Основы высшей математики для инженеров. Липовцев Ю.В., Третьякова О.Н.

М.: 2009. — 484 с.

В учебном пособии приведены основные теоретические положения традиционных курсов высшей математики для инженерных специальностей технических вузов. Наряду с традиционным изложением курсов алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений, в данном пособии при решении ряда задач из этих разделов используются численные методы и примеры их программной реализации. Особенностью пособия является акцент на постановке и решении физических и технических задач, приводящих к задачам математической физики. Предназначено для студентов технических вузов всех инженерных специальностей.

Формат: pdf

Размер: 9,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Содержание
Предисловие
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Векторы на плоскости и в пространстве
Определение свободного вектора
Алгебраические операции над векторами
Разложение вектора по базису
Система координат на плоскости и в пространстве
Линейные пространства
Определение и примеры линейных пространств
Понятие и свойства линейной зависимости векторов
Размерность и базис Разложение вектора по базису
Евклидовы пространства
Скалярное произведение в линейном пространстве Длина вектора Угол между векторами
Ортонормированный базис
Скалярное произведение в L
Векторное и смешанное произведение
Определение и свойства векторного произведения
Приложения векторного произведения
Определение и свойства смешанного произведения
Приложения смешанного произведения
Прямая и гиперплоскость
Прямая в R n
Гиперплоскость в R n
Взаимное расположение прямой и гиперплоскости
Расстояние от точки до гиперплоскости
Матрицы и операции над ними
Основные определения
Операции над матрицами
Определитель квадратной матрицы
Обратная матрица
Решение систем линейных уравнений Основные понятия
Основные понятия
Структура общего решения линейной системы
Правило Крамера решения линейной системы
Матричный метод
Решение линейных систем
Метод Гаусса практического решения систем линейных уравнений
Ранг матрицы
Теорема Кронекера – Капелли
Линейные операторы
Определение и примеры линейных операторов
Матрица линейного оператора
Самонапряженный оператор
Действия над операторами
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Условие диагональности линейного оператора
Кривые и поверхности второго порядка
Кривые второго порядка
Поверхности второго порядка
Классификация кривых и поверхностей второго порядка
Классификация кривых второго порядка
Классификация поверхностей второго порядка
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Введение в математический анализ
Множества вещественных чисел
Понятие предела числовой последовательности
Арифметические действия с последовательностями, имеющими предел
Числовые последовательности
О неопределенностях
Монотонные последовательности Определение
Число e
Верхние и нижние грани множеств
Теорема Больцано – Вейерштрасса
Функции Предел функции
Непрерывность функции
Определения непрерывности функции
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции и их свойства
Теоремы о пределах функций
Бесконечно большие функции
Сравнение бесконечно малых
Сравнение бесконечно малых
Свойства функций, непрерывных в точке
Классификация точек разрыва
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Введение в дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная
Производная
Механический смысл производной
Дифференцируемость
Производные элементарных функций
Производные сложных, обратных, логарифмических функций
Производная сложной функции
Обратная функция
Производные элементарных функций
Дифференцирование степенно-показательных выражений
Дифференциал
Дифференциал функции
Связь между существованием производной и существованием дифференциала функции
Свойства дифференциала
Дифференциал сложной функции
Геометрический смысл дифференциала
Производные и дифференциалы высших порядков
Дифференцирование параметрически заданных функций
Некоторые теоремы Ролля, Лагранжа, Коши о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля о нулях
Теорема Лагранжа о конечных приращениях
Теорема Коши об отношении приращений двух функций
Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Раскрытие неопределенностей вида
Раскрытие неопределенностей вида
Раскрытие неопределенностей вида
Формула Тейлора и ее приложения
Формула Тейлора
Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции
Разложение функций по формуле Тейлора
Исследование функций с помощью производных Возрастание и убывание функций Исследование функций на экстремум
Условия возрастания и убывания функций
Точки экстремума Необходимые условия экстремума
Достаточный признак экстремума
Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке -й производной
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Выпуклость, вогнутость Точки перегиба
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Выпуклость и вогнутость графика функции
Точки перегиба Необходимое условие существования точек перегиба Достаточное условие
Асимптоты План исследования функций и построения графиков
Асимптоты графика функции
Общая схема исследования функции и построения ее графика
Дифференциал длины дуги
Кривизна плоской кривой
Кривизна
Вычисление кривизны кривой
Радиус кривизны Окружность кривизны Центр кривизны
Эволюта и эвольвента
Комплексные числа
Комплексные числа Определение, геометрическое изображение
Геометрическое изображение комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная функция в комплексной области
Некоторые сведения о многочленах
Приближенное решение уравнений
Метод хорд
Метод касательных (метод Ньютона)
Комбинированный метод
Метод итераций
Фортран-программа вычисления корней заданного уравнения на заданном отрезке
Интерполирование
Постановки задачи
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционный многочлен Ньютона
Численные дифференцирование
Интегральное исчисление функций одной переменной
Неопределенный интеграл и его свойства Основные методы интегрирования
Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов
Некоторые свойства неопределенного интеграла
Основные методы интегрирования
Интегрирование по частям Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование по частям
Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование рациональных дробей
Определение рациональной дроби Интегрирование простейших рациональных дробей
Разложение рациональной дроби на простейшие
Метод неопределенных коэффициентов
Правила интегрирования рациональных дробей
Метод Остроградского Интегралы от иррациональных функций
Метод Остроградского
Интегралы от некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка
Методы интегрирования некоторых специальных классов тригонометрических функций
Тригонометрические подстановки
Тригонометрические подстановки
О функциях, интегралы которых не выражаются через элементарные функции
Определенный интеграл: постановка задачи, существование, свойства
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Интегральная сумма Определенный интеграл
Теорема существования определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл: теорема о среднем, формула Ньютона — Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям
Теорема о среднем значении определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла Формула Ньютона – Лейбница
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах
Вычисление площадей для случая задания их границ уравнениями в параметрической форме
Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах
Вычисление длины дуги кривой
Вычисление длины дуги в декартовых координатах
Вычисление длины дуги в случае параметрического задания кривой
Длина дуги кривой в полярных координатах
Вычисление объема Механические приложения определенного интеграла
Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
Объем тела вращения
Вычисление работы переменной силы
Задача на вычисление силы Архимеда
Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)
Теоремы сравнения для несобственных интегралов первого рода
Интегралы от неограниченных функций (интегралы второго рода)
Теоремы сравнения для несобственных интегралов второго рода
Приближенные методы вычисления определенных интегралов
Постановка задачи Общая идея методов приближенных вычислений
Формула прямоугольников
Формула трапеций
Формула парабол (формула Симпсона)
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Основные понятия и определения Функции двух переменных и области их определения График функции двух переменных Предел и непрерывность
Функции двух переменных и области их определения
График функции двух переменных
Предел и непрерывность
Частные производные Дифференциал
Свойства непрерывных в замкнутой и ограниченной области функций
Частные производные первого порядка
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
Полное приращение функции и полный дифференциал
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям Производные сложных и неявных функций
Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференцирование сложных функций
Неявные функции и их дифференцирование
Частные производные и дифференциалы высших порядков Формула Тейлора для функции двух переменных
Частные производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора для функции двух переменных
Экстремум функции двух переменных
Определение экстремума функции двух переменных
Необходимые условия существования экстремума
Достаточные условия существования экстремума
Примеры исследования функций на экстремум
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных Условный экстремум Необходимые условия
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области
Пример исследовании функции на наибольшее и наименьшее значения
Условный экстремум Уравнение связи
Необходимые условия условного экстремума
Достаточные условия существования условного экстремума Метод наименьших квадратов
Достаточные условия существования условного экстремума
Пример решения задачи на отыскание условного экстремума
Метод наименьших квадратов
Векторная функция скалярного аргумента
Задачи, приводящие к понятию векторной функции скалярного аргумента
Предел и производная векторной функции скалярного аргумента
Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
Геометрический смысл полного дифференциала
Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
Интегральное исчисление функций многих переменных
Интегралы, зависящие от параметра
Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра Формула Лейбница
Применение интегралов, зависящих от параметра к вычислению некоторых «неберущихся» интегралов
Интегрирование по параметру интегралов, зависящих от параметра
Интеграл Пуассона Гамма-функция
Интеграл Пуассона
Гамма-функция и ее свойства
Двойной интеграл
Задача об объеме, приводящая к понятию двойного интеграла
Определение двойного интеграла Теорема существования
Свойства двойного интеграл
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле
Двойной интеграл в полярных координатах
Приложения двойного интеграла
Масса плоской фигуры
Статические моменты, центр тяжести плоской фигуры
Площадь поверхности
Тройной интеграл
Определение тройного интеграла Теорема существования
Свойства тройного интеграла
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Тройной интеграл в сферических координатах
Приложения тройного интеграла
Вычисление объема тела
Вычисление массы тела
Статические моменты и центр тяжести тела
Криволинейный интеграл второго рода
Задачи, приводящие к криволинейному интегралу
Определение криволинейного интеграла Теорема существования
Вычисление криволинейного интеграла
Свойства криволинейного интеграла
Формула Грина – Остроградского Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
Формула Остроградского – Грина
Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
Криволинейный и поверхностный интегралы первого рода
Криволинейный интеграл по длине дуги Вычисление массы кривой
Интеграл по площади поверхности (поверхностный интеграл первого рода)
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Поверхностные интегралы второго рода
Задача о потоке жидкости через поверхность
Определение поверхностного интеграла второго рода
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Элементы теории поля
Скалярное поле
Определение и примеры скалярных полей
Производная по направлению
Градиент скалярного поля
Градиент функции перпендикулярен к поверхности уровня
Векторное поле
Определение векторного поля
Векторные линии
Формула Остроградского – Гаусса
Дивергенция векторного поля и ее физический смысл
Формула Стокса Ротор и циркуляция векторного поля Оператор Гамильтона
Формула Стокса Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Ротор и циркуляция векторного поля Векторная запись формулы Стокса
Оператор Гамильтона и его применение
Потенциальное и соленоидальное поля Уравнение Лапласа
Потенциальное поле Отыскание потенциала
Соленоидальное поле
Уравнение Лапласа
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Дифференциальные уравнения первого порядка
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения первого порядка
Задача Коши Теорема Коши
Общее решение
Особые решения
Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения -го порядка
Методы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений первого порядка Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера
Уравнение Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах
Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение n-го порядка Задача Коши, теорема Коши, общее решение
Интегрирование уравнений, допускающих понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения
Линейные уравнения n-го порядка Теорема Коши
Линейное однородное уравнение второго порядка Свойства его решений
Линейные неоднородные уравнения
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение
Случай различных корней характеристического уравнения
Случай кратных корней характеристического уравнения
Случай комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями
Уравнение гармонического осциллятора Резонанс
Системы дифференциальных уравнений
Система в нормальной форме Общее решение
Решение системы сведений ее к уравнению высшего порядка
Обратное сведение
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Построение фундаментальной системы решений
Метод Эйлера
Линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами Метод скалярной прогонки
Вводные замечания и постановка задачи
Конечно-разностный метод прогонки
Фортран-программа решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка методом прогонки
Системы линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами Метод матричной прогонки
Постановка задачи Уравнения и граничные условия
Конечно-разностная аппроксимация уравнений и граничных условий
Решение конечно-разностных уравнений методом матричной прогонки
Фортран-подпрограмма вычисления обратной матрицы
Числовые и функциональные ряды
Числовые ряды Определение, свойства, сходимость
Определение числового ряда
Сумма числового ряда, его сходимость
Геометрическая прогрессия
Простейшие свойства числовых рядов
Необходимый признак сходимости рядов
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Признаки сравнения рядов
Признак Даламбера
Признак Коши
Интегральный признак сходимости Коши
Знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Общий случай знакопеременных рядов
Остаток ряда
Оценка остатка знакоположительного ряда
Оценка остатка знакопеременного ряда
Оценка остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница
Функциональные ряды
Понятие функционального ряда, его области сходимости, суммы
Мажорируемые функциональные ряды и их свойства
Степенные ряды Интервал сходимости
Свойства степенных рядов
Степенные ряды Ряд Тейлора Ряд Маклорена
Степенной ряд по степеням (x – a)
Ряд Тейлора
Вывод формулы остаточного члена Ряд Маклорена
Разложение функции ex в ряд Маклорена
Разложение некоторых функций в степенные ряды Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
Разложение в ряд Маклорена функций f(x) sin x, f(x) cos x
Биномиальный ряд
Разложение в ряд Маклорена функции f(x) ln ( + x)
Методы, применяемые для разложения функций в степенные ряды
Применение степенных рядов в приближенных вычислениях
Ряды Фурье Тригонометрические ряды Фурье с периодом
Постановка задачи Некоторые вспомогательные утверждения
Определение коэффициентов ряда Фурье
Условия сходимости Теорема Дирихле
Ряды Фурье для четных и нечетных функций, для функций с периодом l, для непериодических функций
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Разложение функции в ряд Фурье на отрезке [, l]
Ряд Фурье для непериодической функции
Возможности применения рядов Фурье к решению дифференциальных уравнений и краевых задач
Методы математического моделирования физических процессов
Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний балки Граничные и начальные условия
Основные предпосылки теории изгиба балок
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки
Граничные и начальные условия
Поперечные колебания струны Метод Фурье Частоты и формы колебаний
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны Начальные и граничные условия
Решение задачи методом Фурье Формы и частоты поперечных колебаний
Бесконечная струна Метод Даламбера Бегущие волны
Конечная струна Бегущие волны
Колебания струны под действием заданного начального импульса
Поперечные колебания балки Общая схема расчета свободных колебаний балки Примеры
Постановка задачи и общая схема расчета свободных поперечных колебаний балки
Расчет частот поперечных колебаний консольной балки с упругой опорой на втором конце
Устойчивость прямолинейных форм равновесия при сжатии Динамический критерий устойчивости Примеры
Постановка задачи и общая схема расчета Примеры
Исследование устойчивости стержня под действием следящей силы
Исследование устойчивости стержня-стойки под действием вертикальной силы
Критическая скорость вращения вала Динамический критерий устойчивости Примеры
Гидравлический удар в трубах Метод интегрального преобразования Лапласа
Операционный метод на основе преобразования Лапласа
Постановка краевых задач гидравлического удара
Решение краевых задач операционным методом
Анализ полученных результатов
Задачи теплопроводности Уравнения параболического типа
Постановка задач Уравнение и граничные условия
Применение операционного метода к решению задач теплопроводности
Расчет нестационарных одномерных температурных полей методом прогонки
Решение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и произвольными граничными условиями методом прогонки
Алгоритм расчета температурных полей
Фортран-программа решения краевой задачи с дифференциальным уравнением -го порядка