Элементы высшей математики. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А.

10-е изд. - М.: 2014.— 320 с.

В учебнике представлены все основные разделы высшей математики: элементы теории множеств, линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления; числовые последовательности; обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоретическую часть учебника дополняет большое количество практических задач; в приложении дано краткое описание пакета прикладных программ по математике MAPLE. Учебник может быть использован при изучении дисциплины в естественнонаучном цикле в соответствии с требованиями ФГОС СПО для укрупненной группы специальностей 230000 «Информационная и вычислительная техника». Для студентов как среднего профессионального образования, так и для студентов вузов.

Формат: pdf

Размер: 61 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Формат: djvu

Размер: 1,7 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Элементы теории множеств 4
1.1. Понятие множества. Операции над множествами 4
1.2. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества 6
1.3. Числовые множества. Действительные числа 8
Глава 2. Элементы линейной алгебры 12
2.1. Матрицы и действия над ними 12
2.2. Определители матриц 17
2.2.1. Основные определения 17
2.2.2. Свойства определителя 20
2.3. Обратная матрица 33
2.4. Системы линейных алгебраических уравнений 37
2.4.1. Основные понятия 37
2.4.2. Правило Крамера 38
2.4.3. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений 40
Глава 3. Элементы аналитической геометрии 53
3.1. Геометрические векторы и действия над ними 53
3.2. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве.... 56
3.3. Понятие уравнения линии и уравнения поверхности 60
3.4. Различные виды уравнения прямой на плоскости 61
3.4.1. Общее уравнение прямой 61
3.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 62
3.4.3. Уравнение прямой «в отрезках» 63
3.5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве 64
3.5.1. Общее уравнение плоскости 64
3.5.2. Уравнение плоскости «в отрезках» 64
3.5.3. Нормированное уравнение плоскости 65
3.6. Уравнения прямой в пространстве 66
3.6.1. Общие уравнения прямой 66
3.6.2. Канонические уравнения прямой в пространстве 68
3.6.3. Параметрические уравнения прямой в пространстве 70
3.7. Кривые второго порядка на плоскости 72
3.7.1. Понятие кривой второго порядка 72
3.7.2. Эллипс 73
3.7.3. Гипербола 73
3.7.4. Парабола 74
3.8. Поверхности второго порядка 75
3.8.1. Общее уравнение поверхности второго порядка 75
3.8.2. Эллипсоид 75
3.8.3. Гиперболоиды 76
3.8.4. Конус 77
3.8.5. Эллиптический параболоид 78
3.8.6. Гиперболический параболоид 78
3.8.7. Цилиндры 79
Глава 4. Числовые последовательности и их пределы 82
4.1. Ограниченные и неограниченные последовательности 82
4.2. Бесконечно малые последовательности 84
4.3. Предел числовой последовательности 88
4.3.1. Основные определения 88
4.3.2. Свойства сходящихся последовательностей 90
4.4. Монотонные последовательности. Число «е» 93
Глава 5. Предел функции одной вещественной переменной. Непрерывность 97
5.1. Определение функции 97
5.2. Предел функции 99
5.2.1. Определение. Таблица замечательных пределов 99
5.2.2. Основные свойства пределов функции 102
5.3. Бесконечно малые функции. Метод эквивалентных бесконечно малых величин 104
5.4. Непрерывные функции 106
5.4.1. Основные определения 106
5.4.2. «Арифметические» свойства непрерывных функций 108
5.4.3. Непрерывность сложной функции 109
5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке ПО
5.5.1. Теорема о нуле непрерывной функции ПО
5.5.2. Теоремы Вейерштрасса 112
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной вещественной переменной 116
6.1. Производная функции. Основные правила дифференцирования 116
6.1.1. Определение. Таблица производных 116
6.1.2. «Арифметические» свойства производной 118
6.1.3. Производная сложной функции 119
6.1.4. Геометрический смысл производной 121
6.2. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 122
6.3. Следствия из теорем о среднем (монотонность, правило Лопиталя) 126
6.3.1. Критерий монотонности 126
6.3.2. Правило Лопиталя 127
6.4. Первый дифференциал функции, связь с приращением функции 130
6.5. Производные и дифференциалы высших порядков 132
6.6. Формула Тейлора 134
6.7. Экстремумы функций 138
6.7.1. Необходимое условие экстремума 138
6.7.2. Достаточные условия экстремума 139
6.8. Выпуклые функции. Точки перегиба 141
6.8.1. Определение. Критерий выпуклости 141
6.8.2. Исследование точек перегиба 142
6.9. Асимптоты. Общая схема построения графиков 144
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной вещественной переменной 150
7.1. Первообразная и неопределенный интеграл 150
7.1.1. Первообразная. «Почти единственность» первообразной 150
7.1.2. Таблица неопределенных интегралов 151
7.2. Основные правила неопределенного интегрирования 153
7.3. Задача нахождения площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл 156
7.4. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем 159
7.5. Формула Ньютона—Лейбница 164
7.5.1. Определенный интеграл как функция верхнего предела 164
7.5.2. Вывод формулы Ньютона —Лейбница 166
7.6. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле 167
7.7. Приложения определенного интеграла 169
7.7.1. Вычисление площади плоской фигуры 169
7.7.2. Вычисление длины кривой 170
7.7.3. Вычисление объема и площади поверхности тел вращения 172
7.8. Несобственные интегралы 173
7.8.1. Определение несобственного интеграла 173
7.8.2. Теоремы сравнения 175
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 180
8.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность 180
8.2. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных 184
8.2.1. Частное дифференцирование. Понятие непрерывно дифференцируемой функции 184
8.2.2. Дифференциал и его связь с приращением функции 185
8.2.3. Правила частного дифференцирования 188
8.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 189
8.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора 192
8.4.1. Частные производные высших порядков 192
8.4.2. Дифференциалы высших порядков 193
8.4.3. Формула Тейлора 195
8.5. Экстремумы функции. Задача о наибольшем и наименьшем значениях 197
8.5.1. Необходимые условия экстремума 197
8.5.2. Достаточные условия экстремума 199
8.5.3. Условный экстремум. Метод множителя Лагранжа 202
8.5.4. Задача о наибольшем и наименьшем значениях 204
Глава 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных 206
9.1. Объем цилиндрического бруса. Определение двойного интеграла 206
9.1.1. Основные определения 206
9.1.2. Свойства двойных интегралов. Теорема о среднем 208
9.2. Вычисление двойного интеграла с помощью повторного интегрирования (формула редукции) 209
9.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 214
9.4. Приложения двойного интеграла 218
9.4.1. Вычисление объемов 218
9.4.2. Площадь криволинейной поверхности 219
Глава 10. Основы теории рядов 223
10.1. Числовые ряды 223
10.1.1. Ряды сходящиеся и расходящиеся 223
10.1.2. Необходимое условие сходимости ряда 226
10.1.3. Критерий Коши сходимости ряда 227
10.1.4. Свойства рядов 227
10.1.5. Ряды с положительными членами 229
10.1.6. Теоремы сравнения для рядов с положительными членами 229
10.1.7. Признаки Даламбера и Коши 233
10.1.8. Интегральный признак сходимости 238
10.1.9. Знакочередующиеся ряды 240
10.1.10. Знакопеременные ряды 242
10.1.11. Признаки абсолютной сходимости рядов 243
10.2. Функциональные ряды 245
10.2.1. Область сходимости функционального ряда 245
10.2.2. Равномерная сходимость функционального ряда 246
10.2.3. Критерий Коши равномерной сходимости ряда 247
10.2.4. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда 249
10.2.5. Общие свойства функциональных рядов 251
10.3. Степенные ряды 253
10.3.1. Радиус сходимости степенного ряда 254
10.3.2. Интервал сходимости степенного ряда 255
10.3.3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда 258
10.3.4. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов 259
10.3.5. Ряды Тейлора 259
10.3.6. Разложение функции в степенной ряд 260
Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения 263
11.1. Введение 263
11.1.1. Основные понятия 263
11.1.2. Понятие общего и частного решений. Задача Коши 265
11.1.3. Геометрический смысл уравнения и его решений 267
11.1.4. Разрешимость задачи Коши 268
11.2. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах 269
11.2.1. Уравнения вида — = f(x) 269
11.2.2. Уравнения вида — = f(y) 270
11.2.3. Уравнения с разделенными переменными 271