Математика в экономике. Математические методы и модели. Красс М.С., Чупрынов Б.П.

М.: 2007. — 544 с.

Изложены математические дисциплины, необходимые в высшем экономическом образовании, согласно государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования. Приведены основные элементы математической статистики, методы оптимизации в экономике, основы эконометрики. Учебник содержит методы и модели, используемые в наиболее актуальных современных аспектах экономики: приложения теории массового обслуживания, расчеты рисков, динамика эколого-экономических систем, методы финансовой математики. Для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей экономических и смежных технических специальностей вузов, а также для слушателей, получающих второе высшее образование.

Формат: pdf

Размер: 2,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 11
Глава 1. Основные положения теории вероятностей 11
1.1. Основные понятия теории вероятностей 11
1.1.1. Некоторые формулы комбинаторики 11
1.1.2. Виды случайных событий 13
1.1.3. Классическое определение вероятности 13
1.2. Теорема сложения вероятностей 15
1.2.1. Несовместные события 15
1.2.2. Полная группа событий 16
1.2.3. Противоположные события 16
1.3. Теорема умножения вероятностей 17
1.3.1. Произведение событий и условная вероятность 17
1.3.2. Независимые события 19
1.4. Обобщения теорем сложения и умножения 21
1.4.1. Появление только одного из независимых событий ... 21
1.4.2. Теорема сложения вероятностей совместных событий . 22
1.4.3. Формула полной вероятности 23
1.4.4. Формулы Байеса 24
1.5. Схема независимых испытаний 26
1.5.1. Формула Бернулли 26
1.5.2. Локальная теорема Лапласа 27
1.5.3. Интегральная теорема Лапласа 28
1.5.4. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности 31
Упражнения 32
Глава 2. Случайные величины 34
2.1. Случайные величины и законы их распределения 34
2.1.1. Виды случайных величин 34
2.1.2. Дискретные случайные величины 34
2.1.3. Биномиальное распределение 37
2.1.4. Распределение Пуассона 38
2.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин . . 38
2.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины 38
2.2.2. Свойства математического ожидания 39
2.2.3. Дисперсия дискретной случайной величины 41
2.2.4. Свойства дисперсии 43
2.2.5. Среднее квадратическое отклонение 44
2.2.6. Начальные и центральные моменты 46
2.3. Система двух случайных величин 47
2.3.1. Двумерная случайная величина 47
2.3.2. Корреляционный момент 49
2.3.3. Коэффициент корреляции 50
2.3.4. Линейная регрессия 51
2.4. Непрерывные случайные величины 52
2.4.1. Функция распределения и ее свойства 52
2.4.2. Плотность распределения вероятностей и ее свойства . . 55
2.4.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 57
2.4.4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического п одинаково распределенных случайных величин 59
2.5. Основные распределения непрерывных случайных величин . . 59
2.5.1. Равномерное распределение 59
2.5.2. Нормальное распределение 61
2.5.3. Распределение %2 Пирсона 64
2.5.4. Распределение Стьюдента 64
2.5.5. Распределение Фишера 65
2.5.6. Асимметрия и эксцесс 65
Упражнения 68
Глава 3. Элементы математической статистики 70
3.1. Выборочный метод 70
3.1.1. Выборки 70
3.1.2. Способы отбора 71
3.1.3. Статистическое распределение выборки 71
3.1.4. Эмпирическая функция распределения 72
3.1.5. Полигон и гистограмма 74
3.2. Статистические оценки параметров распределения 75
3.2.1. Виды статистических оценок 75
3.2.2. Виды дисперсий 77
3.2.3. Эмпирические моменты 79
3.2.4. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения . . 80
3.3. Точечные оценки параметров распределения 81
3.3.1. Метод моментов 81
3.3.2. Метод наибольшего правдоподобия 82
3.4. Интервальные оценки параметров распределения 84
3.4.1. Доверительный интервал 84
3.4.2. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения 85
3.5. Статистические оценки статистических гипотез 88
3.5.1. Виды статистических гипотез 88
3.5.2. Общая схема проверки статистических гипотез 89
3.5.3. Типы статистических критериев проверки гипотез ... 90
3.6. Закон больших чисел 92
3.6.1. Неравенство Чебышева 92
3.6.2. Закон больших чисел 93
3.6.3. Центральная предельная теорема 93
3.7. Цепи Маркова 93
3.7.1. Основные понятия 93
3.7.2. Равенство Маркова 94
Упражнения 96
Раздел 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ 98
Глава 4. Расчеты экономических ситуаций 98
4.1. Графы, сети и их применение в экономике 98
4.1.1. Основные определения и характеристики граф 98
4.1.2. Плоские графы 104
4.1.3. Ориентированные графы 108
4.1.4. Построение минимального остовного дерева сети 110
4.1.5. Задача нахождения кратчайшего пути 113
4.1.6. Дерево решений 115
4.1.7. Сетевые графики 117
4.2. Основы управления рисками в экономике 127
4.2.1. Риски в экономике 127
4.2.2. Оптимизация портфелей банка 131
4.3. Теория массового обслуживания в экономике 137
4.3.1. Марковские процессы и потоки событий 138
4.3.2. Системы массового обслуживания 140
4.3.3. Одноканальная СМО с отказами 144
4.3.4. Многоканальная СМО с отказами 147
4.3.5. Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди 151
4.3.6. Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью 157
4.4. Элементы теории игр 160
4.4.1. Основные понятия 160
4.4.2. Графическое решение игр 164
4.4.3. Игры с природой 169
4.4.4. Применение игр с природой в экономике 171
4.4.5. Кооперативные игры 174
4.4.6. Позиционные игры 176
Упражнения 179
Глава 5. Математические модели в финансовых операциях 186
5.1. Проценты и процентные ставки 187
5.1.1. Простые проценты 187
5.1.2. Сложные проценты 199
5.1.3. Начисление процентов в условиях инфляции 211
5.2. Потоки платежей 214
5.2.1. Финансовые ренты 215
5.2.2. Определение параметров финансовой ренты 222
5.3. Применение математических моделей 225
5.3.1. Конверсия валюты и начисление процентов 225
5.3.2. Погашение задолженности частями 230
5.3.3. Выбор инвестиционных и коммерческих проектов . . . . 235
5.3.4. Модели операций с ценными бумагами 242
Упражнения 249
Глава 6. Линейное программирование 254
6.1. Некоторые теоремы линейного программирования 255
6.1.1. Формы модели задач 255
6.1.2. Основные определения 257
6.1.3. Некоторые теоремы линейного программирования ... 257
6.2. Графический метод решения задач 261
6.2.1. Алгоритм решения задач 261
6.2.2. Определение оптимального плана выпуска изделий . . . 262
6.2.3. Экономический анализ задач 263
6.3. Симплексный метод 266
6.3.1. Теоретические основы и геометрическая интерпретация метода 267
6.3.2. Симплексные таблицы 269
6.3.3. Применение симплексного метода в экономике 270
6.3.4. Решение матричных игр симплексным методом 272
6.4. Двойственные задачи 275
6.4.1. Виды математических моделей двойственных задач . . . 275
6.4.2. Решение двойственных задач 278
6.4.3. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности 283
6.4.4. Применение теории двойственности в экономике .... 284
6.5. Транспортная задача 287
6.5.1. Закрытая транспортная задача 288
6.5.2. Открытая транспортная задача 296
6.5.3. Применение транспортных моделей в экономических задачах 299
6.6. Целочисленное программирование 301
6.6.1. Графический метод решения задач 301
6.6.2. Метод Гомори и его применение в экономических задачах 303
6.7. Задачи о назначениях с несколькими целевыми функциями . . 306
6.7.1. Задача о назначениях 306
6.7.2. Задачи с несколькими целевыми функциями 311
6.8. Параметрическое линейное программирование 314
6.8.1. Линейное программирование с параметром в целевой функции 315
6.8.2. Линейное программирование с параметром в правых частях системы ограничений 320
6.8.3. Линейное программирование с параметром в целевой функции и правых частях системы ограничений 322
6.8.4. Транспортная параметрическая задача 324
Упражнения 330
Глава 7. Нелинейное программирование 343
7.1. Формулировка модели 343
7.1.1. Графический метод 344
7.1.2. Дробно-линейное программирование 348
7.1.3. Метод множителей Лагранжа 354
7.1.4. Выпуклое программирование 357
7.2. Динамическое программирование 364
7.2.1. Основные понятия 364
7.2.2. Применение метода функциональных уравнений в определении оптимальных сроков замены оборудования 365
7.2.3. Экономические задачи, решаемые методом динамического программирования 369
Упражнения 378
Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 382
Глава 8. Обобщенные модели экономики 382
8.1. Аппарат производственных функций 382
8.1.1. Производственные функции 383
8.1.2. Основные характеристики производственных функций . 386
8.1.3. Основные виды производственных функций 395
8.2. Модель потребительского выбора 399
8.2.1. Функция полезности 400
8.2.2. Задача потребительского выбора 402
8.2.3. Функции спроса 407
8.2.4. Модель Р. Стоуна 409
8.2.5. Уравнение Слуцкого 411
8.3. Некоторые модели управления запасами 414
8.3.1. Основная модель управления запасами 415
8.3.2. Модель производственных запасов 417
8.3.3. Модель запасов, включающая штрафы 418
8.3.4. Применение моделей управления запасами в экономике 420 Упражнения 423
Глава 9. Глобальные модели экономики 425
9.1. Общие модели экономики 425
9.1.1. Односекторная модель Леонтьева 425
9.1.2. Модель Солоу 428
9.1.3. Оптимальная постоянная норма накопления 431
9.2. Моделирование эколого-экономических систем 435
9.2.1. Эколого-экономические системы 435
9.2.2. Балансовые модели 439
9.2.3. Модели системной динамики 446
Раздел 4. ЭКОНОМЕТРИКА 454
Глава 10. Линейная и нелинейная регрессия 454
10.1. Линейная регрессия и корреляция 455
10.1.1. Двумерная регрессионная модель 455
10.1.2. Нормальная линейная регрессионная модель с одной переменной 457
10.2. Нелинейная регрессия и корреляция 466
10.2.1. Нелинейная регрессия 466
10.2.2. Нелинейная корреляция 471
10.3. Множественная регрессия и корреляция 474
10.3.1. Нормальная линейная модель множественной регрессии 474
10.3.2. Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции 478
10.3.3. Отбор факторов и методы построения множественной линейной корреляционной и регрессионной зависимости 479
Упражнения 489
Глава 11. Прогнозирование экономических процессов 490
11.1. Классификация и виды временных рядов 490
11.1.1. Классификация экономических прогнозов 490
11.1.2. Виды временных рядов 491
11.2. Показатели динамики экономических процессов 496
11.2.1. Основные показатели динамики 496
11.2.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней 498
11.2.3. Применение моделей кривых роста 502
11.2.4. Расчет доверительных интервалов прогноза, адекватность и точность моделей 508
Упражнения 513
Приложения 516
Ответы 525
Библиографический список 532
Предметный указатель 534

Предлагаемый учебник написан на основе лекций, прочитанных авторами в течение последних лет в экономических вузах, в том числе и при подготовке слушателей второго высшего образования. В книгу вошли материалы, прошедшие практическую проверку при преподавании цикла математических дисциплин в экономических государственных и негосударственных вузах для различных форм обучения.
Поскольку в современном образовательном процессе в экономических вузах возрастает удельная доля математических методов в экономике и экономико-математического моделирования, в учебник включены соответствующие разделы, дающие достаточно полное представление об их теоретических и практических аспектах.
Структура книги выдержана в строгом соответствии с логикой представления материала: теория вероятностей и математическая статистика, математические методы, математические модели, финансовая математика, эконометрика. Впервые в учебник по математическим приложениям включена новая тема — проблемы моделирования эколого-экономических систем.
Приводимые в этих разделах методы и модели опираются на излагаемые в изданном ранее учебнике основы математических дисциплин, что обусловливает единую логику изложения материала в целом: от основ математики до сложных приложений математических методов и моделей в экономике.