Математический анализ для инженеров. В 2 ч. Сенчук Ю.Ф.

Харьков: НТУ ХПИ; Ч.1: 2003 – 408с.; Ч.2: 2006 – 376с.

Учебное пособие «Математический анализ для инженеров» написано на базе курса лекций по математическому анализу, который автор читал на протяжении четырѐх десятилетий студентам НТУ ХПИ с усиленной математической подготовкой. В первой части этого пособия изложены такие разделы: теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функций, зависящих от одной переменной, функции нескольких переменных, кратные интегралы. Все изложенные теоретические факты доказаны и проиллюстрированы большим количеством примеров и задач. Книга будет полезна студентам инженерно-физического, физико-технического факультетов, всех факультетов машиностроительного профиля, а также для экономических специальностей. Безусловный интерес она должна вызвать у преподавателей, так как материал в ней излагается в соответствии с учебными программами указанных факультетов, что значительно облегчит подготовку к лекциям и практическим занятиям.

Часть 1.

Формат: pdf

Размер: 1,9 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

Часть 2.

Формат: pdf

Размер: 1,5 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

Часть 1
Предисловие 3
I. Введение в математический анализ 6
1. Основные логические символы 6
2. Простейшие понятия и обозначения теории множеств 6
3. Рациональные и иррациональные числа 8
4. Модуль числа и его свойства 11
5. Интервалы и промежутки 12
6. Постоянные и переменные величины. Классификация переменных 13
7. Функция и способы её задания 15
8. Область определения функции 16
9. Чётные и нечётные функции. Периодические функции 17
10. Однозначные и многозначные функции 18
11. Обратная функция 18
12. Основные элементарные функции 20
13. Сложные функции 25
14. Элементарные функции 26
Упражнення к главе 1 26
II. Предел числовой последовательности 28
1. Определение предела числовой последовательности 28
2. Простейшие свойства пределов числовых последовательностей 30
3. Бесконечно большие последовательности 32
4. Бесконечно малые последовательности и их свойства 34
5. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей 36
6. Лемма о стягивающихся отрезках 38
7. Точная верхняя и нижняя грани числовых множеств 38
8. Предел монотонной последовательности 41
9. Решение характерных примеров на признаки существования пределов числовой последовательности 42
10. Лемма Больцано-Вейерштрасса 48
Упражнення к главе II 49
III. Предел функции. Непрерывность функций 51
1. Предел функции в точке и на бесконечности 51
2. Односторонние пределы функции в точке 54
3. Свойства пределов функций 56
4. Второе определение пределов функции в точке и на бесконечности 59
5. Непрерывность функции в точке и на промежутке 62
6. Другие формы определения непрерывности функции в точке 63
7. Основные теоремы о непрерывных функциях 65
8. Непрерывность основных элементарных функций 66
9. Классификация точек разрыва функций 68
10. О строгих определениях основных элементарных функций 71
11. Основные виды неопределенных выражений и простейшие способы их раскрытия 72
12. Сравнение бесконечно малых 75
13. Эквивалентные бесконечно малые 77
14. Первый замечательный предел и его следствия 80
15. Число е как предел числовой последовательности 83
16. Второй замечательный предел 84
17. Следствия второго замечательного предела 86
18. 0 сравнении бесконечно больших величин 89
19. Теоремы Больцано-Коши 90
20. Условие непрерывности монотонной функции 93
21. Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции 94
22. Теоремы Вейерштрасса 95
23. Равномерная непрерывность функции 97
Упражнения к главе III 99
IV. Производная и дифференциал 103
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной 103
2. Производная, ее геометрический смысл 104
3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.. 106
4. Производная степенной функции 107
5. Основные правила нахождения производной 108
6. Производная показательной и логарифмической функций ПО
7. Производные тригонометрических функций 111
8. Производная обратной функции 112
9. Производные обратных тригонометрических функций 112
10. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций 113
11. Таблица основных формул и правил нахождения производных.... 114
12. Производная сложной функции 115
13. Дифференцирование неявных функций 116
14. Логарифмическое дифференцирование 118
15. Геометрические и физические приложения производных 119
16. Производные высших порядков 122
17. Формула Лейбница 123
18. Дифференциал функции 125
19. Инвариантность дифференциала 128
20. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 128
21. Дифференциалы высших порядков 130
22. Параметрическое задание функций и линий 130
23. Дифференцирование функций, заданных параметрически 134
Задачи и упражнення к главе IV 136
V. Применение производных к исследованию функций и лнннн... 138
1. Случаи недифференцируемости функций, непрерывных в данной точке 138
2. Теорема Ферма 139
3. Теорема Ролля 140
4. Теорема Лагранжа и её следствия 142
5. ТеоремаКоши 144
6. Возрастание и убывание функции на промежутке 144
7. Экстремум функции 146
8. О наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке 148
9. О решении задач на наибольшее и наименьшее значения 150
10. Выпуклость и вогнутость линий. Точки перегиба 151
11. Второе правило исследования функции на экстремум 153
12. Нахождение асимптот линий 154
13. Схема и пример полного исследования функции 156
14.Кривизна плоской кривой 158
15. Радиус кривизны и центр кривизны 160
16. Эволюта, эвольвента и их свойства 162
17. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида —
18. Раскрытие неопределённостей вида — по правилу Лопиталя 169
19. Раскрытие показательно-степенных неопределённостей 173
20. Приближённое вычисление корней уравнений методом хорд и касательных 174
21. Приближённое решение уравнений итерационным методом Пикара 180
22. Формула Тейлора 185
Задачи и упражнення к главе V 188
VI. Неопределенный интеграл н необходимые сведения из алгебры 191
1. Первообразная функция 191
2. Неопределенный интеграл и простейшие формулы интегрирования 193
3. Свойства неопределенных интегралов 196
4. Интегрирование по частям 198
5. Интегрирование путем замены переменной 200
6. Таблица основных интегралов 202
7. Комплексные числа и действия с ними 203
8. Геометрическая форма комплексных чисел 206
9. Тригонометрическая форма комплексных чисел 207
10. Последовательность комплексных чисел и ее предел 209
11. Комплексная степень числа е 210
12. Понятие о комплекснозначных функциях 213
13. Показательная форма и логарифм комплексного числа 215
14. Формулы Эйлера 216
15. Разложение многочлена на множители 217
16. Рациональные дроби и их разложение на простейшие 219
17. Интегрирование рациональных дробей 225
18. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.. 227
19. Об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции 231
Задачи н унражнення к главе VI 232
VII. Определенный интеграл н его приложения 234
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 234
2. Определенный интеграл и его геометрический смысл 236
3. Суммы Дарбу и их свойства 238
4.Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции 240
5. Интегрируемость непрерывной функции 241
6. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва 244
7. Теорема о квазиинтегральной сумме 246
8. Простейшие свойства определенного интеграла 247
9. Свойство аддитивности интеграла 250
10. Интегральные теоремы о среднем 252
11. Интеграл с переменным верхним пределом 255
12. Формула Ньютона-Лейбница. Связь определенного интеграла с неопределенным 257
13.0 связи между дифференциальными и интегральными теоремами о среднем 259
14. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла 260
15. Новые формы остаточного члена формулы Тейлора 261
16. Замена переменной в определенном интеграле 263
17. Интегралы от четных и нечетных функций в симметричных пределах 264
18. Вычисление площадей фигур при помощи интегралов 265
19. Вычисление длин дуг при помощи интегралов 269
20. Вычисление объема при помощи интегралов 273
21. Вычисление площадей поверхностей вращения 275
22. Нахождение координат центров тяжести. Теоремы Гульдина 277
23. Примеры применения интегралов к решению физических задач.. 280
Задачи и унражнення к главе VII 284
VIII. Несобственные интегралы 288
1. Несобственные интегралы первого рода 288
2. Несобственные интегралы 2-го рода 294
3. Интегрирование по частям и замена переменной в несобственном интегра¬ле 299
Задачи и унражнення к главе VIII 302
IХ. Дифференциальное исчнсленне функций многих переменных 303
1. Точки и окрестности в w-мерном пространстве 303
2. Предел последовательности точек 305
3. Открытые и замкнутые множества в Rn 307
4. Линии и области в пространстве R 310
5. Понятие функции п переменных 311
6. Предел функции многих переменных 313
7. Повторные пределы 315
8. Непрерывность и разрывы функций многих переменных 317
9. Свойства непрерывных функций 319
10. Частные производные функции 321
11. Полный дифференциал функции 323
12. Применение полных дифференциалов в приближенных вычислениях 325
13. Дифференцирование сложных функций 327
14. Инвариантность формы полного дифференциала 329
15. Однородные функции. Тождество Эйлера 330
16. Частные производные высших порядков 331
17. Полные дифференциалы высших порядков 334
18. Формула Тейлора для функции многих переменных 335
19. Экстремум функции многих переменных 337
20. Необходимые сведения о квадратичных формах 338
21. Достаточные условия экстремума функции п переменных 339
22. Условный экстремум функции 344
23. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии 353
24. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 355
25. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных 357
26. Огибающая однопараметрического семейства плоских линий 358
Задачи и упражнения к главе IX 361
X. Кратные интегралы 363
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 363
2. Двойной интеграл и его геометрический смысл 364
3. Основные теоремы об интегрируемости функции 365
4. О свойствах двойного интеграла 366
5. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области 367
6. Вычисление двойного интеграла в случае произвольной области 369
7. Вычисление площади поверхности при помощи двойного интеграла 372
8. Физические приложения двойных интегралов 374
9. Тройной интеграл, его вычисление и применение 376
XI. Кратные интегралы в криволинейных координатах 382
1. Криволинейные координаты на плоскости 382
2. Элемент площади в криволинейных координатах 383
3. Вычисление площади в криволинейных координатах 385
4. Замена переменных в двойном интеграле 386
5. Интеграл Пуассона и его вычисление 389
6. Криволинейные координаты в пространстве 392
7. Элемент объема в криволинейных координатах 394
8. Замена переменных в тройном интеграле 396
Задачи и упражнения к главе XI 398
Литература 401
Оглавление 402

Часть 2
Предисловие 4
XII. Криволинейные интегралы и интегралы ио иоверхиости 5
1. Криволинейные интегралы 1 -го рода и их вычисление 5
2. Некоторые применения криволинейных интегралов 1 -го рода 6
3. Интегралы по поверхности 1 -го рода 8
4. Криволинейные интегралы 2-го рода 10
5. Вычисление криволинейных интегралов 2 -го рода 12
6. Связь между криволинейными интегралами 1 -го и 2-го рода 14
7. Формула Грина-Римана 15
8. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования 17
9. Условие полного дифференциала 20
10.Нахождение функции по ее полному дифференциалу 22
11 .Интегралы по поверхности 2-го рода 23
12.Формула Остроградского-Гаусса 28
13.Формула Стокса 29
14.Условия независимости криволинейного интеграла по пространственной дуге от формы дуги 32
Задачи и уиражиеиия к главе XII 33
XIII. Питегралы зависящие от параметра 37
1. Определенный интегралы, зависящие от параметра 37
2. Дифференцирование и интегрирование определенных интегралов по параметру 40
3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 44
4. Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла 47
5. Непрерывность несобственного интеграла по параметру 48
6. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру 49
7. О других признаках равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру 55
8. Другие виды несобственных интегралов, зависящих от параметра 56
9. Гамма-функция и ее основные свойства 57
10.Формула Стирлинга 58
11 .Производная гамма-функции 60
12.Бэта-функция 61
XIV. Основы математической теории иоля 63
1. Понятие скалярного поля 63
2. Производная скалярного поля в данном направлении 64
3. Градиент скалярного поля 66
4. Свойства градиента 68
5. О плоскопараллельном поле 69
6. Векторное поле 70
7. Поток векторного поля через поверхность 73
8. Дивергенция векторного поля 75
9. Теорема Остроградского-Гаусса. Соленоидальное поле 78
Ю.Циркуляция и ротор векторного поля 80
11 .Свойства ротора. Теорема Стокса 83
12.Потенциальное поле 85
13.Потенциал электрического поля 88
14.Символические операторы теории поля 91
15 .Произвольные системы ортогональных криволинейных координат 92
16.Вычисление градиента, дивергенции, лапласиана и ротора в цилиндрических координатах 94
17.Градиент, дивергенция, лапласиан и ротор в сферических координатах. 100
XV. Обыкновенные дифференциальные уравнения 104
1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 104
2. Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями 104
3. Простейшие сведения об уравнениях 1-го порядка 105
4. Уравнения с разделяющимися переменными 108
5. Уравнения, однородные в смысле Эйлера 109
6. Линейные уравнения 1 -го порядка 111
7. Уравнение Бернулли 113
8. Геометрический смысл дифференциального уравнения 1 -го порядка ... 115
9. Составление дифференциального уравнения 1-го порядка по его общему решению 115
10 .Нахождение ортогональных траекторий семейств кривых 116
11 .Особое решение уравнения 1 -го порядка 118
12.Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков... 119
13 .Простейшие случаи понижения порядка уравнений 121
14 .Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 124
15.Однородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 128
16.Общие теоремы о неоднородных линейных уравнениях 2-го порядка .. 131
17.Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида 132
18.Исследование простейших колебательных процессов 138
19.Интегрирование неоднородных линейных уравнений 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных 141
20.Линейные уравнения высших порядков 143
XVI. Первичные сведения о системах лииейиых дифференциальных уравнений 147
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши 149
2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (СДУ) путем сведения к одному уравнению более высокого порядка 150
3. Метод интегрируемых комбинаций 151
4. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений 155
5. Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами 157
6. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений (НЛСДУ) 162
XVII. Простейшие приближенные методы иитегрироваиия Дифференциальных уравнений 170
1. Общие замечания 170
2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 170
3. Интегрирование дифференциальных уравнений 1 -го порядка конечно-разностным методом Эйлера 174
4. Оценка погрешности метода Эйлера в конечном интервале 176
5. Интегрирование нормальных систем 1-го порядка и уравнений высших порядков методом Эйлера 180
6. Интегрирование уравнений 1-го порядка методом Эйлера с полушагом 182
7. Общее описание метода Рунге-Кутта 185
8. Интегрирование дифференциальных уравнений методом Адамса-Штёрмера 187
XVIII. Ряды 190
1. Понятие о числовом ряде 190
2. Необходимый признак сходимости ряда 192
3. Сравнение рядов с положительными членами 192
4. Признак Даламбера 194
5. Интегральный признак Коши 197
6. Знакочередующиеся ряды 200
7. Знакопеременные ряды 201
8. Свойства абсолютно сходящихся рядов 203
Задачи и упражиеиия к главе XVIII 208
XIX. Функциональные ряды 210
1. Понятие о функциональном ряде 210
2. Равномерная сходимость функционального ряда 211
3. Непрерывность суммы функционального ряда 213
4. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 214
5. Последовательности функций и их свойства 217
Задачи и упражиеиия к главе XIX 218
XX. Стеиеииые ряды 219
1. Степенной ряд и область его сходимости 219
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 221
3. Ряд Маклорена 223
4. Разложение функций ex,smx, и COSJV В ряд Маклорена 226
6. Ряд Маклорена для функций ln(l + jr) и arctgx 231
7. Вычисление интегралов при помощи рядов 231
8. Ряд Тейлора как обобщение ряда Маклорена 232
Задачи и уиражиеиия к главе XX 233
XXI. Ряды Фурье 235
1. Некоторые предварительные сведения 235
2. Ряд Фурье для функции с периодом 2% 237
3. Теорема Римана-Лебега и ее следствия 239
4. Интеграл Дирихле 243
5. Принцип локализации 245
6. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции 246
7. Скорость убывания коэффициентов ряда Фурье 249
8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 250
9. Ряд Фурье функции с произвольным периодом 251
10.Тригонометрические ряды для функций, заданных на отрезке [-/,/] ... 252
11 .Комплексная форма ряда Фурье 254
12.Ряды Фурье по произвольным ортогональным и по ортонормированным системам функций 257
13.0 разных понятиях близости двух функций в промежутке 259
14.Минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье 260
15.Замкнутые системы функций 262
16 .Замкнутость системы тригонометрических функций 264
17 .Полнота системы тригонометрических функций 269
18 .Обобщенное уравнение замкнутости 270
19.Геометрическая аналогия разложения функции в ряд Фурье 270
20.Разложение функций в ряд Фурье по системе, ортогональной с весом.. 273
Задания к разделу XXI 274
XXII. Питеграл Фурье и преобразования Фурье 278
1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 278
2. Одна предварительная формула 280
3. Представление функции интегралом Фурье 281
4. Аналогия между интегралом Фурье и рядами Фурье 283
5. Комплексная форма интеграла Фурье 284
6. Преобразование Фурье и его простейшие свойства 286
XXIII. Элементы спектральной теории сигналов 289
1. Спектральные характеристики периодических сигналов 289
2. О комплексном спектре периодического сигнала 290
3. Спектр непериодического сигнала 291
4. Теорема Рэлея и ее физический смысл 294
XXIV. Системы линейных дифференциальных уравнений 297
1. Основные сведения из векторно-матричного анализа 297
2. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений 1 -го порядка 301
3. Теорема Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений 303
4. Пространство решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка 308
5. Фундаментальная матрица и ее свойства 310
6. Выражение решения однородной линейной системы через ее фундаментальную матрицу 313
7. Вронскиан и формула Лиувилля 315
8. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами 318
9. Представление фундаментальной матрицы однородной линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи матричной экспоненты 328
10.Устойчивость и ограниченность решений однородной линейной системы с постоянными коэффициентами 329
11 .Общее решение неоднородной линейной системы 331
12.Выражение решения неоднородной линейной системы при помощи матрицы Коши 332
13 .Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами 334
14.Понятие о резонансе в линейной динамической системе 336
15.Устойчивость и асимптотическое поведение решений систем линейных уравнений Устойчивость и ограниченность решений однородных линейных систем с постоянными коэффициентами 337
16.Понятие о возмущенной системе и ее устойчивости 339
17.Лемма об интегральном неравенстве 340
18.Теоремы о решении линейных систем с малыми возмущениями 340
19.Теоремы об ограниченности решений некоторых линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка 344
20.Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие понятия 348
21 .Редукция линейной краевой задачи к задаче Коши 350
22.Редукция краевой задачи к уравнениям в конечных разностях 351
23 .Метод прогонки решения конечно-разностных уравнений линейной краевой задачи 354
24. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Общие сведения 356
25.Интегрирование линейных уравнений в частных производных 1-го порядка 357
26.Интегрирование квазилинейных уравнений в частных производных 1-го порядка 360
Задачи и упражнения к главе XXIV 362
Литература 365

Рукопись учебного пособия "Математический анализ для инженеров" была написана Юрием Федоровичем Сенчуком в 2002 году. К сожалению, он не успел закончить окончательную проверку компьютерного набора и увидеть книгу, вышедшую в печать.
Юрий Федорович был одним из лучших преподавателей Национального технического университета "ХПИ". Многие студенты, убеленные сейчас сединами, хорошо помнят лекции Сенчука Ю.Ф., который был для них легендой. Опыт, стиль и манера изложения материала, присущие этому прекрасному педагогу, всегда вызывали восхищение не только у студентов, но и у многих преподавателей. Несмотря на то, что Юрий Федорович в совершенстве знал курс высшей математики и многие ее специальные разделы, он скрупулезно готовился к каждой лекции и тщательно продумывал методику изложения материала. Свой сорокалетний опыт работы он постарался изложить в этом учебном пособии. Сотрудники и аспиранты кафедры "Прикладная математики", его коллеги постарались закончить издание первой части этого пособия и продолжают готовить к изданию вторую часть. Это сделано для того, чтобы не потерять лучшие достижения наших предшественников в области преподавания сложных предметов, к числу которых относится и математический анализ. Материал книги изложен последовательно, четко, на достаточном уровне строгости и в доступной форме. Отличительной особенностью данного пособия является не только простота его изложения, но и большое количество графических иллюстраций, способствующих наглядности и лучшему усвоению математических понятий. Книга содержит большое количество тщательно подобранных примеров, которые могут быть использованы как преподавателями на практических занятиях, так и студентами при самостоятельном изучении того или иного раздела. К достоинствам книги следует отнести и то, что при сравнительно небольшом объеме учебного пособия автору удалось изложить курс полностью соответствующий высокому уровню фундаментальной математической подготовки студентов физических, математических и инженерных специальностей технических университетов.
Сотрудники кафедры "Прикладная математика" уверены, что книга будет полезной не только студентам, но и преподавателям, читающим лекции и проводящим практические занятия по математическому анализу.