Геометрия. 10-11 классы. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.

М.: 2014. - 255 с.

Издание входит в УМК А.Д. Александрова "Геометрия. 10-11 классы (профильное и углубленное изучение)". Отличительными чертами данного учебника являются четкая структура, высокая научность, доступность и краткость изложения. Авторы представляют геометрию как науку, тесно связанную с окружающим миром. К каждому параграфу дается набор задач, среди них выделены основные. Именно в задачах заложен принцип развивающего обучения. Большую помощь учащимся окажут предметный указатель и ответы.

Формат: pdf

Размер: 64 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
I. О геометрии 7
II. О пространственных фигурах 8
III. О теоретической части курса 9
IV. О задачах 10
V. О рисунках 12
Глава I ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 13
§ 1. Аксиомы стереометрии. 14
1.1. Аксиома плоскости 14
1.2. Аксиома пересечения плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей 15
1.3. Аксиома о прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости 16
1.4. Аксиома расстояния. Равенство фигур 17
1.5. Аксиома разбиения пространства плоскостью 18
1.6. Основные теоремы о треугольниках 18
Вопросы для самоконтроля. 25
Задачи 25
§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве 28
2.1. Задание прямой двумя точками 28
2.2. Задание плоскости тремя точками 29
2.3. Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми 30
Вопросы для самоконтроля. 31
Задачи 31
§ 3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 32
3.1. Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве 32
3.2. Признаки скрещивающихся прямых 33
3.3. Параллельные прямые 33
Вопросы для самоконтроля. 35
Задачи 35
§ 4. Параллельное и центральное проектирования 36
4.1. Определение и основные свойства параллельного проектирования 36
4.2. Изображение разных фигур в параллельной проекции 38
4.3. Центральное проектирование 40
Задачи 42
§ 5. Существование и единственность. Построения 43
5.1. Существование и единственность 43
5.2. Построения на плоскости. Метод геометрических мест 44
5.3. Методы преобразований 46
5.4. Построения в пространстве 49
5.5. О построении пирамид и призм 50
5.6. О значении геометрии 53
Вопросы для самоконтроля. 53
Задачи 54
Задачи к главе 1 55
Итоги главы I 57
Глава II ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 6. Перпендикулярность прямой и плоскости 59
6.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости 59
6.2. Перпендикуляр и наклонная 59
6.3. О значении перпендикуляра 60
Вопросы для самоконтроля. 62
Задачи 62
§ 7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 63
7.1. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости 63
7.2. Плоскость перпендикуляров 65
7.3. Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей 65
Вопросы для самоконтроля. 66
Задачи 66
§ 8. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости 68
8.1. Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости 68
8.2. Параллель к перпендикуляру 69
Вопросы для самоконтроля. 69
Задачи 69
§ 9. Основные теоремы о взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 70
9.1. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости 70
9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой 71
Вопросы для самоконтроля 72
Задачи 72
§ 10. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей 73
10.1. Двугранный угол. Угол между плоскостями 73
10.2. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей 75
10.3. Признак перпендикулярности плоскостей 75
Вопросы для самоконтроля 76
Задачи 76
§ 11. Параллельность плоскостей 79
11.1. Параллельность плоскостей, перпендикулярных одной прямой 79
11.2. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям 80
11.3. Основная теорема о параллельных плоскостях 81
Вопросы для самоконтроля . 82
Задачи 82
§ 12. Параллельность прямой и плоскости 84
12.1. Признак параллельности прямой и плоскости 84
12.2. Признак параллельности плоскостей 85
Вопросы для самоконтроля 85
Задачи 86
§ 13. Ортогональное проектирование 87
13.1. Ортогональное проектирование на прямую и на плоскость 87
13.2. Теорема о трёх перпендикулярах 89
13.3. Расстояние от точки до фигуры 90
13.4. Площадь проекции многоугольника 91
Вопросы для самоконтроля 94
Задачи 94
§ 14. Расстояние между фигурами и параллельность 98
14.1. Расстояние между фигурами 98
14.2. Расстояние между прямыми и плоскостями 99
14.3. Расстояние и параллельность 100
Вопросы для самоконтроля 101
Задачи 101
§ 15. Углы 103
15.1. Сонаправленность лучей 103
15.2. Угол между лучами 104
15.3. Угол между прямыми. 105
15.4. Угол между прямой и плоскостью 106
Вопросы для самоконтроля 107
Задачи 107
Задачи к главе II 110
Итоги главы II 114
Глава III ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 16. Сфера и шар 116
16.1. Определения сферы и шара 116
16.2. Взаимное расположение шара и плоскости 117
16.3. Касательная плоскость сферы 119
16.4. Свойства сферы. Изображение сферы 120
Вопросы для самоконтроля 121
Задачи 121
§ 17. Симметрия сферы и шара 123
17.1. Сфера — центрально-симметричная фигура 124
17.2. Сфера — зеркально-симметричная фигура 124
17.3. Сфера — фигура вращения 125 Вопросы для самоконтроля 127
Задачи 127
§ 18. Цилиндр 128
18.1. Определение и общие свойства цилиндра 128
18.2. Замечания об определении цилиндра* 130
18.3. Цилиндр вращения 130
18.4. Цилиндры в практике 131
Вопросы для самоконтроля 132
Задачи 132
§ 19. Конус 133
19.1. Определение и общие свойства конуса 133
19.2. Конус вращения 135
19.3. Усечённый конус 136
19.4. Конические сечения 136
Вопросы для самоконтроля. 139
Задачи 139
§ 20. Геометрия окружности 140
20.1. Окружности и углы 140
20.2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих 142
20.3. Вычисление радиусов окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него 144
20.4. Вписанные и описанные четырёхугольники 145
Задачи 147
Задачи к главе III 151
Итоги главы III 152
Глава IV МНОГОГРАННИКИ
§ 21. Призма 153
21.1. Призма — частный случай цилиндра 153
21.2. Параллелепипед 154
Вопросы для самоконтроля. 155
Задачи 155
§ 22. Пирамида 157
22.1. Пирамида — частный случай конуса 157
22.2. Правильная пирамида. 158
Вопросы для самоконтроля 160
Задачи 160
§ 23. Многогранники 162
23.1. Тела и их поверхности 162
23.2. Определение многогранника. Элементы многогранника 163
23.3. Многогранная поверхность и развёртка 165
23.4. Многогранные углы 167
Вопросы для самоконтроля 168
Задачи 169
§ 24. Правильные и полуправильные многогранники. Симметрия фигур 170
24.1. Правильные многогранники 170
24.2. Построение правильных многогранников* 171
24.3. Преобразования симметрии 173
24.4. Поворот 174
24.5. Общее понятие о симметрии 175
24.6. Элементы симметрии 176
24.7. Симметрии правильных многогранников 177
24.8. Золотое сечение 179
24.9. Полуправильные многогранники 180
Вопросы для самоконтроля 182
Задачи 182
Задачи к главе IV 183
Итоги главы IV 184
Глава V ОБЪЁМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 25. Определение объёма 185
25.1. Простые тела 185
25.2. Определение объёма 186
Вопросы для самоконтроля . 187
§ 26. Зависимость объёма тела от площадей его сечений 187
26.1. Объём прямого цилиндра 187
26.2. Зависимость объёма тела от площадей его сечений 188
Вопросы для самоконтроля 191
Задачи 191
§ 27. Объёмы некоторых тел 193
27.1. Объём цилиндра 193
27.2. Объём конуса 193
27.3. Объём шара 194
27.4. Изменение объёма при подобии 195
Вопросы для самоконтроля 195
Задачи 195
§ 28. Площадь поверхности 199
28.1. О понятии площади поверхности 199
28.2. Площадь сферы 200
28.3. Площади поверхностей цилиндра и конуса 202
Вопросы для самоконтроля 204
Задачи 204
Задачи к главе V 208
Итоги главы V 209
Глава VI КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 29. Метод координат 210
29.1. Прямоугольные координаты 210
29.2. Построение точки с данными координатами 211
29.3. Выражение расстояния между точками 211
29.4. Метод координат 212
29.5. Применение метода координат 213
Вопросы для самоконтроля 215
Задачи 215
§30. Векторы 217
ЗОЛ. Понятие вектора 217
30.2. Сонаправленность и равенство векторов 217
30.3. Сложение векторов 218
30.4. Умножение вектора на число 220
30.5. Разложение вектора по базису 221
30.6. Векторный метод 222
30.7. Параллельный перенос 226
Вопросы для самоконтроля 227
Задачи 227
§ 31. Координаты и векторы 228
31.1. Координаты вектора. 228
31.2. Действия с векторами и действия с координатами 230
31.3. Скалярное умножение векторов 231
31.4. Уравнение плоскости . 233
31.5. Расстояние от точки до плоскости 234
Вопросы для самоконтроля. 235
Задачи 235
Задачи к главе VI 237
Заключение. Современная геометрия.
1. Коренное отличие современной геометрии 238
2. Геометрия на поверхности 239
3. Возможная геометрия реального пространства 240
4. Геометрия Лобачевского 241
5. Многомерное пространство 243
6. Другие геометрии 243
7. Основания геометрии 244
8. Геометрия и действительность 245
Ответы 248
Предметный указатель 252
Список литературы 254

Чёткая структура, высокая научность, доступность изложения, простота и краткость — отличительные черты этого учебника. Авторы представляют геометрию как науку, тесно связанную с окружающим миром. Появлению абстрактного понятия предшествует реальная картина, которая аргументирует необходимость этой абстракции.
К каждому параграфу даётся набор задач. Среди них выделены задачи базового уровня, т. е. обязательные для всех, и задачи углублённого уровня. Именно в задачах заложен принцип развивающего обучения. К главам имеются задачи «Применяем компьютер» с использованием среды «Живая математика». В учебнике даются обобщающие задачи к главам и итоги каждой главы для выделения основных результатов её изучения. Большую помощь учащимся окажут предметный указатель и ответы.