Лекции по высшей математике. Осипов А.В.

СПб.: 2014. — 320 с.

Книга является конспектом лекций, которые читаются автором студентам нематематических специальностей. Программа курса реализуется в течение трех семестров (3 часа лекций и 3 часа практических занятий в неделю). Однако содержание конспекта несколько шире, поскольку часть материала (например, уравнения старших порядков) не входит в эту программу. Книга снабжена задачами для практических занятий. Как правило, к задачам приводятся ответы или указания к решению (в конце каждой главы). В таких случаях над номером задачи ставится небольшой кружочек (например, 1°). Если задача потруднее (что встречается не слишком часто), то над номером ставится звездочка (например, 7*). Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки «Геология», «География», «Социология», «Психология», «Экономика» и «Менеджмент».

Формат: pdf

Размер: 7,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Содержание
Общие сведения 7
1. Множества и операции с ними 7
Объединение и пересечение множеств 7
Дополнение к множеству 8
Разность множеств 8
2. Функции 15
3. Логические функции 22
Функции на двухточечном множестве 22
Разговор о логике, который можно пропустить 22
Атомарные высказывания 23
Сложное высказывание 24
Высказывания и высказывательные функции 24
4. Метод математической индукции 29
5. Элементы комбинаторики 31
6. Конечные и бесконечные множества 36
Натуральный ряд 36
Простая арифметика 37
Счетные и несчетные множества 37
Мощность множества 39
Предел и производная 40
1. Последовательности 40
Простейшие свойства последовательностей 40
Предел последовательности 42
Бесконечно малые и бесконечно большие величины 44
Число е 45
Рекуррентные последовательности 47
2. Предел функции. Непрерывность 51
Замыкание множества 51
Предел функции 52
Эквивалентные функции 54
Символ Ландау 54
Определение предела на языке последовательностей 56
Непрерывность функции 57
Точки разрыва 59
3. Производная 62
Приращение функции, производная и дифференциал 62
Геометрический смысл производной 66
Уравнение касательной к графику функции 67
Пример непрерывной функции, не имеющей производной 68
4. Монотонность и экстремумы 73
Монотонность и неравенства 74
Экстремумы 75
5. Правило Лопиталя и формула Лейбница 81
Вторая производная 82
6. Выпуклые функции и неравенства 84
Неравенство п точек 85
Касательные к выпуклым функциям и неравенства 86
Неравенство Иенсена 87
7. * Выпуклые множества 90
Треугольник Рело 91
8. Графики функций 93
План полного исследования функции 93
Асимптоты 96
Построение графиков дробно-рациональных функций 97
9. Кривые, заданные параметрически 105
Кривые в полярных координатах 107
Параметризация кривых, заданных неявно 108
Матрицы и линейные системы 110
1. Матрицы и операции с ними 110
Перемножение матриц 111
Определитель квадратной матрицы 112
2. Системы линейных уравнений 118
Метод Гаусса 119
Правило Крамера 121
Обратная матрица 122
3. Комплексные числа 127
Геометрическое представление комплексных чисел 128
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел 129
Экспоненциальное представление 130
Дополнительные главы 135
1. Решение уравнений большой степени 135
Решение кубических уравнений 136
Решение уравнений четвертой степени 138
2. Несколько оптимизационных задач 142
Интеграл 148
1. Неопределенный интеграл 148
Первообразная и класс первообразных 148
Неопределенный интеграл 149
Замена переменных в неопределенном интеграле 151
Интегрирование дроби с квадратичным знаменателем 152
Интегрирование по частям 153
Интегралы от тригонометрических функций 154
Интегралы от дробно-рациональных функций 155
2. Определенный интеграл 162
О мере и измеримости 162
Интегральные суммы 163
Свойства определенного интеграла 165
3. Несобственные интегралы 174
Интегралы по бесконечному промежутку 174
Несобственные интегралы II рода 175
Теоремы о сходимости несобственных интегралов 176
Ряды 178
1. Конечные суммы 178
Некоторые способы суммирования 179
2. Числовые ряды 181
Основные определения 181
Ряды с неотрицательными членами 183
Асимптотическое поведение частичных сумм 187
Сходимость специального ряда 188
Знакопеременные ряды 189
Признак Лейбница сходимости несобственных интегралов 191
3. Степенные ряды 193
Ряд Тейлора 194
Биномиальный ряд 199
Многочлен Тейлора и остаточный член в форме Лагранжа 200
Прямая на плоскости 203
1. Линейная функция 203
Прямая на плоскости как график линейной функции 203
Общее, или симметричное, уравнение прямой 204
Нахождение биссектрисы, высоты и медианы 206
Косое произведение векторов 208
Другие виды уравнений прямой 210
Линейная интерполяция 212
2. Оценка рентабельности инвестиций 218
Кривые второго порядка 221
1. Характерные примеры 221
Общее уравнение кривых второго порядка 225
Функции нескольких переменных 229
1. Основные понятия 229
Предел функции и непрерывность 231
Частные производные 233
Частные производные полярных функций 234
Линии уровня и градиент 235
2. Экстремумы 239
3. Условные экстремумы 244
Принцип Ферма - Снелла 245
Глобальные (абсолютные) экстремумы 246
4. Метод наименьших квадратов 251
5. Двойные интегралы 254
6. Отображения и замены переменных 261
Матрица Якоби 261
Кривые на плоскости (п = 1, т = 2) 263
Функции, определенные на кривой 264
Отображения плоскости на плоскости (п = 2, m = 2) 266
Замены переменных 267
Обыкновенные дифференциальные уравнения 270
1. Теорема Пеано 270
Единственность и интегральная непрерывность 272
2. Уравнения первого порядка 273
Уравнение с разделяющимися переменными 273
Линейное уравнение 274
Уравнение Бернулли 276
Уравнение Риккати 278
Однородное уравнение 280
Уравнение в полных дифференциалах 282
3. Линейные уравнения 287
Общие сведения 287
Уравнения с постоянными коэффициентами 290
Метод Лагранжа для линейных уравнений 292
Замена независимой переменной 293
Теорема Штурма и уравнение Эйри 294
4. Уравнения Лагранжа и Клеро 297
5. Автономные уравнения и системы 301
6. Устойчивость решений 305