Теория вероятностей и математическая статистика. Ивановский Р.И.

СПб.: 2008.— 528 с.

В книге излагаются основы теории вероятностей (события, композиция независимых испытаний, случайные величины, основные законы распределения, предельные теоремы, векторные случайные величины, элементы теории случайных функций и процессов) и математической статистики (выборки и их распределения, точечные и интервальные оценки, проверка статистических гипотез, регрессионный и корреляционный анализ). Пакет Mathcad является одним из самых удобных и доступных математических пакетов. Им несложно овладеть, и использовать его для проведения статистического анализа. Приводятся рекомендации по решению типовых задач в среде Mathcad, предлагаются программные структуры Mathcad, которые могут быть использованы для организации и проведения практических занятий, в процессе научных исследований. Прилагаемый компакт-диск содержит 30-дневную полнофункциональную версию Mаthcad 14, файлы решений задач и примеров, рассматриваемых в тексте, а также дополнительные материалы.

Формат: pdf

Размер: 13,2 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 8
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 15
Глава 1. СОБЫТИЯ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 15
1.1. Событие. Пространство элементарных событий 15
1.2. Действия над событиями и свойства действий 17
1.3. Алгебра событий 19
1.4. Вероятность 20
1.4.1. Аксиоматический подход 20
1.4.2. Классический подход 21
1.4.3. Статистический подход 21
1.4.4. Геометрический подход 23
1.5. Вычисление вероятностей 24
1.5.1. Некоторые соотношения комбинаторики 25
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 28
2.1. Вероятность суммы событий. Сложение вероятностей 28
2.2. Независимые события. Вероятность их произведения 30
2.3. Условная вероятность. Вероятность произведения событий (общий случай) 33
2.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса 35
Глава 3. КОМПОЗИЦИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ 38
3.1. Композиция независимых испытаний при одинаковых вероятностях успеха 3 9
3.2. Композиция независимых испытаний при различных вероятностях успеха 45
3.3. Применение схемы Пуассона для анализа надежности 51
3.4. Асимптотические приближения при повторении испытаний 53
3.4.1. Формула Пуассона 54
3.4.2. Локальная теорема Муавра—Лапласа 56
3.4.3. Интегральная теорема Лапласа 58
Глава 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 61
4.1. Общие положения 61
4.2. Дискретные случайные величины 62
4.3. Непрерывные случайные величины 65
4.4. Числовые характеристики случайных величин 70
4.5. Числовые характеристики положения (математическое ожидание, квантиль, медиана, мода) 71
4.5.1. Свойства математического ожидания случайной величины 73
4.6. Числовые характеристики рассеивания (дисперсия, коэффициент вариации) 77
4.6.1. Свойства дисперсии случайной величины 78
4.7. Числовые характеристики формы (асимметрия, эксцесс) 79
4.8. Теоретические моменты распределения 81
4.9. Характеристические и производящие функции 86
4.9.1. Характеристические функции 86
4.9.2. Свойства характеристических функций 87
4.9.3. Производящие функции моментов 89
4.9.4. Свойства производящих функций моментов 89
Глава 5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ИХ СВОЙСТВА 93
5.1. Равномерное распределение 93
5.2. Нормальное распределение 95
5.3. Показательное распределение 101
5.4. Биномиальное распределение 104
5.5. Распределение Пуассона 106
5.6. Геометрическое распределение 110
5.7. Распределение функции одного случайного аргумента 112
5.7.1. Аргумент X— дискретная случайная величина 113
5.7.2. Аргумент Х—непрерывная случайная величина 114
Глава 6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ 120
6.1. Основные положения 120
6.2. Неравенство Чебышева 121
6.3. Теорема Бернулли 123
6.4. Теорема Чебышева 124
6.5. Центральная предельная теорема 126
Глава 7. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ВСВ) 129
7.1. Дискретные случайные векторы 130
7.2. Функция распределения векторной случайной величины 134
7.2.1. Свойства двумерной функции распределения 135
7.3. Непрерывные случайные векторы. Плотность распределения векторной случайной величины 137
7.4. Числовые характеристики векторных случайных величин. Зависимость и независимость случайных величин 142
7.5. Математическое ожидание векторной случайной величины 147
7.5.1. Свойства математического ожидания векторной случайной величины 148
7.6. Вторые моменты векторных случайных величин. Коэффициент корреляции. Ковариационные и корреляционные матрицы 149
7.6.1. Линейные преобразования ВСВ 158
7.7. Условные законы распределения. Функция регрессии 163
7.8. Законы распределения нескольких случайных величин. Двумерный нормальный закон распределения. Эллипсы рассеивания 172
7.9. Плотность распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределений 181
Глава 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОЦЕССОВ 186
8.1. Основные понятия 186
8.2.. Числовые характеристики случайных функций 189
8.2.1. Математическое ожидание случайной функции 189
8.2.2. Дисперсия случайной функции 190
8.2.3. Корреляционная функция 190
8.3. Векторные случайные функции и их числовые характеристики 191
8.3.1. Линейные формы случайных функций 194
8.4. Стационарные случайные функции и их числовые характеристики 197
8.4.1. Свойства корреляционных функций стационарных случайных функций 198
8.4.2. Спектральная плотность 201
8.5. Случайный процесс типа белого шума. Дельта-функция 204
8.6. Преобразование случайных процессов линейными динамическими системами. Ковариационное уравнение 207
8.6.1. Непрерывные стохастические системы 208
8.6.2. Дискретные стохастические системы 216
8.6.3. Дискретная аппроксимация непрерывных СС 217
8.7. Генерация стационарных случайных последовательностей 221
ЧАСТЬ II. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 225
Глава 1. ВЫБОРКИ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 227
1.1. Типы выборок и способы их формирования 227
1.2. Статистическое распределение выборки 229
1.3. Числовые характеристики выборочных распределений 233
1.4. Гистограмма 237
Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 243
2.1. Точечные оценки и их свойства 243
2.2. Свойства выборочного среднего 245
2.3. Свойства выборочной дисперсии 247
2.4. Распределения числовых характеристик выборки 249
2.4.1. Распределение выборочного среднего при известной дисперсии 249
2.4.2. Распределение выборочной дисперсии 249
2.4.3. Распределение выборочного среднего при неизвестной дисперсии 250
2.4.4. Распределение отношения двух выборочных дисперсий 251
2.4.5. Асимптотические свойства выборочных моментов 251
2.5. Точечные оценки на основе метода моментов 254
2.6. Метод максимального правдоподобия (МП) 257
2.6.1. Метод МП для дискретных случайных величин 257
2.6.2. Метод МП для непрерывных случайных величин 259
2.7. Неравенство Рао-Крамера. Свойства оценок максимального правдоподобия.. 264
2.7.1. Неравенство Рао-Крамера 264
2.7.2. Свойства оценок максимального правдоподобия 267
Глава 3. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.... 269
3.1. Сущность задач интервального оценивания 269
3.2. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией 272
3.2.1. Традиционный подход 272
3.2.2. Альтернативная процедура оценивания 273
3.2.3. Асимптотическая интервальная оценка математического ожидания 278
3.3. Интервальное оценивание дисперсии нормального распределения 280
3.3.1. Асимптотическая интервальная оценка дисперсии 282
3.4. Интервальное оценивание математического ожидания нормального распределения при неизвестной а 285
3.5. Интервальное оценивание отношения дисперсий двух нормальных распределений 288
3.6. Интервальное оценивание разности математических ожиданий двух нормальных распределений 290
Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 294
4.1. Виды гипотез. Критерий значимости 294
4.2. Критическая область. Общий алгоритм проверки гипотез 296
4.3. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия 300
4.4. Параметрические гипотезы 308
4.4.1. Критерий Неймана—Пирсона 308
4.4.2. Сложные гипотезы 312
4.4.3. Критерий Вальда 313
4.4.4. Проверка гипотез на основе доверительных интервалов 316
4.5. Определение объема выборки при проверке гипотез 319
4.6. Проверка гипотез о виде распределения 331
4.6.1. Критерий хи-квадрат 332
4.6.2. Критерий Колмогорова 342
4.6.3. Критерий со2 346
4.7. Другие задачи проверки гипотез 347
4.7.1. Проверка гипотезы о разности математических ожиданий двух нормальных распределений 348
4.7.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений 352
4.7.3. Проверка гипотез об однородности выборок (критерии х , Смирнова, Уилкокса, знаков) 354
Глава 5. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА 364
5.1. Задачи регрессии 364
5.2. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК) 366
5.2.1. Алгоритм МНК в форме обобщенного обращения матрицы 367
5.2.2. Свойства МНК-оценок параметров линейной регрессии 370
5.2.3. Оценки параметров простой линейной регрессии и их свойства 3 74
5.2.4. Множественная линейная регрессия 380
5.2.5. Рекуррентный алгоритм МНК 383
5.3. Подходы к анализу адекватности линейной регрессии 393
5.4. Надежность оценок линейной регрессии. Доверительные интервалы 398
5.5. Нелинейная регрессия 403
Глава 6. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА 414
6.1. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение 414
6.2. Точечная оценка г^. Выборочный коэффициент корреляции 421
6.2.1. Свойства выборочного коэффициента корреляции 422
6.2.2. Альтернативные алгоритмы точечной оценки г^ 423
6.3. Интервальная оценка и проверка значимости г^ 427
6.4. Точечная оценка корреляционного отношения Ryx 434
6.5. Интервальная оценка и проверка значимости Ryx 436
6.6. Специальный корреляционный анализ 439
6.6.1. Анализ парных связей 439
6.6.2. Анализ множественных связей 445
6.6.3. Сводный коэффициент корреляции 446
6.6.4. Выборочный сводный коэффициент корреляции 448
6.6.5. Частная корреляция 450
6.6.6. Выборочный частный коэффициент корреляции 455
6.6.7. Интервальная оценка и проверка значимости выборочных сводного и частного коэффициентов корреляции 460
ПРИЛОЖЕНИЯ 469
Приложение 1. Таблицы (плотности вероятностей нормированного нормального распределения и значения функции Лапласа) 470
Приложение 2. Простейшие потоки и анализ процессов «старения» 472
Приложение 3. Символьный анализ параметров регрессии 479
Приложение 4. Решение задачи композиции в среде Mathcad 481
Приложение 5. Производная и интеграл случайной функции 482
Приложение 6. Марковские случайные процессы и последовательности 487
Приложение 7. Винеровские случайные процессы 490
Приложение 8. Эргодические случайные функции 491
Приложение 9. Распределение хи-квадрат 493
Приложение 10. Распределение Стьюдента 495
Приложение 11. Распределение Фишера 497
Приложение 12. Символьный анализ оценок максимального правдоподобия 499
Приложение 13. Некоторые распределения непрерывных случайных величин 501
Приложение 14. Таблицы выборочных данных 510
Приложение 15. Векторное и матричное дифференцирование 511
Приложение 16. Формирование выборочных данных с заданными выборочными числовыми характеристиками 514
Приложение 17. Основы применения Mathcad 519
Приложение 18. Описание компакт-диска 522
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 524
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 526