§6.4. Правило Лопиталя 125
§6.5. Раскрытие неопределенностей 127
Глава 7. Исследование поведения функции одной переменной ... 129
§7.1. Возрастание и убывание функции 129
§ 7.2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале 130
§7.3. Достаточные признаки экстремума функции 133
§7.4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой 136
§7.5. Асимптоты кривой 138
§7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков . . . 141
Глава 8. Геометрические приложения производных 143
§8.1. Производная длины дуги кривой 143
§8.2. Кривизна кривой на плоскости 145
§8.3. Радиус, центр и круг кривизны кривой на плоскости 147
§8.4. Параметрические и векторное уравнения линии в пространстве 148
§8.5. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента 149
§8.6. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для пространственной кривой 152
§8.7. Первая и вторая производные векторной функции скалярного аргумента по длине дуги кривой 153
§8.8. Соприкасающаяся плоскость кривой 157
Глава 9. Функции многих переменных 160
§9.1. Функции двух переменных и способы их задания 160
§9.2. Геометрическое представление функции двух переменных 162
§ 9.3. Функции трех и большего числа переменных. Частное и полное приращения функции 163
§9.4. Предел функции 164
§9.5. Непрерывность, точки и линии разрыва функций 166
§9.6. Свойства функций, непрерывных в конечной (ограниченной) замкнутой области 167
§ 9.7. Частные производные 168
§9.8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 169
§9.9. Полный дифференциал 170
§9.10. Применение полного дифференциала функции в приближенных вычислениях 173
§9.11. Производная сложной функции 173
§9.12. Дифференцирование функций, заданных неявно 176
§9.13. Частные производные высших порядков 177
§9.14. Экстремумы. Необходимые признаки экстремума функции двух переменных 178
§ 9.15. Достаточный признак экстремума. Схема исследования на экстремум функции двух переменных 180
§ 9.16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области 182
§9.17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 183
§9.18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности . . . 185
§ 9.19. Скалярное поле 186
§9.20. Производная по направлению 187
§9.21. Градиент функции и его связь с производной по направлению . . 189
Глава 10. Комплексные числа и функции. Элементы топологии и параметризации 191
§ 10.1. Комплексные числа и действия над ними 191
§ 10.2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа 192
§ 10.3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа 194
§ 10.4. Показательная функция комплексного аргумента 195
§ 10.5. Комплексная функция действительного аргумента и ее производная 196
§ 10.6. Элементы топологии. Простые куски 196
§ 10.7. Параметризация поверхности 198
§ 10.8. Параметрические уравнения сферы 201
Глава 11. Неопределенный интеграл 203
§ 11.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов 203
§ 11.2. Свойства неопределенного интеграла 205
§ 11.3. Замена переменной в неопределенном интеграле 207
§ 11.4. Интегрирование по частям 208
§ 11.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 209
§ 11.6. Разложение многочлена на множители 212
§ 11.7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 213
§ 11.8. Интегрирование рациональных дробей 216
§ 11.9. Интегрирование простейших иррациональных функций 216
§ 11.10. Интегрирование тригонометрических функций 217
§11.11. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических замен 219
Глава 12. Определенный интеграл 221
§ 12.1. Площадь криволинейной трапеции 221
§ 12.2. Определение и геометрический смысл определенного интеграла 222
§ 12.3. Свойства определенного интеграла 224
§ 12.4. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница 229
§ 12.5. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям 231
§ 12.6. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур 233
§ 12.7. Площадь криволинейного сектора 237
§ 12.8. Вычисление длины дуги кривой 238
§ 12.9. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями 241
§ 12.10. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Объем тела вращения 242
§ 12.11. Приближенное вычисление определенного интеграла методом трапеций 244
Глава 13. Несобственные и кратные интегралы 246
§ 13.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 246
§ 13.2. Несобственные интегралы от разрывных функций 247
§ 13.3. Объем цилиндрического тела 249
§ 13.4. Двойной интеграл и его геометрический смысл 250
§ 13.5. Тройной интеграл и его физический смысл. Теорема существования кратных интегралов 251
§ 13.6. Свойства двойного (тройного) интеграла 254
§ 13.7. Вычисление двойного интеграла 255
§ 13.8. Замена переменных в двойном интеграле 259
§ 13.9. Переход к полярным координатам в двойном интеграле 260
§ 13.10. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла 262
§ 13.11. Вычисление объемов с помощью двойных интегралов 266
§ 13.12. Вычисление тройного интеграла 267
§ 13.13. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле . . 273
Глава 14. Криволинейные интегралы 275
§ 14.1. Криволинейные интегралы по координатам и их вычисление . . . 275
§ 14.2. Применение криволинейных интегралов к вычислению работы. . 280
§ 14.3. Формула Грина. Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом по координатам 281
§ 14.4. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 283
§ 14.5. Криволинейный интеграл по длине 286
§ 14.6. Криволинейные интегралы вдоль пространственных кривых . . . 289
§ 14.7. Применение кратных и криволинейных интегралов к вычислению координат центра тяжести тел 291
Глава 15. Обыкновенные дифференциальные уравнения 294
§ 15.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях 294
§ 15.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 296
§ 15.3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 297
§ 15.4. Приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка 298
§ 15.5. Дифференциальные уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными 299
§ 15.6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . . . 301
§ 15.7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 303
§ 15.8. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
§ 15.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 306
§ 15.10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков и свойства их решений 307
§ 15.11. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 310
§ 15.12. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 313
§ 15.13. Линейные неоднородные уравнения второго порядка 315
§15.14. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка 317
§ 15.15. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 319
§ 15.16. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 321
§15.17. Об одном методе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка 324
Глава 16. Числовые ряды 327
§ 16.1. Сходимость и сумма ряда 327
§ 16.2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости 328
§ 16.3. Признаки сравнения рядов 330
§ 16.4. Признак Даламбера 332
§ 16.5. Радикальный и интегральный признаки Коши 334
§ 16.6. Знакочередующиеся ряды 337
§ 16.7. Знакопеременные ряды 338
Глава 17. Степенные ряды 341
§ 17.1. Теорема Абеля 341
§ 17.2. Радиус сходимости степенного ряда 342
§ 17.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 344
§ 17.4. Ряды по степеням х — х() 345
§ 17.5. Формула Тейлора 346
§ 17.6. Ряды Тейлора и Маклорена 347
§ 17.7. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена 349
§ 17.8. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях 352
§ 17.9. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 353
Глава 18. Ряды Фурье 356
§ 18.1. Предварительные замечания 356
§ 18.2. Ряд Фурье. Условия Дирихле 358
§ 18.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 362
§ 18.4. Ряды Фурье для функции с произвольным периодом 363
§ 18.5. Разложение функции, заданной в интервале, в ряд Фурье по синусам или косинусам 365
Глава 19. Уравнения математической физики 367
§ 19.1. Основные типы уравнений математической физики 367
§ 19.2. Уравнение колебаний струны 367
§ 19.3. Метод разделения переменных (метод Фурье) 371
§ 19.4. Уравнение теплопроводности. Начальные и краевые (граничные) условия. Стационарный случай. Задача Дирихле 375
§ 19.5. Задача Дирихле для круга 376
§ 19.6. Решение уравнения теплопроводности методом Фурье 380
Глава 20. Интегралы по поверхности 382
§20.1. Определение и свойства интеграла по поверхности 382
§20.2. Вычисление проекций вектора нормали к поверхности 383
§20.3. Вычисление интеграла по поверхности 385
§20.4. Применение интеграла по поверхности к решению физических задач 387
§20.5. Формула Остроградского 391
§20.6. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла по пространственной кривой от линии интегрирования. . . 393
Глава 21. Элементы теории векторного поля 397
§21.1. Понятия векторного поля и векторной линии 397
§21.2. Поток вектора через поверхность 398
§21.3. Дивергенция векторного поля 401
§21.4. Циркуляция, ротор (вихрь) векторного поля 402
§21.5. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа 406
§21.6. Простейшие векторные поля 407
Глава 22. Элементы теории вероятностей. Случайные события. . . 410
§22.1. Статистическое и классическое определения вероятности случайного события. Геометрическая вероятность 410
§22.2. Вероятность суммы несовместных событий 413
§22.3. Противоположные и совместные события. Вероятность произведения независимых событий 415
§ 22.4. Вероятность суммы совместных событий. Зависимые события. Условная вероятность 417
§22.5. Формула полной вероятности 420
§22.6. Вероятность гипотез. Формула Байеса 421
§22.7. Повторные испытания. Формула Бернулли 422
Глава 23. Элементы теории вероятностей. Случайные величины 426
§23.1. Дискретная случайная величина. Закон распределения 426
§23.2. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. . . . 428
§23.3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 429
§23.4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал 430
§23.5. Нормальный закон распределения 431
§23.6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. . . . 433
§23.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. . . 437
§23.8. Неравенство Чебышёва 439
§23.9. Теорема Чебышёва 441
§23.10. Теорема Бернулли, центральная предельная теорема Ляпунова. . 443
§23.11. Двумерная случайная величина 444
§23.12. Функция распределения двумерной непрерывной случайной величины 445
§23.13. Плотность распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины, ее связь с функцией распределения 446
§ 23.14. Законы распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины 449
§ 23.15. Условные законы распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины 451
§23.16. Числовые характеристики двумерной случайной величины .... 452
§23.17. Условные математические ожидания 453
§23.18. Зависимость и независимость случайных величин 454
§23.19. Нормальный закон распределения на плоскости 457
§23.20. Об аксиоматическом подходе в теории вероятностей 458
Глава 24. Элементы математической статистики 460
§24.1. Простой статистический ряд. Статистическая функция распределения. Статистический ряд. Гистограмма 460
§24.2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины 466
§ 24.3. Интервальная оценка математического ожидания непрерывной случайной величины 469
§ 24.4. О сходимости по вероятности статистического среднего и статистической дисперсии. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки 472
§24.5. Проверка статистических гипотез 473
Приложение 479
Список литературы 483