Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. Коропец З.Л., Коропец А.А., Алексеева Т.А.

Орел: 2012.— 125 с.

Учебное пособие посвящено современным нестандартным методам решения сложных неравенств и их систем. Существенным отличием данной работы от имеющихся подобных изданий является то, что в ней представлено системное изложение методов и алгоритмов, основанных на концепции равносильности и позволяющих сводить решение целых классов сложных иррациональных неравенств, неравенств с модулем, показательных и логарифмических неравенств с постоянным и переменным основанием, а также комбинированных неравенств и их систем, к решению простых рациональных неравенств обычным методом интервалов. Вместе с тем в работе приведены подробные и обоснованные решения более 110 задач разных типов и разного уровня сложности, для самостоятельного решения представлено более 250 задач с ответами. Уровень сложности и структура задач соответствуют заданиям ЕГЭ серии С последних лет. Пособие предназначено старшеклассникам, слушателям подготовительных курсов для подготовки к ЕГЭ, может быть полезным учителям математики старших классов.

Формат: pdf

Размер: 1,9 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 5
Некоторые обозначения 7
1. Метод замены множителя (МЗМ) 8
1.1. Понятие равносильности 9
1.2. Принцип монотонности для неравенств 10
1.3. Теорема о корне 10
2. Неравенства, содержащие модули 11
2.1. Условия равносильности для МЗМ 11
2.2. Примеры с решениями 11
2.3. Примеры для самостоятельного решения 20
Ответы 21
3. Иррациональные неравенства 22
3.1. Условия равносильности для МЗМ 22
3.2. Примеры с решениями 22
3.3. Примеры для самостоятельного решения 39
Ответы 41
4. Показательные неравенства 42
4.1. Условия равносильности для МЗМ 42
4.2. Примеры с решениями 43
4.3. Примеры для самостоятельного решения 54
Ответы 55
5. Логарифмические неравенства 56
5.1. Условия равносильности для МЗМ 56
5.2. Примеры с решениями 57
5.3. Примеры для самостоятельного решения 74
Ответы 76
6. Показательные неравенства с переменным основанием 77
6.1. Условия равносильности для МЗМ 77
6.2. Примеры с решениями 78
6.3. Примеры для самостоятельного решения 85
Ответы 86
7. Логарифмические неравенства с переменным основанием 87
7.1. Условия равносильности для МЗМ 87
7.2. Примеры с решениями 88
7.3. Примеры для самостоятельного решения 101
Ответы 103
8. Использование свойств функций при решении неравенств 105
8.1. Использование области определения функций 105
8.2. Использование ограниченности функций 105
8.2.1. Использование неотрицательности функций 105
8.2.2. Метод мини-максов (метод оценки) 107
8.3. Использование монотонности функций 110
8.4. Примеры для самостоятельного решения 113
Ответы 114
9. Системы неравенств 115
9.1. Примеры с решениями 115
9.2. Примеры для самостоятельного решения 123
Ответы 124
Литература 125

ВВЕДЕНИЕ
Книга продолжает серию учебных пособий авторов «Математика абитуриенту» и посвящена современным нестандартным методам решения сложных неравенств, основанным на концепции равносильности математических высказываний.
Существенным отличием данной работы от имеющихся подобных изданий является то, что в ней представлено системное изложение методов и алгоритмов, позволяющих с помощью условий равносильности сводить решение целых классов сложных неравенств к решению простых рациональных неравенств классическим методом интервалов.
Значительное место в системе представленных алгоритмов отводится методу замены множителей (МЗМ) как одному из наиболее эффективных и доступных методов, который применим к широкому классу задач и позволяет достаточно просто рационализировать многие иррациональные неравенства, неравенства с модулем, показательные и логарифмические неравенства с постоянным и переменным основанием, а также сложные комбинированные неравенства и их системы.
Применение этого метода позволяет во многих случаях значительно уменьшить трудоемкость задачи, избежать длинных выкладок и ненужных ошибок.
Для каждого из указанных типов неравенств приведены методические указания и алгоритмы (схемы), а также подробные и обоснованные решения задач разных типов и разного уровня сложности, иллюстрирующие оригинальность и эффективность приведенных методов, позволяющих решать задачи компактно, быстро и просто. В конце каждого раздела приведено большое количество заданий для самостоятельного решения с ответами. Уровень сложности и структура представленных задач соответствуют заданиям ЕГЭ серии С последних лет.
Один из разделов пособия посвящен нестандартным методам, опирающимся на такие свойства функций, как области определения и области значений, неотрицательность, монотонность и ограниченность, экстремумы функций, метод «мини-максов» и другие. Эти методы во многих случаях являются эффективными и существенно упрощают решение задач.
Следует заметить, что термин «нестандартные методы» применительно к данной работе является в некотором смысле условным в силу того, что эти методы пока не нашли отражения в школьных учебниках и школьной практике.
Как показывает многолетний опыт преподавательской деятельности авторов, для учащихся имеет существенное значение систематизация и удобное структурирование учебного материала в виде обоснованных схем и алгоритмов, позволяющих единообразно решать целые классы задач. В этом случае даже ученики среднего уровня вполне успешно осваивают эти методы, переводя их для себя в разряд стандартных. Эту проблему в силу своих скромных возможностей авторы и пытались решать в данной работе.