Начала линейной алгебры и аналитическая геометрия. Новиков А.И.

М.: 2015. — 376 с.

Учебное пособие содержит подробное изложение в доступной форме теоретического материала, в основном с доказательствами утверждений, решения типовых задач, вопросы для самоконтроля и обширную подборку задач для самостоятельного решения. Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов технических направлений и специальностей вузов: 200100 «Приборостроение», 210100 «Электроника и наноэлектроника», 201000 «Биотехнические системы и технологии», 210400 «Радиотехника», 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 220400 «Управление в технических системах», 230400 «Информационные системы и технологии», 240100 «Химическая технология».

Формат: pdf

Размер: 14 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Матричная алгебра. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений 12
§ 1. Матричная алгебра 12
1.1. Классификация матриц 12
1.2. Линейные операции над матрицами 16
1.2.1. Сложение матриц (16). 1.2.2. Умножение матрицы на число (17).
1.3. Умножение матриц 18
1.4. Транспонирование матриц 22
Вопросы для самоконтроля к § 1 23
§2. Теория определителей 24
2.1. СЛАУ и определители второго порядка 24
2.2. СЛАУ и определители третьего порядка 28
Вопросы для самоконтроля к пп. 2.1-2.2 37
2.3. Определители n-го порядка 38
2.3.1. Миноры и алгебраические дополнения (38).
2.3.2. Свойства определителей (42).
Вопросы для самоконтроля к п. 2.3 60
Ответы 61
§3. Обратная матрица. Правило Крамера 61
3.1. Обратная матрица 61
3.2. Решение матричных уравнений 70
Вопросы для самоконтроля к пп. 3.1-3.2 71
Ответы и указания 72
3.3. Правило Крамера — общий случай 72
Вопросы для самоконтроля к п. 3.3 77
Ответы 78
§4. Метод Гаусса 78
4.1. Определения 78
4.2. Общая идея и алгоритм метода Гаусса 81
4.3. Примеры решения СЛАУ методом Гаусса 84
4.4. Применение метода Гаусса к однородным СЛАУ 88
Вопросы для самоконтроля к §4 91
Ответы 92
Упражнения 93
Ответы 95
Глава 2. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений 98
§5.п-мерное арифметическое пространство 98
§6. Линейная зависимость векторов 101
§7. Базис пространства М™ 105
§8. Скалярное произведение и норма 110
§ 9. Ранг системы векторов. Ранг матрицы 117
Вопросы для самоконтроля к §5-9 127
§ 10. Общая теория систем линейных уравнений 128
10.1. Теорема Кронекера-Капелли 128
10.2. Свойства решений однородной и неоднородной СЛАУ 130
10.3. Структура решений однородной СЛАУ 131
10.4. Структура решений неоднородной СЛАУ 135
Вопросы для самоконтроля к § 10 139
Упражнения 139
Ответы 142
Глава 3. Векторная алгебра 144
§11. Скалярные и векторные величины 144
§ 12. Линейные операции над векторами 145
Вопросы для самоконтроля к § 11-12 151
§13. Линейная зависимость и независимость векторов 151
§ 14. Базис векторного пространства 154
§ 15. Координаты вектора в базисе 156
Вопросы для самоконтроля к § 13-15 159
Ответы и указания 159
§ 16. Понятие об изоморфизме линейных пространств 160
§ 17. Проекция вектора на ось 162
§ 18. Ортогональные и ортонормированные базисы. Системы координат 165
18.1. Ортогональные и ортонормированные базисы 165
18.2. Аффинные системы координат 166
18.3. Декартовы прямоугольные системы координат 168
18.4. Направляющие косинусы 171
§ 19. Полярная система координат на плоскости 172
§20. Цилиндрическая и сферическая системы координат 175
Вопросы для самоконтроля к § 19-20 179
Ответы 179
§21. Скалярное произведение векторов 180
21.1. Определения, свойства 180
21.2. Скалярное произведение в координатной форме 182
§22. Векторное и смешанное произведения векторов 185
22.1. Векторное произведение: определения, свойства 185
22.2. Смешанное произведение: определения, свойства 187
§23. Векторное и смешанное произведения в координатной форме 189
23.1. Векторное произведение 189
23.2. Смешанное произведение 191
23.3. Геометрические приложения векторного и смешанного произведений 192
Вопросы для самоконтроля к §21-23 194
Ответы и указания 196
Упражнения 196
Ответы 198
Глава 4. Прямая на плоскости 199
§24. Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве 199
24.1. Уравнение линии на плоскости 199
24.2. Уравнения поверхности и линии в пространстве 201
§ 25. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости 204
§26. Общее уравнение прямой 206
§27. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой в отрезках 209
§28. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 211
§29. Взаимное расположение двух прямых. Частные случаи расположения прямой 213
29.1. Взаимное расположение двух прямых 213
29.2. Частные случаи расположения прямой 216
§30. Расстояние от точки до прямой 217
§31. Угол между двумя прямыми на плоскости 220
§32. Нормальное уравнение прямой 223
§33. Уравнение пучка прямых 226
Вопросы для самоконтроля к гл. 4 227
Упражнения 228
Ответы 229
Глава 5. Плоскость и прямая в пространстве 230
§34. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору 230
§35. Общее уравнение плоскости 231
§36. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам 232
§37. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 234
§38. Уравнение плоскости в отрезках 235
§39. Взаимное расположение двух плоскостей 237
§40. Частные случаи расположения плоскости 239
§41. Расстояние от точки до плоскости 240
§42. Угол между двумя плоскостями 241
§43. Нормальное уравнение плоскости 242
§44. Прямая в пространстве 243
44.1. Уравнения прямой 243
44.1.1. Общее уравнение прямой (243).
44.1.2. Параметрические и канонические уравнения прямой (244).
44.2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. . 246
44.3. Угол между двумя прямыми в пространстве 247
44.4. Угол между прямой и плоскостью 248
§45. Типовые задачи 249
Вопросы для самоконтроля к гл. 5 254
Упражнения 256
Ответы 257
Глава 6. Алгебраические кривые второго порядка 259
§46. Общие понятия 259
§ 47. Эллипс 260
47.1. Вывод и исследование канонического уравнения 260
47.2. Директрисы эллипса 265
47.3. Параметрические уравнения эллипса 267
Вопросы для самоконтроля к §47 269
§48. Гипербола 270
48.1. Вывод и исследование канонического уравнения 270
48.2. Директрисы гиперболы 277
Вопросы для самоконтроля к §48 280
§49. Парабола 281
§50. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы 285
§51. Оптические свойства эллипса и параболы 289
Упражнения 293
Ответы 294
Глава 7. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 295
§52. Переход от одной аффинной системы координат к другой . . 295
§53. Связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат 297
§54. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 299
54.1. Многообразие канонических уравнений 299
54.2. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду 301
Вопросы для самоконтроля к гл. 7 312
Ответы и указания 312
Упражнения 312
Ответы 313
Глава 8. Алгебраические поверхности второго порядка ... 315
§55. Общее и канонические уравнения поверхности 315
§56. Исследование поверхностей методом сечений 318
56.1. Эллипсоид 318
56.2. Однополостный гиперболоид 320
56.3. Двуполостный гиперболоид 322
56.4. Конус (коническая поверхность) 323
56.5. Эллиптический параболоид 325
56.6. Гиперболический параболоид 326
56.7. Цилиндрические поверхности 327
56.7.1. Эллиптический цилиндр (328).
56.7.2. Гиперболический цилиндр (328).
56.7.3. Параболический цилиндр (328).
Упражнения 330
Ответы 331
Глава 9. Численные методы решения систем линейных уравнений 332
§57. Особенности численных алгоритмов на примере метода Гаусса 332
§58. Метод квадратных корней 337
58.1. Идея метода 337
58.2. Факторизация матрицы А 338
58.3. Решение треугольных систем уравнений 342
58.4. Требуемые ресурсы ЭВМ и число операций 343
58.5. Выводы 345
58.6. Пример 346
§ 59. Метод итераций 347
59.1. Алгоритм метода. Примеры 347
59.2. Исследование сходимости метода итераций 352
59.3. Требуемые ресурсы ЭВМ и число операций 358
59.4. Модификации метода итераций 359
§60. Нормальные СЛАУ 362
§ 61. Метод прогонки 363
61.1. Постановка задачи 363
61.2. Алгоритм метода 365
61.3. Требуемые ресурсы ЭВМ и число операций 366
Заключение к главе 9 368
Список дополнительной литературы 371