Математический анализ. Горлач Б.А.

СПб.: 2013. — 608 с.

Изложение соответствует программам математических дисциплин для экономических специальностей. Экономическая направленность определяется рассмотренными приложениями математики к экономике и примерами решения экономических задач. Основная часть курса также соответствует программам математической подготовки студентов инженерно-технических специальностей. Разобраны решения типовых задач. Даны условия задач для самостоятельного решения и задания для выполнения расчетных работ. Приведены вопросы для самопроверки усвоения материала и типовые контрольные работы. Пособие предназначено для студентов указанных специальностей различных форм обучения для самостоятельного овладения материалом. Методические разработки практических занятий будут полезны преподавателям математики

Формат: pdf

Размер: 4,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Введение в анализ 4
§ 1.1. Язык и символика математики 4
§ 1.2. Множества. Основные понятия 8
§ 1.3. Декартовы произведения 13
§ 1.4. Непрерывность действительных чисел 15
§ 1.5. Функция. Основные понятия и свойства 18
§ 1.6. Способы задания функций 21
§ 1.7. Элементарные функции 25
§ 1.8. Преобразование графиков функций 29
§ 1.9. Интерполирование функций 31
§ 1.10. Приближения и ошибки 34
§ 1.11. Итерационные методы 35
§ 1.12. Паутинная модель рынка 38
§ 1.13. Резюме 40
§ 1.14. Вопросы 42
Упражнения 47
Тема 1.1 (§ 1.2) 47
Тема 1.2 (§§ 1.5-1.10) 53
Глава 2. Последовательности и пределы 62
§ 2.1. Предел числовой последовательности 62
§ 2.2. Монотонные последовательности 64
§ 2.3. Операции над последовательностями 68
§ 2.4. Предел функции 70
§ 2.5. Определения предела функции 72
§ 2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 75
§ 2.7. Теоремы о пределах функций 77
§ 2.8. Неопределенности в пределах 79
§ 2.9. Замечательные пределы 82
§2.10. Математика финансов 85
2.10.1. Начисление процентов на вклады 86
2.10.2. Эффективная процентная ставка 88
2.10.3. Аннуитет 89
§2.11. Непрерывность функции в точке 92
§2.12. Функции, непрерывные на промежутках 95
§2.13. Сравнение функций 98
§2.14. Резюме 102
§2.15. Вопросы 104
Упражнения 108
Тема 2.1 (§§ 2.1-2.3) 108
Тема 2.2 (§§ 2.4-2.8) 115
Тема 2.3 (§§ 2.9, 2.11-2.13) 121
Тема 2.4 (§ 2.10) 126
Типовые контрольные работы 130
Глава 3. Производная и дифференциал 133
§ 3.1. Постановка задачи 133
§ 3.2. Определение производной 135
§ 3.3. Вычисление производной 137
§ 3.4. Дифференциал функции 140
§ 3.5. Свойства производных и дифференциалов 144
§ 3.6. Производные сложных и обратных функций 146
§ 3.7. Производные параметрических и неявно заданных функций 150
§ 3.8. Производные и дифференциалы высших порядков . . 153
§ 3.9. Производные в задачах экономики 156
3.9.1. Предельные величины в экономике 156
3.9.2. Темп изменения функции 157
3.9.3. Эластичность 158
3.9.4. Распределение налогового бремени 161
§3.10. Резюме 164
§3.11. Вопросы 164
Упражнения 168
Тема 3.1 (§§ 3.2, 3.3, 3.5) 168
Тема 3.2 (§§ 3.4-3.8) 172
Тема 3.3 (§ 3.9) 174
Глава 4. Исследование функций 182
§ 4.1. Теоремы о среднем 182
§ 4.2. Правило Лопиталя 186
§ 4.3. Формула Тейлора 188
§ 4.4. Определение остаточного члена ряда Тейлора .... 193
§ 4.5. Монотонность функции 195
§ 4.6. Экстремумы функции 197
§ 4.7. Условия существования экстремумов 200
§ 4.8. Экстремумы в экономике 205
§ 4.9. Выпуклость функции и точки перегиба 211
§4.10. Асимптоты 214
§4.11. Схема исследования функций 217
§4.12. Выбор и исключение интервалов 220
§4.13. Метод золотого сечения 224
§ 4.14. Метод хорд 229
§4.15. Метод касательных 231
§4.16. Метод хорд и касательных 233
§4.17. Резюме 236
§4.18. Вопросы 238
Упражнения 244
Тема 4.1 (§§ 4.1-4.4) 244
Тема 4.2 (§§ 4.5-4.11) 250
Задание на расчетную работу 1 257
Глава 5. Функции нескольких переменных (ФНП) 258
§5.1. Функции в n-мерных пространствах 258
§ 5.2. Последовательности и пределы функции нескольких переменных 260
§ 5.3. Непрерывность функции нескольких переменных . . 263
§ 5.4. Частные производные 266
§ 5.5. Дифференциал функции нескольких переменных . . 268
§ 5.6. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных 272
§ 5.7. Производная по направлению 275
§ 5.8. Градиент функции 277
§ 5.9. Неявно заданные функции одной переменной 281
§ 5.10. Неявно заданные функции нескольких переменных 284
§5.11. Формула Тейлора. Квадратичные формы 290
§ 5.12. Локальные экстремумы функции нескольких переменных 294
§ 5.13. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных 300
§ 5.14. Условный экстремум 304
§ 5.15. Множители Лагранжа 307
§5.16. Симплексный метод поиска экстремума 311
§5.17. Метод градиентного спуска 315
§5.18. Резюме 321
§5.19. Вопросы 323
Упражнения 328
Тема 5.1 (§§ 5.1-5.4) 328
Тема 5.2 (§§ 5.7-5.8) 332
Тема 5.3 (§§ 5.12-5.13) 339
Типовые контрольные работы 348
Задание на расчетную работу 2 350
Глава 6. Интегрирование 351
§ 6.1. Первообразная и неопределенный интеграл 351
§ 6.2. Свойства неопределенного интеграла 352
§ 6.3. Таблица основных интегралов 353
§ 6.4. Метод замены переменной 354
§ 6.5. Метод интегрирования по частям 356
§ 6.6. Преобразование рациональных дробей 358
§ 6.7. Примеры интегрирования рациональных дробей . . . 361
§ 6.8. Интегрирование тригонометрических функций .... 364
§ 6.9. Понятие определенного интеграла 367
§6.10. Свойства определенного интеграла 368
§6.11. Методы интегрирования по частям и замены переменной 370
§6.12. Несобственные интегралы 372
§ 6.13. Геометрический смысл определенного интеграла . . . 373
§ 6.14. Приложения определенного интеграла к задачам экономики 378
§6.15. Приближенное вычисление интегралов 384
§ 6.16. Формула Симпсона 386
§6.17. Пример численного определения площади 388
§6.18. Резюме 391
§6.19. Вопросы 394
Упражнения 399
Тема 6.1 (§§ 6.1-6.4) 399
Тема 6.2 (§§ 6.5-6.8) 406
Тема 6.3 (§§ 6.9-6.12) 416
Тема 6.4 (§§ 6.13-6.14) 421
Типовые контрольные работы 429
Задание на расчетную работу 3 430
Глава 7. Дифференциальные уравнения 432
§ 7.1. Основные понятия 432
§ 7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . 438
7.2.1. Теорема существования и единственности . . . 438
7.2.2. Автономные уравнения. Качественный анализ 441
7.2.3. Уравнения с разделяющимися переменными 447
7.2.4. Линейные уравнения 449
7.2.5. Уравнения с постоянным коэффициентом при у 451
§ 7.3. Комплексные числа 456
§ 7.4. Однородные уравнения второго порядка 458
§ 7.5. Структура решения линейных уравнений п-го порядка 462
§ 7.6. Метод вариации произвольных постоянных 465
§ 7.7. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 470
§ 7.8. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 471
§ 7.9. Уравнения, допускающие понижение порядка 474
§ 7.10. Системы линейных дифференциальных уравнений . . 477
§7.11. Разностные уравнения 483
§ 7.12. Численные методы 487
§7.13. Дифференциальные уравнения в экономике 490
§7.14. Резюме 499
§7.15. Вопросы 500
Упражнения 505
Тема 7.1 (§§ 7.1-7.2) 505
Тема 7.2 (§§ 7.4-7.8) 512
Типовые контрольные работы 526
Глава 8. Ряды 529
§ 8.1. Числовые ряды 529
§ 8.2. Сходимость рядов. Признаки сравнения 531
§ 8.3. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов . . . 534
§ 8.4. Знакопеременные ряды 537
§ 8.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость . . . 539
§ 8.6. Функциональные свойства функциональных рядов . . 540
§ 8.7. Степенные ряды 542
§ 8.8. Ряды Фурье 544
§ 8.9. Приложение рядов 548
§8.10. Резюме 551
§8.11. Вопросы 552
Упражнения 555
Тема 8.1 (§§ 8.1-8.4) 555
Тема 8.2 (§§ 8.5-8.7) 563
Тема 8.3 (§§ 8.8-8.9) 570
Задание на расчетную работу 4 580
Литература 582
Ответы 583
Предметный указатель 591