Лекции по математическому анализу. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.
5-е изд., испр. - М.: 2004. — 640 с. Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.
Для студентов университетов, педагогических вузов и
вузов с углубленным изучением математики. Формат: djvu (2004, 5-е изд., 640с.) Размер: 6,9 Мб Скачать: drive.google
Формат: djvu / zip (1999, 695с.) Размер: 5,1 Мб
Скачать / Download файл
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие............................................................................... 3
ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Глава I. ВВЕДЕНИЕ.................................................................. ................... 7 Лекция 1 § 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции............................. ........ 7 Лекция 2 § 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума................................... 14 Лекция 3 § 3. Вещественные числа.......................................................... 19 Лекция 4. § 4. Полнота множества вещественных чисел......................... 23
§ 5. Леммы
об- отделимости множеств, о системе вло Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................ 29 Лекция 5 § 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли..................................................... 29
§ 2. Числовые
последовательности. Бесконечно малые и Лекция б § 3. Предел последовательности.............................................. 38 § 4. Предельный переход в неравенствах................................. 41 Лекция 7 § 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейер- штрасса. Число "е" и постоянная Эйлера....................... 45 Лекция 8
§ 6. Теорема
Больцано - Вейерштрасса о существовании § 7. Критерий Коши для сходимости последовательности 53 Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ......................................... 55 Лекция 9 § 1. Понятие предела числовой функции................................. 55 § 2. База множеств. Предел функции по базе......................... 57 Лекция 10 § 3. Свойство монотонности предела функции....................... 63 § 4. Критерий Коши существования предела функции по базе.................... •----- ................................................... 64 Лекция 11 § 5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне........................................................................... 67 § 6. Теоремы о пределе сложной функции.............................. 68 § 7. Порядок бесконечно малой функции............................... 72 Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.... 74 Лекция 12 § 1. Свойства функций, непрерывных в точке........................ 74 § 2. Непрерывность элементарных функций............................ 76 Лекция 13 § 3. Замечательные пределы..................................................... 79 § 4. Непрерывность функции на множестве............................ 82 Лекция 14 § 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке 90 Лекция 15 § 6. Понятие равномерной непрерывности.............................. 93
§ 7.
Свойства замкнутых и открытых множеств. Ком Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................ .................................. 98 Лекция 16
§ 1.
Приращение функции. Дифференциал и производ Лекция 17 § 2. Дифференцирование сложной функции............................ 103 § 3. Правила дифференцирования............................................ 107 Лекция 18
§4.
Производные и дифференциалы высших порядков.. 109 Лекция 19 § 6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа................................... 117 Лекция 20 § 7. Следствия из теоремы Лагранжа....................................... 122 § 8. Некоторые неравенства...................................................... 123 §9. Производная функции, заданной параметрически... 125 Лекция 21 § 10. Раскрытие неопределенностей.......................................... 126 Лекция 22 §11. Локальная формула Тейлора----------- ................................ 132 § 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме...................................................................................... 137 Лекция 23
§ 13.
Применение формулы Тейлора к некоторым функ Лекция 24 § 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость.................................. 144 Лекция 25 § 15. Точки перегиба.................................................................. 151 Лекция 26 § 16. Интерполирование............................................................. 157 Лекция 27 § 17.Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления......................................................... 160 Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.................................... 166 Лекция 28 § 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции... 166 Лекция 29. § 2. Свойства неопределенного интеграла.............................. 169 Лекция 30 Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств........................... 174
ЧАСТЬ
II.
ИНТЕГРАЛ
РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1 § 1. Введение............................................................................ 183 § 2. Определение интеграла Римана......................................... 184 Лекция 2 § 3. Критерий интегрируемости функции по Риману .... 190 Лекция 3 § 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману . . .'................................................... 195 § 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману ....................................................................... 196 § 6. Метод интегральных сумм................................................ 200 Лекция 4 § 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе . 204 § 8. Классы функций, интегрируемых по Риману ................ 209 Лекция 5 § 9. Свойства определенного интеграла.................................. 212 § 10. Аддитивность интеграла.................................................... 217
Глава
VIII.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕ Лекция 6 § 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла......................... 219
§ 2.
Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммиро Лекция 7 § 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле..................................... 225 § 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении.................. 226 Лекция 8
§ 5.
Формула Тейлора с остаточным членом в инте § 6. Неравенства, содержащие интегралы............................... 239 Лекция 9 § 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Ри- ману................... '............................................................... 241 § 8. Доказательство критерия Лебега...................................... 242 Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.................................. 246 Лекция 10 § 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода...................................................................... 246 § 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов................................................ 248 § 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле........................... 249 Лекция 11 § 4. Несобственные интегралы второго рода.......................... 253 § 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле................................... 255 Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ....................................................... 257 Лекция 12 § 1. Кривые в многомерном пространстве ............................ 257 § 2. Теорема о длине дуги кривой ........................................ 259 Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА.................................................................. 262 Лекция 13
§ 1.
Площадь плоской фигуры и объем пространствен § 2. Критерий измеримости множества по Жордану_______ 264 Лекция 14 § 3. Свойства меры Жордана................................................... 267 § 4. Измеримость спрямляемой кривой................................... 269 § 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции...................................... 271
Глава
XII.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРА Лекция 15 § 1. Определение и свойства меры Лебега.............................. 275 Лекция 16 § 2. Интеграл Лебега................................................................. 282 Лекция 17 § 3. Интеграл Стильтьеса.......................................................... 288
Глава
XIII.
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПО Лекция 18 § 1. Определения...................................................................... 296 Лекция 19
§ 2.
Хаусдорфовость метрического пространства в есте § 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве............................................. 303 § 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений.................................. 306 Лекция 20 § 5. Непрерывные отображения метрических пространств........................................................................ 308 § 6. Понятие компакта. Компакты в Жп и полнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте................. 309 § 7. Связные множества и непрерывность............................... 312 Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................... 314 Лекция 21 § 1. Непрерывные функции в Шп............................................. 314 § 2. Дифференцируемые функции в Мп..................................... 317 Лекция 22 § 3. Дифференцирование сложной функции............................. 320 § 4. Производная по направлению. Градиент........................ 321 § 5. Геометрический смысл дифференциала............................ 323 Лекция 23 § 6. Частные производные высших порядков.......................... 324
§ 7.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тей Лекция 24
§ 8.
Приложение формулы Тейлора. Локальный экс § 9. Неявные функции.............................................................. 332 Лекция 25 § 10. Система неявных функций................................................. 337 § 11. Условный экстремум функции многих переменных. 341 § 12.Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби. 344
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................ 347 Лекция 1 § 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши ................................................................................ 347 Лекция 2 § 2. Ряды с неотрицательными членами................................... 355 Лекция 3
§ 3.
Основные признаки сходимости для рядов с нео Лекция 4 § 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница............................................................................ 368 § 5. Признаки Абеля и Дирихле ............................................ 370 Лекция 5 § 6. Перестановки членов ряда....................... 373 Лекция 6 § 7. Арифметические операции над сходящимися рядами 376 Лекция 7 § 8. Двойные и повторные ряды.............................................. 381
Глава
XVI.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ Лекция 8 § 1. Сходимость функционального ряда................................. 388 § 2. Равномерная сходимость ............................................... 391 Лекция 9 § 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности........................................................... 394 § 4. Признаки равномерной сходимости .............................. 396 Лекция 10 § 5. Теорема Дини.................................................................... 401 § 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда...................................................................... :............. 402 Лекция 11 § 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств . 407 Лекция 12 § 8. Степенные ряды................................................................. 411 Лекция 13 § 9. Бесконечные произведения............................................... 416 Лекция 14 § 10. Бесконечные определители................................................ 422 § 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела .. 425
Глава
XVII.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРА Лекция 15
§ 1.
Собственные параметрические интегралы и их не § 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов ........................................... 431 Лекция 16 § 3. Теорема Лагранжа............................................................. 436 Лекция 17 § 4. Равномерная сходимость по Гейне................................... 439 § 5. Эквивалентность двух определений «равномерной сходимости......................................................................... 440 Лекция 18
§ 6.
Равномерная сходимость несобственных параметри Лекция 19 § 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов .... 449 Лекция 20 § 8. Несобственные интегралы второго рода.......................... 456 § 9. Применение теории параметрических интегралов ... 458 Лекция 21 § 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода...................... 461 Лекция 22 §11. Формула Стирлинга............................................................ 467 Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ................................... 471 Лекция 23 § 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса ................................................. 471 Лекция 24 § 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ор- тонормированной системы функций................................. 482 Лекция 25 § 3. Замкнутость тригонометрической системы функций 488 § 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье.................................... :........................................... 493 Лекция 26 § 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана ................... 497 § 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье............. 501 Лекция 27 § 7. Поведение коэффициентов Фурье..................................... 506 § 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и пред ставление синуса в виде бесконечного произведения 509 §9. Задача Кеплера и ряды Бесселя......................................... 511 Лекция 28 § 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер- штрасса.............................................................................. 514 § 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби.................................................................................. 517 Лекция 29 § 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье......................... 522 Лекция 30 § 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы........................ 534
ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.................................................. 544 Лекция 1 § 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе.................. 544 § 2. Суммы Дарбу и их свойства.............................................. 547 Лекция 2
§ 3.
Критерий Римана интегрируемости функции на пря § 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике...................................................... ___ 553 Лекция 3
§ 5.
Измеримость по Жордану цилиндрической криво
§ 6.
Понятие двойного интеграла Римана по ограничен Лекция 4 § 7. Основные свойства двойного интеграла........................... 562 § 8. Переход от двойного интеграла к повторному................. 564
§ 9.
Интегрируемость непрерывной функции на измери Лекция 5 § 10. Многократные интегралы.................................................. 568
§ 11.
Свойства гладкого отображения на выпуклом мно Лекция 6 § 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле 575 Лекция 7 § 13. Критерий Лебега................................................................ 584 Лекция & § 14. Несобственные кратные интегралы.................................. 588 Лекция 9 § 15. Площадь поверхности....................................................... 595
§ 16.
Площадь
m-мерной
поверхности в евклидовом про Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..................................................................................... 603 Лекция 10 § 1. Криволинейные интегралы................................................. 603 § 2. Свойства криволинейных интегралов............................... 604 Лекция 11
§ 3.
Криволинейные интегралы второго рода по замкну Лекция 12 § 4. Поверхностные интегралы ............................................... 614 § 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы 618 Лекция 13 § 6. Формула Стокса ............................................................... 622 § 7. Формула Гаусса - Остроградского.................................... 624 Лекция 14 § 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования .:................... ,.......................... 630 § 9. Элементы векторного анализа........................................... 633 Лекция 15
§ 10.
Потенциальное и соленоидальное векторные поля . 639 Лекция 16 § 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности 645 § 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае................................................................... 647 § 3. Дифференциальные формы ............................................. 649 § 4. Замена переменных в дифференциальной форме... 649 Лекция 17 § 5. Интеграл от дифференциальной формы............................ 651 § 6. Операция внешнего дифференцирования......................... 654 § 7. Доказательство общей формулы Стокса........................... 656 Лекция 18
Дополнение.
Равномерное распределение значений чи § 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье.............................................................. 660 § 2. Критерий Г.Вейля .................................................................................. 664
Примерные вопросы
и задачи к коллоквиумам и экза Литература......................................................................................................... 684
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
|
||
|
|
||
|
||
