Математика и ее история. Джон Стиллвелл

Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 531с.

Из предисловия автора:

Одно из разочарований, которые испытывает большинство студентов, изучающих математику, заключается в том, что им никогда не читают курс по математике. Им читают курсы по исчислению, алгебре, топологии и т. д., но разделение труда в обучении, видимо, препятствует тому, чтобы эти темы объединить в единое целое. Действительно, некоторые наиболее важные и естественные вопросы не освящаются, потому что они попадают на ошибочную сторону ограничительных линий темы. Например, алгебраисты не обсуждают основную теорему алгебры, потому что «это анализ», а аналитики не обсуждают римановы поверхности, потому что «это топология». Таким образом, если студенты хотят чувствовать, что они действительно знают математику к тому времени, когда они оканчивают учебное заведение, необходимо объединить предмет.

Цель этой книги заключается в том, чтобы дать единый взгляд на студенческую математику, подойдя к предмету с точки зрения его истории. Поскольку читатели должны иметь некоторый математический опыт, принимаются некоторые основы, и математика не излагается формально, как в стандартном тексте. С другой стороны, мы придерживаемся математики более тщательно, чем в большинстве общих историй математики, потому что математика — наша основная цель, а история лишь средство приближения к ней. Предполагается, что читатели знают основы исчисления, алгебры и геометрии, чтобы понять язык теории множеств, и знакомы с некоторыми более современными темами, такими как теория групп, топология и дифференциальные уравнения. Я пытался отобрать доминирующие темы этой области математики, и сплести их воедино настолько крепко, насколько возможно, проследив их историческое развитие.

Формат: djvu / zip

Размер: 2,8 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию 10
Предисловие к первому изданию 12
ГЛАВА 1. Теорема Пифагора 15
1.1. Арифметика и геометрия 15
1.2. Пифагоровы тройки 16
1.3. Рациональные точки на круге 19
1.4. Прямоугольные треугольники 21
1.5. Иррациональные числа 22
1.6. Определение расстояния 25
1.7. Биографические заметки: Пифагор 27
ГЛАВА 2. Греческая геометрия 29
2.8. Дедуктивный метод 29
2.9. Правильные многогранники 32
2.10. Построения с помощью линейки и циркуля 36
2.11. Конические сечения 39
2.12. Кривые более высокой степени 41
2.13. Биографические заметки: Евклид 45
ГЛАВА 3. Греческая теория чисел 47
3.14. Роль теории чисел 47
3.15. Многоугольные, простые и совершенные числа 48
3.16. Евклидов алгоритм 50
3.17. Уравнение Пелля 53
3.18. Методы хорд и касательных 57
3.19. Биографические заметки: Диофант 59
ГЛАВА 4. Бесконечность в греческой математике 61
4.20. Страх перед бесконечностью 61
4.21. Теория пропорций Евдокса 63
4.22. Метод исчерпывания 66
4.23. Площадь параболического сегмента 70
4.24. Биографические заметки: Архимед 72
ГЛАВА 5. Теория чисел в Азии 74
5.25. Евклидов алгоритм 74
5.26. Китайская теорема об остатках 75
5.27. Линейные диофантовы уравнения 78
5.28. Уравнение Пелля у Брахмагупты 80
5.29. Уравнение Пелля у Бхаскары II 83
5.30. Рациональные треугольники 86
5.31. Биографические заметки: Брахмагупта и Бхаскара ... 89
ГЛАВА 6. Полиномиальные уравнения 91
6.32. Алгебра 91
6.33. Линейные уравнения и исключение 93
6.34. Квадратные уравнения 96
6.35. Квадратные иррациональные числа 99
6.36. Решение кубических уравнений 101
6.37. Деление углов 104
6.38. Уравнения более высокой степени 106
6.39. Биографические заметки: Тарталья, Кардано и Виет . . 108
ГЛАВА 7. Аналитическая геометрия 113
7.40. Шаги к аналитической геометрии 113
7.41. Ферма и Декарт 114
7.42. Алгебраические кривые 116
7.43. Классификация кубических кривых Ньютона 118
7.44. Построение уравнений и теорема Безу 120
7.45. Арифметизация геометрии 123
7.46. Биографические заметки: Декарт 125
ГЛАВА 8. Проективная геометрия 128
8.47. Перспектива 128
8.48. Анаморфоза 130
8.49. Проективная геометрия Дезарга 131
8.50. Проективный вид кривых 134
8.51. Однородные координаты 137
8.52. Снова теорема Безу 140
8.53. Теорема Паскаля 142
8.54. Биографические заметки: Дезарг и Паскаль 144
ГЛАВА 9. Исчисление 148
9.55. Что такое исчисление? 148
9.56. Ранние результаты о площадях и объемах 150
9.57. Максимумы, минимумы и касательные 152
9.58. Arithmetics, Infinitorum Валлиса 154
9.59. Исчисление ряда Ньютона 158
9.60. Исчисление Лейбница 162
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц . . 164
ГЛАВА 10. Бесконечные ряды 171
10.62Ранние результаты 171
10.бЗСтепенные ряды 174
10.64Интерполяция на интерполяции 177
10.65Суммирование рядов 178
10.66Дробно-степенные ряды 181
10.67Лроизводящие функции 183
10.68Дзета-функция 186
10.69Биографические заметки: Грегори и Эйлер 188
ГЛАВА 11. Возрождение теории чисел 193
11.70.От Диофанта до Ферма 193
11.71Малая теорема Ферма 196
11.72 Последняя теорема Ферма 199
11.73 Рациональные прямоугольные треугольники 201
11.74Рациональные точки на кубических кривых 0-го рода . . 205
11.75Рациональные точки на кубических кривых 1-го рода . . 207
11.76Биографические заметки: Ферма 211
ГЛАВА 12. Эллиптические функции 214
12.77Эллиптические и круговые функции 214
12.78Параметризация кубических кривых 214
12.79Эллиптические интегралы 216
12.80Удвоение дуги лемнискаты 219
12.81.0бщие теоремы сложения 221
12.82Эллиптические функции 223
12.83Постскриптум о лемнискате 226
12.84Биографические заметки: Абель и Якоби 226
ГЛАВА 13. Механика 232
13.85Механика до исчисления 232
13.86Небесная механика 235
13.87Механические кривые 237
13.88Колеблющаяся струна 241
13.89Гидродинамика 246
13.90Биографические заметки: семья Бернулли 249
ГЛАВА 14. Комплексные числа в алгебре 256
14.91 Невозможные числа 256
14.92Квадратные уравнения 257
14.93Кубические уравнения 257
14.94Попытка Валлиса при геометрическом представлении . . 259
14.95Деление угла 261
14.96.0сновная теорема алгебры 265
14.97Доказательства Даламбера и Гаусса 267
14.98Биографические заметки: Даламбер 270
ГЛАВА 15. Комплексные числа и кривые 273
15.99Корни и пересечения 273
15.100Комплексная проективная линия 275
15.101Точки ветвления 278
15.102Топология комплексных проективных кривых 280
15.103Биографические заметки: Риман 282
ГЛАВА 16. Комплексные числа и функции 287
16.104Комплексные функции 287
16.105Конформное отображение 291
16.106ТeopeMa Коши 293
16.107Двойная периодичность эллиптических функций 296
16.108Эллиптические кривые 299
16.109Униформизация 304
16.110Биографические заметки: Лагранж и Коши 305
ГЛАВА 17. Дифференциальная геометрия 309
17.111 Трансцендентные кривые 309
17.112Кривизна плоских кривых 312
17.113Кривизна поверхностей 315
17.114Поверхности постоянной кривизны 316
17.115Геодезические линии 318
17.116Сеорема Гаусса-Бонне 319
17.117 Биографические заметки: Гарриот и Гаусс 322
ГЛАВА 18. Неевклидова геометрия 328
18.118Аксиома о параллельных 328
18.1198Сферическая геометрия 330
18.120Геометрия Бойяи и Лобачевского 332
18.121Проективная модель Бельтрами 333
18.122Конформные модели Бельтрами 336
18.123Сомплексные интерпретации 340
18.124-Биографические заметки: Бойяи и Лобачевский 342
ГЛАВА 19. Теория групп 346
19.125Понятие группы 346
19.126Перестановки и теория уравнений 349
19.127Группы подстановок 352
19.128Группы многогранников 354
19.129Группы и геометрии 356
19.130Комбинаторная теория групп 358
19.131Биографические заметки: Галуа 361
ГЛАВА 20. Гиперкомплексные числа 366
20.132Взгляд на прошлое комплексных чисел 366
20.133Арифметика пар 367
20.134Свойства + и х 370
20.135Арифметические тройки и четверки 371
20.136Кватернионы, геометрия и физика 376
20.137Юктонионы 379
20.138Почему С,Ни О особенные 382
20.139Биографические заметки: Гамильтон 384
ГЛАВА 21. Алгебраическая теория чисел 389
21.140Алгебраические числа 389
21.141Гауссовы целые числа 391
21.142Алгебраические целые числа 394
21.143Идеалы 398
21.144Разложение идеала 402
21.145Вновь суммы квадратов 404
21.146Кольца и поля 408
21.147Биографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Н"етер 410
ГЛАВА 22. Топология 417
22.148Геометрия и топология 417
22.149Формулы многогранника Декарта и Эйлера 418
22.150Классификация поверхностей 421
22.151Декарт и Гаусс-Бонне 423
22.152Эйлерова характеристика и кривизна 425
22.153Яоверхности и плоскости 428
22.154Рундаментальная группа 430
22.155Биографические заметки: Пуанкаре 432
ГЛАВА 23. Множества, логика и вычисление 436
23.156Объяснение 436
23.157Множества 437
23.158Мepa 442
23.159Аксиома о выборе и большие кардинальные числа .... 445
23.160Диагональная аргументация 448
23.161Вычислимость 450
23.162Логика и теорема Геделя 453
23.163Доказуемость и истина 458
23.164Биографические заметки: Гедель 460
Литература 464
Индекс 505