Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Умнов А.Е., Умнов Е.А.

М.: 2020 – 320 с.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Формат: pdf

Размер: 4,4 Мб

Скачать: drive.google

Оглавление
0.1. Введение 4
1. Простейшие методы решения дифференциальных уравнений 9
1.1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 9
1.2. Уравнения с разделяющимися переменными 16
1.3. Линейные уравнения первого порядка 19
1.4. Уравнения первого порядка в дифференциалах 23
1.5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 33
1.6. О методах понижения порядка уравнения и других специальных алгоритмах 40
2. Линейные дифференциальные уравнения порядка с постоянными коэффициентами 43
2.1. Линейные уравнения п—го порядка. Основные понятия и свойства 43
2.2. Дифференциальные многочлены и их свойства 49
2.3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 53
2.4. Выделение вещественных решений 58
2.5. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами 62
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 69
3.1. Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай базиса из собственных векторов) 71
3.2. Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса) 79
3.3. Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами 91
3.4. Показательная функция матрицы 96
3.5. Элементы операционного исчисления 110
4. Задача Коти 119
4.1. Постановка задачи Коши 119
4.2. Принцип сжимающих операторов 121
4.3. Существование и единственность решения задачи Коши 127
4.4. Продолжаемость локального решения задачи Коши 133
4.5. Исследование зависимости решения задачи Коши от параметров 135
4.6. Задача Коши для уравнений, не разрешенных относительно производной 141
4.7. Существование и единственность решения задачи Коши в линейном и квазилинейном случаях 149
5. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами 153
5.1. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами 153
5.2. Построение общего решения линейной системы с переменными коэффициентами 162
5.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 170
5.4. Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами 179
5.5. Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Уравнение Бесселя 189
6. Системы нелинейных дифференциальных уравнений 201
6.1. Автономные системы уравнений и их свойства 201
6.2. Устойчивость положения равновесия автономной системы210
6.3. Положения равновесия автономных систем второго порядка 221
6.4. Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений 237
6.5. Линейные уравнения в частных производных первого порядка 244
7. Введение в вариационное исчисление 254
7.1. Простейшая задача вариационного исчисления 254
7.2. Задачи вариационного исчисления с функционалами обобщенного вида 264
7.3. Задачи вариационного исчисления с граничными условиями обобщенного вида 271
7.4. Условные вариационные задачи 275
7.5. Замечания о достаточных условиях оптимальности в задачах вариационного исчисления 282
Приложение. Метод корневых векторов решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 289
Литература 299
Предметный указатель 300

Одним из достаточно широко используемых средств исследования какого-либо реального объекта или процесса является математическое моделирование - построение, формализованного в терминах математических понятий, описания этого объекта или процесса, адекватно отражающего все его существенные свойства. Вполне очевидно, что наиболее предпочтительной формой математической модели является набор или система функциональных соотношений, в явном виде связывающих основные количественные характеристики, описывающие моделируемый объект или явление. Однако на практике добиться этого удается не всегда и приходится использовать более сложные, косвенные формы описания интересующих исследователя зависимостей.
Поясним сказанное примером. Пусть предметом исследования является процесс изменения (во времени) концентрации примеси в растворе. Мы предполагаем, что все внешние для данного процесса условия неизменны (или меняются пренебрежимо слабо), в силу чего интересующую нас зависимость можно считать функциональной, а ее формализованное описание имеет вид функции К = K(t), где t - время, прошедшее с момента начала наблюдения, а К - величина, характеризующая уровень концентрации примеси в растворе.