Курс математического анализа. Никольский С.М.
6-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с. Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике. Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы
по математике на получение звания бакалавра.
Из предисловия:
Формат: pdf Размер: 2,6 Мб Смотреть, скачать: drive.google
Формат: djvu / zip Размер: 4,2 Мб
Скачать / Download файл
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие........................................................................................................ 9 Глава 1. Введение..................................................................................... ..... 11 § 1.1. Вступление....................................................................................... ...... 11 § 1.2. Множество. Интервал, отрезок...................................................... 11 § 1.3. Функция............................................................................................ ...... 14 § 1.4. Понятие непрерывности функции.................................................. ...... 24 § 1.5. Производная..................................................................................... 27 § 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................................. 33 § 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры.............................................................................................. ..... 36 Глава 2. Действительное число............................................................. ...... 41 § 2.1. Рациональные и иррациональные числа........................................ ...... 41 § 2.2. Определение неравенства................................................................ 46 § 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий............ ...... 46 § 2.4. Основные свойства действительных чисел.................................... 49 §2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины ..................................................................... ...... 52 § 2.6. Неравенства для абсолютных величин........................................... ...... 54 § 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества................................. ...... 55 § 2.8. Символика математической логики................................................ ...... 56 Глава 3. Предел последовательности.................................................... ...... 58 § 3.1. Понятие предела последовательности .......................................... 58 § 3.2. Арифметические действия с пределами......................................... 62 § 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины..................... 64
§3.4. Существование
предела у монотонной ограниченной последо § 3.5. Число е.............................................................................................. ...... 68 §3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел .... 69 §3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71 § 3.8. Критерий Коши существования предела....................................... 76
§ 3.9. Счетное
множество. Счетность множества рациональных чи Глава 4. Предел функции......................................................................... ...... 80 §4.1. Понятие предела функции .............................................................. 80 § 4.2. Непрерывность функции в точке ................................................. 88 § 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция........... ...... 94 § 4.4. Функции, непрерывные на отрезке................................................ 98 § 4.5. Обратная функция.......................................................................... 101 § 4.6. Показательная и логарифмическая функции................................ 104 § 4.7. Степенная функция х ................................................................... 109 § 4.8. Еще о числе е.................................................................................... ПО § 4.9. lim ^.................................................................................................. 111 § 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................. 112 Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной.................................................................................................... 117 § 5.1. Производная.................................................................................... 117 § 5.2. Дифференциал функции.................................................................. .... 121 § 5.3. Производная функции от функции............................................... .... 124 § 5.4. Производная обратной функции.................................................... 125 § 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128 § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка..................... .... 129
§ 5.7......
Возрастание и
убывание функции на интервале и в точке. Ло
§ 5.8.
Теоремы о среднем
значении. Критерии возрастания и убыва экстремумов..................................................................................... .... 135 § 5.9. Формула Тейлора............................................................................ .... 139 § 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .... 146 § 5.11. Ряд Тейлора...................................................................................... 151 § 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба............................... .... 155 § 5.13. Выпуклость кривой на отрезке...................................................... 157 § 5.14. Раскрытие неопределенностей....................................................... .... 159 § 5.15. Асимптота.......................................................................................... 163 § 5.16. Схема построения графика функции.............................................. 166 § 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ................... 170 Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой.............................. 172 § 6.1. гг-мерное пространство. Линейное множество............................. .... 172
§ 6.2......
Евклидово
гг-мерное пространство. Пространство со скаляр § 6.3. Линейное нормированное пространство ...................................... .... 176 § 6.4. Вектор-функция в гг-мерном евклидовом пространстве ........... .... 177 § 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................................... .... 179 § 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции................ 183 § 6.7. Длина дуги кривой........................................................................... 184 § 6.8. Касательная...................................................................................... .... 187 § 6.9. Основной триэдр кривой .............................................................. 188 § 6.10. Соприкасающаяся плоскость ........................................................ .... 191 § 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................................... 192 § 6.12. Эволюта.............................................................................................. ... 194 § 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты............................................... 196
Глава 7.
Дифференциальное исчисление функций многих пе § 7.1. Открытое множество........................................................................ .... 200 § 7.2. Предел функции................................................................................ ... 202 § 7.3. Непрерывная функция..................................................................... .... 206 § 7.4. Частные производные и производная по направлению ................ 210 § 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................ .... 211 § 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент............................................................................................ 215 § 7.7. Независимость от порядка дифференцирования........................... 220 § 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222 § 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса .................................................. 226 § 7.10. Замкнутые и открытые множества.................................................. 227 § 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве......................................... .... 229 § 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля................ .... 233 §7.13. Формула Тейлора............................................................................. 234 § 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.............................. ... 237 § 7.15. Теоремы существования неявной функции................................... .... 241 § 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.................. ... 247 § 7.17. Отображения..................................................................................... .... 251 §7.18. Гладкая поверхность ........................................................................ 255 § 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ...................... 257 § 7.20. Локальный относительный экстремум............................................ 259 § 7.21. Замена переменных в частных производных................................... ... 267 § 7.22. Система зависимых функций............................................................ 270 Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272 § 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям................................................................................................ ... 272 § 8.2. Комплексные числа........................................................................... .... 278 § 8.3. Комплексные функции...................................................................... 283 § 8.4. Многочлены...................................................................................... .... 285 § 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .... 288 § 8.6. Интегрирование рациональных дробей.......................................... .... 293 § 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей................... .... 294 § 8.8. Подстановки Эйлера......................................................................... .... 295 § 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.................... 297 § 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 298 § 8.11. Тригонометрические подстановки................................................... ... 301 § 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных функциях........................................................................................... 302 Глава 9. Определенный интеграл Римана.................................................. 303 § 9.1. Вступление....................................................................................... 303 § 9.2. Ограниченность интегрируемой функции.................................... .. 304 § 9.3. Суммы Дарбу.................................................................................... . 305 § 9.4. Основная теорема............................................................................ .. 306
§ 9.5. Теоремы о
существовании интеграла от непрерывной и моно § 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла............................. .. 310 § 9.7. Неравенства и теорема о среднем................................................... . 312
§ 9.8. Интеграл как
функция верхнего предела. Теорема Ньютона- § 9.9. Вторая теорема о среднем............................................................... 318 § 9.10. Видоизменение функции................................................................. .. 318 § 9.11. Несобственные интегралы.............................................................. 319 § 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций............ 323 § 9.13. Интегрирование по частям ............................................................ 325 § 9.14. Несобственный интеграл и ряд....................................................... 327 §9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330 § 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................ .. 331 § 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга..................................................... 332
Глава
10. Некоторые приложения интегралов. Приближен § 10.1. Площадь в полярных координатах................................................. 333 § 10.2. Объем тела вращения...................................................................... .. 334 § 10.3. Длина дуги гладкой кривой............................................................. 335 § 10.4. Площадь поверхности тела вращения............................................ 337 § 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа...................................... . 339 § 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников................................. .. 340 § 10.7. Формула Симпсона.......................................................................... 341 Глава 11. Ряды.............................................................................................. 343 § 11.1. Понятие ряда................................................................................... 343 § 11.2. Действия с рядами............................................................................ 345 § 11.3. Ряды с неотрицательными членами................................................ . 346 § 11.4. Ряд Лейбница.................................................................................... . 350 § 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды.......................................................... . 350 § 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами............................................................................................. .. 354
§ 11.7.
Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость
356 рядов на отрезке ............................................................................. .. 362
§ 11.9. Кратные ряды.
Перемножение абсолютно сходящихся рядов ..
368 арифметических ............................................................................... 371 § 11.11. Степенные ряды............................................................................... 372 § 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............ 377
§ 11.13. Степенные ряды
функций
ez,
cosz, smz
комплексной пере Глава 12. Кратные интегралы................................................................... 383 § 12.1. Введение ........................................................................................... 383 § 12.2. Мера Жордана................................................................................. ..... 385 § 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............ ..... 390
§ 12.4. Еще один
критерий измеримости множеств. Полярные коорди § 12.5. Другие случаи измеримости............................................................ ..... 393 § 12.6. Понятие кратного интеграла........................................................... 394
§ 12.7. Верхняя и
нижняя интегральные суммы. Основная теорема
.....
397 § 12.9. Свойства кратных интегралов ....................................................... .... 404 § 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным....................................................................................... 406 § 12.11. Непрерывность интеграла по параметру...................................... 412 § 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя.................... 414 §12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415 § 12.14. Замена переменных в кратном интеграле ..................................... 417 § 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14...................................................... ... 420 § 12.16. Полярные координаты в плоскости.............................................. .... 424 § 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.......... 426 § 12.18. Гладкая поверхность ...................................................................... 428 § 12.19. Площадь поверхности..................................................................... ..... 431
Глава
13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирова § 13.1. Криволинейный интеграл первого рода........................................ 438 § 13.2. Криволинейный интеграл второго рода........................................ 439 § 13.3. Поле потенциала.............................................................................. .... 442 § 13.4. Ориентация плоской области ........................................................ 450 § 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл............................................................................................. .... 451 § 13.6. Интеграл по поверхности первого рода........................................ .... 454 § 13.7. Ориентация поверхностей ............................................................. 457 § 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.......................... ..... 461 § 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.................. 463 § 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского............................ 466 § 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса................................................... .... 472 § 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру............................... .... 476 § 13.13. Несобственный интеграл ............................................................... 478 § 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла.................... 485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области........
491 § 14.1. Пространство С непрерывных функций....................................... 498 § 14.2. Пространства l! (L) ......................................................................... 500 § 14.3. Пространство L2 (L2)....................................................................... .... 504 § 14.4. Пространство Ь'р(П) (ЬР(П))........................................................... .... 507 § 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве............... 507
§ 14.6. Ортогональная
система в пространстве со скалярным произве § 14.7. Ортогонализация системы.............................................................. ..... 515 § 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L (L) ........................... .... 517 Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519 § 15.1. Предварительные сведения ........................................................... 519 § 15.2. Сумма Дирихле................................................................................ 525 § 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье................................................ 527 § 15.4. Теоремы об осцилляции................................................................. ..... 530
§ 15.5. Критерий
сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес § 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье........................................ 541 § 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.................. .... 544 § 15.8. Оценка остатка ряда Фурье............................................................ 546 § 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева................. ..... 548 § 15.10. Теорема Вейерштрасса..................................................................... 549 § 15.11. Многочлены Лежандра.................................................................... 550 Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции............................... .... 553 § 16.1. Понятие интеграла Фурье ............................................................. 553 § 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции............................................................................................ 556 § 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье...................................................... 558 § 16.4. Производная преобразования Фурье............................................ .... 562 § 16.5. Обобщенные функции в смысле D................................................. 563 § 16.6. Пространство S................................................................................ 570 § 16.7. Пространство Sf обобщенных функций......................................... 574 Предметный указатель........................................................................................... ..... 583
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
|
||
|
1.
Начальная школа 4.
Решение задач |
||
|
|
||
|
||
