Практикум по математическому анализу. Быкова О.Н., Колягин С.Ю., Кукушкин Б.Н.

М.: МПГУ, 2011 -275 с.

Данное учебное пособие может служить студентам математических и физико-математических факультетов педагогических вузов руководством к практическим занятиям по курсу математического анализа. Оно будет также полезным молодым преподавателям при подготовке и проведении семинаров по данной учебной дисциплине.

Формат: pdf

Размер: 2,7 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
Тема 1. Действительные числа. Модуль действительного числа 9
Тема 2. Метод математической индукции 12
Тема 3. Ограниченность числовых множеств. Границы и грани 14
Тема 4. Функция. График функции 16
Тема 5. Основные типы поведения функций 18
Тема 6. Основные элементарные функции. Частичное исследование функций 22
Тема 7. Линейные и модульные преобразования графиков 25
Тема 8. Сложная функция. «Сложение» и «умножение» графиков... 28
Тема 9. Обратная функция и её свойства 31
Тема 10. Числовая последовательность 34
Тема 11. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей 37
Тема 12. Вычисление пределов последовательностей 41
Тема 13. Предел функции. Теоремы о пределах функций 43
Тема 14. Вычисление пределов функции. Первый замечательный предел 45
Тема 15. Вычисление пределов с использованием «табличных» пределов 48
Тема 16. Сравнение бесконечно малых. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых 50
Семестровое задание по технике вычисления пределов 54
Тема 17. Односторонние пределы. Предел по множеству 55
Тема 18. Непрерывность функции 60
Тема 19. Непрерывность сложной и обратной функций 62
Тема 20. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва 64
Тема 21. Равномерная непрерывность функции на множестве 68
Тема 22. Функции, непрерывные на отрезках 69
Тема 23. Дифференцируемость и производная 71
Тема 24. Табличные производные и правила дифференцирования... 74
Тема 25. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль 77
Тема 26. Техника дифференцирования 80
Тема 27. Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях 84
Тема 28. Основные теоремы дифференциального исчисления 86
Тема 29. Производные и дифференциалы высших порядков 91
Тема 30. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 95
Тема 31. Исследование функции на монотонность. Экстремум 99
Тема 32. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба 103
Тема 33. Полное исследование функции и построение её графика 106
Тема 34. Наименьшее и наибольшее значения функции 110
Тема 35. Формула Тейлора 113
Тема 36. Геометрические и физические приложения производной... 117
Тема 37. Первообразная и неопределённый интеграл 119
Тема 38. Вычисление неопределённых интегралов заменой переменной и по частям 124
Тема 39. Интегрирование рациональных функций 128
Тема 40. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей 131
Тема 41. Интегрирование тригонометрических выражений 136
Семестровое задание по технике интегрирования 138
Тема 42. Интегральная сумма Римана. Суммы Дарбу. Определённый интеграл 140
Тема 43. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница 144
Тема 44. Вычисление определённых интегралов по частям и заменой переменной 147
Тема 45. Вычисление площадей плоских фигур 151
Тема 46. Вычисление длин плоских кривых 155
Тема 47. Вычисление объёмов и площадей поверхностей тел вращения 159
Тема 48. Физические приложения определённого интеграла 166
Тема 49. Несобственные интегралы 170
Тема 50. Исследование сходимости несобственных интегралов 175
Тема 51. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Сравнение положительных рядов 179
Тема 52. Признаки Даламбера и Коши 182
Тема 53. Интегральный признак сходимости. Критерий Коши 185
Тема 54. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница 186
Тема 55. Абсолютная и условная сходимости 188
Тема 56. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной последовательности 190
Тема 57. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов непрерывных функций... 194
Тема 58. Степенные ряды. Промежуток сходимости 196
Тема 59. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора 200
Тема 60. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Некоторые приложения степенных рядов 204
Тема 61. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье 207
Тема 62. Неполные ряды Фурье. Разложение по косинусам и синусам 211
Тема 63. Точечные множества на плоскости и в пространстве. Функции нескольких переменных 214
Тема 64. Предел функции нескольких переменных 219
Тема 65. Непрерывность функции нескольких переменных 222
Тема 66. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных 225
Тема 67. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент 229
Тема 68. Формула Тейлора для функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 234
Тема 69. Экстремум функции нескольких переменных 238
Тема 70. Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных 242
Тема 71. Неявные функции 244
Тема 72. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному 247
Тема 73. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам 251
Тема 74. Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла 254
Тема 75. Вычисление объёмов пространственных тел с помощью двойного интегралов 255
Тема 76. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла 257
Тема 77. Тройной интеграл 258
Тема 78. Криволинейный интеграл. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования 265
Тема 79. Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла 266
Тема 80. Физические приложения кратных и криволинейных интегралов 270
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 274

Предлагаемое учебное пособие, по замыслу авторов, может служить студентам математических и физико-математических факультетов педагогических вузов руководством к практическим занятиям по курсу математического анализа. Оно будет также полезным молодым преподавателям для подготовки и проведения семинаров по данной учебной дисциплине. Надобность в таком пособии вызвана тем, что существующие задачники по математическому анализу не могут в полной мере отвечать этому назначению. Часто их содержание выходит за пределы действующих примерных программ по математическому анализу для направлений педагогического образования, поэтому студенту I-II курсов педвуза зачастую трудно в них ориентироваться. Таким образом, перед авторами стояла задача создать учебное пособие, материал которого был бы ограничен рамками действующих примерных программ по математическому анализу для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата: 050100 - Педагогическое образование (профили «Математика», «Информатика», «Математика и информатика», «Информатика и математика», «Математика и экономика», «Информатика и экономика»), 010100 - Математика (профиль «Преподавание математики и информатики»). В этом, на взгляд авторов, нашёл своё воплощение принцип соответствия учебно-методических работ актуальным направлениям развития отечественной образовательной системы, включая реализацию компетентностного подхода и развитие блочно-модульной структуры обучения.
Предлагаемое учебное пособие полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) и примерным образовательным программам по указанным направлениям и их различным профилям.
Пособие содержит 80 тем практических занятий по математическому анализу для студентов I и II курсов. В начале каждой темы имеется краткий теоретический материал, включающий в себя определения, обозначения, формулировки теорем и формулы, необходимый при решении задач по данной теме. Каждая тема в пособии снабжена системой задач в коли¬честве, достаточном для изучения данной темы на двухчасовом практическом занятии. Одна-две задачи в теме приводятся с подробными решениями, остальные задачи, как правило, снабжены ответами. В конце темы имеются упражнения, которые можно использовать для самостоятельной работы студентов, в том числе - в качестве домашнего задания по изучаемой теме.
Большинство заданий в пособии заимствовано из известных задачников по математическому анализу (см. список литературы). Вместе с тем в пособии имеется и целый ряд оригинальных задач и упражнений.