Математика в задачах с решениями. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.

5-е изд., стер. - СПб.: 2014. — 464 с.

Книга является переизданием « Сборника задач по математике с решениями для техникумов» (2003) тех же авторов. Пособие содержит задачи по всем разделам курса математики, изучаемого в средних специальных учебных заведениях. Каждая глава, помимо задач, содержит краткие теоретические сведения, а также подробные решения типовых примеров и задач. По всем темам приведены вопросы для конспектирования и контрольные задания. Структура книги такова, что любой абитуриент сможет самостоятельно научиться решать самые сложные задачи при подготовке к ЕГЭ. Учебное пособие адресовано учащимся средних школ, лицеев и гимназий. Может быть полезно студентам на начальных этапах изучения курса «Математический анализ».

Формат: pdf

Размер: 15,1 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Оглавление
Предисловие 3
Практические советы учащемуся 4
Вводная глава 6
§ 1. Формулы сокращенного умножения и их применение 6
1, Формулы сокращенного умножения 6. 2. Квадрат суммы и разности двух чисел 6. 3. Куб суммы и разности двух чисел 7. 4. Разность квадратов двух чисел 8. 5. Сумма и разность кубов двух чисел 8, 6. Решение примеров на все формулы сокращенного умножения 9
§ 2. Степень числа 10 1. Возведение в степень. Правило знаков 10. 2. Действия со степенями 11. 3. Нулевой показатель степени 12. 4. Отрицательный показатель степени 13. 5. Дробный показатель степени 14. G. Решение примеров на все действия со степенями 14. 7. Показательные уравнения 15
§ 3. Логарифмы 17 I. Определение логарифма 18. 2. Свойства логарифмов 19. 3. Теоремы о логарифмах произведения, частного, степени и корня 19. 4. Логарифмические уравнения 21
§ 4. Иррациональные выражения 23
1. Основное свойство корня 23. 2. Извлечение корня из произведения, дроби, степени 25. 3. Преобразование корней 26. 4. Действия с корнями 27. 5. Освобождение знаменателя дроби от корня 29. 6. Иррациональные уравнения 30
§ 5. Тригонометрия 31
1. Обобщение понятия угла. Определение и основные свойства тригонометрических функций 32. 2. Основные тригонометрические тождества 38. 3. Формулы сложения аргументов 40. 4. Формулы приведения 42. 5. Формулы двойных и половинных углов 44. б. Формулы сложения одноименных функций 45. 7. Обратные тригонометрические функции 47. 8. Тригонометрические уравнения 48
Вопросы и задачи для конспектирования 50
Глава 1
Линейная алгебра 53
§ 1. Определение матрицы. Действия над матрицами и векторами 53
I. Матрицы 53. 2. Виды матриц. Векторы 53. 3. Равенство матриц 55. 4. Линейные операции над матрицами 55. 5. Умножение матриц 58. G. Свойства умножения матриц 61
§ 2. Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление 61
I. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков 61. 2, Основные свойства определителей 63. 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя 65. 4. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца 66
§ 3. Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков 68 1. Определение обратной матрицы 68. 2. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков 69
§ 4. Решение простейших матричных уравнений 71
1. Простейшие матричные уравнения и их решение 71. 2. Решение системы линейных уравнений в матричной форме 74
§ 5. Решение линейных уравнений по формулам Крамера 75 1. Теорема Крамера 76. 2. Применение формул Крамера к решению систем линейных уравнений 77
§ 6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 79 Вопросы и задачи для конспектирования 81 Контрольное задание 82
Глава II
Числовые системы и приближенные вычисления 84
§ 1. Действия с приближенными числами 84 I. Приближенные числа 84. 2. Абсолютная погрешность 85. 3. Запись приближенных чисел 86. 4. Округление приближенных чисел 88. 5. Относительная погрешность 89. 6. Действия с приближенными числами 90. 7. Вычисления с помощью микрокалькулятора 92. 8. Организация вычислительного процесса 93
§ 2. Комплексные числа 95 I. Понятие мнимой единицы 95. 2. Степени мнимой единицы 95. 3. Определение комплексного числа 96. 4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме 97. 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа 100. 6. Тригонометрическая форма комплексного числа 100. 7. Показательная форма комплексного числа 103. 8. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 105
Вопросы и задачи для конспектирования ПО
Контрольное задание 111
Глава III
Векторы и координаты 113
§ 1, Векторы и действия над ними 113 1. Векторные величины. Понятие вектора 113. 2. Действия над векторами 115. 3. Разложение вектора в базисе 118. 4. Декартова система координат 119
§ 2. Прямоугольные координаты на плоскости 120 1. Действия над векторами, заданными своими координатами 120. 2. Длина векто¬ра, расстояние между двумя точками на плоскости 121. 3. Деление отрезка в данном отношении 123
§ 3. Скалярное произведение векторов 124
1. Определение скалярного произведения 124. 2. Скалярное произведение векторов в координатной форме 126. 3. Нахождение угла между векторами 126
§ 4. Прямоугольные координаты в пространстве 127
§ 5. Уравнение линии на плоскости 129 1. Уравнение линии 129. 2. Понятие о параметрическом уравнении линии 130. 3. Общее уравнение прямой 131. 4. Правило составления уравнения прямой 132. 5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный
нормальный вектор 133. б. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор 135. 7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 136. 8. Уравнение прямой в отрезках 137
§ 6. Исследование взаимного расположения прямых 138 I. Параллельность прямых 138. 2. Перпендикулярность прямых 139. 3. Угол между двумя прямыми 140
§ 7. Кривые второго порядка 140
1. Уравнение второй степени с двумя переменными 140. 2. Окружность и ее уравнение 141. 3. Эллипс и его уравнение 142. 4. Гипербола и ее уравнение 144. 5. Парабола и ее уравнение 146
Вопросы и задачи для конспектирования 148
Контрольное задание 150
Глава IV
Производная и ее приложения 152
§ 1. Свойства и графики основных элементарных функций 152
1. Постоянные и переменные величины 152. 2. Область изменения переменной 153. 3. Определение функции. Частное значение функции 154. 4. Область определения функции 155. 5. Способы задания функции 159. 6. Основные свойства функций 161.
7. Основные элементарные функции 167
§ 2. Предел и непрерывность функции 170
i. Предел переменной величины 170. 2. Основные свойства пределов 171. 3. Предел функции в точке 172. 4. Приращение аргумента и приращение функции 173. 5. Понятие о непрерывности функции 174. 6. Предел функции на бесконечности 178. 7. Замечательные пределы 179. 8. Вычисление пределов 180
§ 3. Производная 185
1. Задачи, приводящие к понятию производной 185. 2. Определение производной 190. 3. Общее правило нахождения производной 192. 4. Частное значение производной 194. 5. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции 195
§ 4. Правила и формулы дифференцирования элементарных функций 196 1. Таблица правил и формул дифференцирования 196. 2. Правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения и частного 198. 3. Правило дифференцирования сложной функции 203. 4. Дифференцирование логарифмических функций 205. 5. Производная степенной функции 208. 6. Производная показательной функции 210. 7. Дифференцирование тригонометрических функций 211.
8. Дифференцирование обратных тригонометрических функций 216
§ 5. Геометрический и механический смысл производной 219 1. Геометрический смысл производной 219. 2. Механический смысл производной 225. 3. Производная второго порядка и ее механический смысл 227. 4. Приложения производной к решению физических задач 230
§ 6. Дифференциал 233
1. Понятие дифференциала 233. 2. Геометрический смысл дифференциала 234. 3. Вычисление дифференциала 235. 4. Дифференциал сложной функции 236. 5. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 237
§ 7. Исследование функций и построение графиков 243 1. Возрастание и убывание функций 243. 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной 248. 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной 253. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 256.
5. Практическое применение производной 258. 6. Вогнутость и выпуклость. Точки перегиба 262. 7, Построение графиков функций 266
Вопросы и задачи для конспектирования 275
Контрольное задание 276
Глава V
Интеграл и его приложения 278
§ 1.Первообразная 278
1. Дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные действия 278.
2. Определение первообразной функции 278. 3. Неоднозначность нахождения первообразной 280
§ 2.Неопределенный интеграл и его свойства 281 1. Определение интеграла 281. 2. Основные свойства неопределенного интеграла 282
§ 3.Основные табличные интегралы 284
1. Основные формулы интегрирования 284. 2. Интегрирование по формуле I 286.
3. Интегрирование по формуле II 288. 4. Интегрирование по формулам III и IV 289.
5. Интегрирование по формулам V и VI 290.

6. Интегрирование по формулам VII и VIII 291. 7. Интегрирование по формулам IX и X 293
§ 4.Приложения неопределенного интеграла 294
I. Нахождение первообразной по начальным условиям 294. 2. Выделение из семейства кривых с одинаковым наклоном линии, проходящей через конкретную точ¬ку 295. 3. Составление уравнения движения тела по заданному уравнению скорости или ускорения его движения 296
§ 5.Интегрирование подстановкой и по частям 298
I. Способ подстановки (замены переменной) 298. 2. Примеры интегрирования подстановкой 300. 3. Способ интегрирования по частям 304
§ 6.Определенный интеграл и его геометрический смысл 306
1. Криволинейная трапеция и ее площадь 306. 2. Вычисление площади криволинейной трапеции 308. 3. Определение определенного интеграла 309
§ 7.Основные свойства и вычисление определенного интеграла 313
I. Простейшие свойства определенного интеграла 313. 2. Подстановка в определенном интеграле 315. 3. Вычисление определенных интегралов 315
§ 8.Вычнсление площадей фигур с помощью определенного интеграла 319
1. Правило вычисления площадей плоских фигур 319. 2. Площади фигур, расположенных над осью Ох 320. 3. Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью Ох 324. 4. Площади фигур, прилегающих к оси Оу 328. 5. Симметрично расположенные плоские фигуры 330
§ Э.Приближенное вычисление определенного интеграла 331
1. «Неберущиеся» интегралы 331. 2. Определенный интеграл как предел суммы 333. 3. Метод прямоугольников 335. 4. Метод трапеций 338. 5. Метод парабол 341
§ Ю.Применение определенного интеграла к решению физических задач 343 1. Схема решения задач на приложения определенного интеграла 343. 2. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении 343. 3. Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела 346. 4. Вычисление
работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины 347. 5. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку 348
Вопросы и задачи для конспектирования 353
Контрольное задание 355
Глава VI
Дифференциальные уравнения 357
§ I. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 357
1. Расширение понятия уравнения 357. 2. Понятие о дифференциальном уравнении 358.3. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 361
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными 363
1. Порядок дифференциального уравнения 363. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными 364. 3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 365. 4. Задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными 369
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 373 1. Основные понятия 373. 2. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли 374. 3. Задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка 377. 4. Линейные дифференциальные уравнения вида // + ау = Ь и у* = ау 378. 5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с искомой функцией х{у) 380
§ 4. Дифференциальные уравнения высших порядков 381
I. Понятие о дифференциальном уравнении высшего порядка 382. 2. Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение 382. 3. Задача Коши для простейшего дифференциального уравнения второго порядка 384. 4. Задачи, сводящиеся к простейшим дифференциальным уравнениям второго порядка 385. 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 386
§ 5. Решения некоторых дополнительных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 394
1. Сфера применения дифференциальных уравнений 394. 2. Составление дифференциального уравнения по условию задачи 395. 3. Алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений 396. 4. Дополнительные задачи на составление дифференциальных уравнений 397
Вопросы и задачи для конспектирования 403
Контрольное задание 405
Глава VII
Элементы теории вероятностей 406
§ 1. Основные понятия комбинаторики 406
1. Понятие факториала 406. 2. Перестановки 407. 3. Размещения 408. 4. Сочетания 409.
§ 2. Основные понятия теории вероятностей 411 1. Предмет теории вероятностей 411. 2. Основные понятия и определения 411. 3. Относительная частота события 413. 4. Определение вероятности события 413
§ 3. Операции над событиями 415
1. Теорема сложения вероятностей 415. 2. Условная вероятность 418. 3. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей 420. 4. Формула полной вероятности 423
§ 4. Случайные величины 424 1. Формула Бернулли 424. 2. Закон распределения случайной величины 426. 3. Биномиальное распределение 427
§ 5. Математическое ожидание 428
1. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 428.
2. Понятие о законе больших чисел 430. 3. Понятие о задачах математической статистики 431
Вопросы и задачи для конспектирования 433
Контрольное задание 434
Ответы, указания, решения 435