Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Э. Камке
Пер. с нем. - 4-е изд., испр. — М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576с. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890— 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе. Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, — около 1650 уравнений с решениями — сохраняет большое значение и сейчас. Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).
Книга Э. Камке содержит множество фактов и
результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для
широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для
инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на
русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.
Формат: djvu / zip Размер: 5,6 Мб
Скачать / Download файл
Оглавление Предисловие к четвертому изданию 11 Некоторые обозначения 13 Принятые сокращения в библиографических указаниях 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1.
Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
19
1.1.
Обозначения и геометрический смысл дифференциального
19
1.2.
Существование и единственность решения
20 производной: у' =f(x,y); методы решения 2.1. Метод ломаных 21 2.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 23 2.3. Применение степенных рядов 24 2.4. Более общий случай разложения в ряд 25 2.5. Разложение в ряд по параметру 27 2.6. Связь с уравнениями в частных производных 27 2.7. Теоремы об оценках 28 2.8. Поведение решений при больших значениях х 30 § 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно 32 производной: F(y', у,х)=0 3.1. О решениях и методах решения 32 3.2. Регулярные и особые линейные элементы 33 § 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34 порядка 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35 4.2. y'=f(ax+by+c) 35 4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35. 4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений 4.5. Уравнение Бернулли y'+f(x)y+g(x)ya=0 38 4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним 38 4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40 4.8. Специальное уравнение Риккати: у'+ау2=Ьха 40 4.9. Общее уравнение Риккати: y'=f(x)y2+g(x)y+h(x) 41 4.10. Уравнение Абеля первого рода 44 4.11. Уравнение Абеля второго рода 47 4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49 4.13. Интегрирующий множитель 49 4.14. F(y',y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50 4.15. (a) y=G(x, у'); (б) x=G(y, у') 50 4.16. (a) G(y ',х)=0; (б) G(y \y)=Q 51 4Л7. (a) y'=g(y); (6) x=g(y') 51 4.18. Уравнения Клеро 52 4.19. Уравнение Лагранжа —Даламбера 52 4.20. F(x, ху'-у, у')=0. Преобразование Лежандра 53 Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных § 5. Основные понятия 54 5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений 5.2. Существование и единственность решения 54 5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5 5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 56
5.5.
Вопросы устойчивости
57 6.1. Метод ломаных 59 6.2. Метод последовательных приближений Пикара—Линделёфа 59 6.3. Применение степенных рядов 60 6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61 6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями 6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
6.7.
Теоремы об оценках
62 7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64 7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2
7.3.
Критерии для определения типа особой точки
66 8.1. Общие замечания 70 8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 70 8.3. Сведение неоднородной системы к однородной 71 8.4. Теоремы об оценках 71 § 9. Однородные линейные системы 72 9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72 9.2. Теоремы существования и методы решения 74 9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений 75 9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений 76 9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений , 76 9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7.
Фундаментальные решения
78 10.1. Классификация особых точек 79 10.2. Слабо особые точки 80 10.3. Сильно особые точки 82 §11. Поведение решений при больших значениях х 83 §12. Линейные системы, зависящие от параметра 84 §13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86 13.1. Однородные системы 83 13.2. Системы более общего вида 87 Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка § 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89 yin)=f(x,y,y\...,y{n-\)}
§15.
Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:
90 15.1. Уравнения в полных дифференциалах 90 15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90 15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, §16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 92 16.1. Общие замечания 92 16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 92 16.3. Исключение производной (п—1)-го порядка 94 16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5.
Поведение решений при больших значениях х
94 17.1. Свойства решений и теоремы существования 95 17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения 96 17.3. 0 нулях решений 97 17.4. Фундаментальные решения 97 17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы 17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99 17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
§18.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми
101 18.1. Классификация особых точек 101 18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая 104 18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая 108 18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107 18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108 18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами 18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами 18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9.
Случай действительного переменного
112 определенных интегралов 19.1. Общий принцип 113 19.2. Преобразование Лапласа 116 19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119 19.4. Преобразование Меллина 120 19.5. Преобразование Эйлера 121 19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123 § 20. Поведение решений при больших значениях х 124 20.1. Полиномиальные коэффициенты 124 20.2. Коэффициенты более общего вида 125 20.3. Непрерывные коэффициенты 125 20.4. Осцилляционные теоремы 126 §21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от 127 параметра
§ 22.
Некоторые специальные типы линейных дифференциальных
129 22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными 130 22.3. Уравнения Эйлера 132 22.4. Уравнение Лапласа 132 22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами 133
22.6.
Уравнение Похгаммера
134 23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139 23.2. Некоторые дополнительные замечания 140 23.3. Теоремы о предельных значениях 141 23.4. Осцилляционная теорема 142 § 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго 142 порядка 24.1. Общие замечания 142 24.2. Некоторые методы решения 143 24.3. Теоремы об оценках 144 § 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 145 25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка 25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка 25.3. Разложение решения в непрерывную дробь 149 25.4. Общие замечания о нулях решений 150 25.5. Нули решений на конечном интервале 151 25.6. Поведение решений при х—>inf 153 25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками 25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное 25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное 161 25.10. Метод ВБК 162 Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков § 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка 163 § 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 164 Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений § 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 165 первого порядка 28.1. Метод ломаных 165. 28.2. Метод добавочного полушага 166 28.3. Метод Рунге — Хейна — Кутта 167 28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений 168 28.5. Метод Адамса 170 28.6. Дополнения к методу Адамса 172 § 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений 174 высших порядков 29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка 29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176 29.3. Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка 29.4. Метод Адамса — Штермера для уравнения y"=f(x,y,y) 177 29.5. Метод Адамса — Штермера для уравнения y"=f(x,y) 178 29.6. Метод Блесса для уравнения y"=f(x,y,y) 179
ЧАСТЬ ВТОРАЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений п-то порядка § 1. Общая теория краевых задач 182 1.1. Обозначения и предварительные замечания 182 1.2. Условия разрешимости краевой задачи 184 1.3. Сопряженная краевая задача 185 1.4. Самосопряженные краевые задачи 187 1.5. Функция Грина 188 1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190 1.7. Обобщенная функция Грина 190 § 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения 193 £шу(у)+Ых)у = 1(х) 2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант А(Х) 2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система 2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях 2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях 2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях 2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200 2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204 2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма 2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма 2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра 211 2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра 2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра 2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением 2.14. Применение к разложению по собственным функциям 218
2.15.
Дополнительные замечания
219 краевых задач 3.1. Приближенный метод Галеркина — Ритца 222 3.2. Приближенный метод Граммеля 224 3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина — Ритца 3.4. Метод последовательных приближений 226 3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей 3.6. Метод возмущений 230 3.7. Оценки для собственных значений 233 3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций
§ 4.
Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения
238 4.1. Постановка задачи 238 4.2. Общие предварительные замечания 239 4.3. Нормальные задачи о собственных значениях 240 4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241 4.5. Разложение по собственным функциям 244 § 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида 247 Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений
§ 6.
Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем
249 6.1. Обозначения и условия разрешимости 249 6.2. Сопряженная краевая задача 250 6.3. Матрица Грина 252 6.4. Задачи о собственных значениях 252- 6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях 253 Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений низших порядков § 7. Задачи первого порядка 256 7.1. Линейные задачи 256 7.2. Нелинейные задачи 257 § 8. Линейные краевые задачи второго порядка 257 8.1. Общие замечания 257 8.2. Функция Грина 258 8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода 259 8.4. Краевые условия при |х|—>inf 259 8.5. Отыскание периодических решений 260 8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260 § 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261 9.1. Общие замечания 261 9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях 263 9.3. y'=F(x,)Cjz, z'=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны 266 9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип 269 9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций 9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные 271 9.7. Дополнительные условия более общего вида 273 9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров 9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276
9.10.
Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале
277 второго порядка 10.1. Краевые задачи для конечного интервала 278 10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала 281 10.3. Задачи о собственных значениях 282 §11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего— 283 восьмого порядков 11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка 283 11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284 11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка 11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка 287 11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка 288
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Предварительные замечания 290 Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка 1—367. Дифференциальные , уравнения первой степени относительно У 294 368—517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно 334 518—544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно 354 545—576. Дифференциальные уравнения более общего вида 358 Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 1—90. ау" + ... 363 91—145. (ах+ЬУу" + ... 385 146—221.x2 у" + ... 396 222—250. (х2±а2)у"+... 410 251—303. (ах2 +Ьх+с)у" + ... 419 304—341. (ах3 +...)у" + ... 435 342—396. (ах4 +...)у" + ... 442 397—410. (ах« +...)у" + ... 449 411—445. Прочие дифференциальные уравнения 454 Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких порядков Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 1—72. ay"=F(x,y,y) 485 73—103./(x);y"=F(x,;y,;y') 497 104— 187./(х)ху'ЧР(х,;у,;у') 503 188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y}) 514 226—249. Прочие дифференциальные уравнения 520 Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более высоких порядков Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений Предварительные замечания 530 1—18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 530 постоянными коэффициентами 19—25. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 534 переменными коэффициентами 26—43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше 535 первого 44—57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 538 Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений 1—17. Системы двух дифференциальных уравнений 541 18—29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544 ДОПОЛНЕНИЯ О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник) 547 Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович) 556
Новый
способ классификации линейных дифференциальных уравнений и
568 Предметный указатель 571
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
|
||
|
|
||
|
||
