Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.  Градштейн И.С., Рыжик И.М.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 Из   предисловия  к   первому   изданию....................................................................... ...... 10

 Из  предисловия   к  третьему   изданию....................................................................... ...... 10

 Предисловие    к    четвертому    изданию.................................................................... ...... 11

 О   порядке   следования   формул................................................................................ ...... 12

0.    ВВЕДЕНИЕ

 0.1. Конечные   суммы                                                                                                            15

0.11.   Прогрессии (15).   0.12. Суммы степеней натуральных чисел (15). 0.13. Суммы величин, обратных натуральным числам (ib).   0.14. Суммы про­изведений величин, обратных натуральным    числам (17). 0.15.   Суммы би­номиальных  коэффициентов  (17).

 0.2.   Числовые  ряды   и  бесконечные   произведения................................................         19

0.21. Сходимость числовых рядов (19). 0.22. Признаки сходимости (19). 0.23—0.24. Примеры числовых рядов (21). 0.25. Бесконечные произведения   (25).   0.26.   Примеры   бесконечных   произведений   (26).

 0.3.  Функциональные ряды       ....................................................................................        26

0.30. Определения и теоремы (26). 0.31. Степенные ряды (27). 0.32. Три­гонометрические  ряды   (30).   0.33.   Асимптотические  ряды  (32).

 0.4.   Некоторые формулы  дифференциального   исчисления.....................................         32

0.41. Дифференцирование определенного интеграла по параметру (32). 0.42. Производная в-го порядка от произведения (33). 0.43. Производная re-го порядка  от  сложной функции   (33).

 

 

1.   ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ   ФУНКЦИИ

1.1.   Степени   биномов............................................................................................   .        35

1.11. Степенные ряды (35).  1.12. Ряды рациональных дробей (36).

1.2.     Показательная      функции   .   .   . ~.................................................................         36

1.21. Представление в виде ряда (36). 1.22. Функциональные соотно­шении  (37).   1.23.   Ряды  показательных  функций  (37).

1.3т—1.4.   Тригонометрические   и   гиперболические  функции............................         37

1.30. Вв'доше (37). 1.31. Основные функциональные соотноше­ния (38). 1.32. Выражение степеней тригонометрических и гиперболических функций через функции кратных аргументов (ду1) (39). 1.33. Выражение тригонометрических и гиперболических функций кратных аргументов (дуг) через степени этих функций (41). 1.34. Некоторые суммы тригонометриче­ских и гиперболических функций (43). 1.35. Суммы степеней кратных дуг (44). 1.36. Суммы произведений тригонометрических функций кратных дуг (46). 1.37. Суммы тангенсов кратных дуг (46). 1.38. Суммы, приводящие к гиперболическим тангенсам и к гиперболическим котангенсам (46). 1.39. Представление косинусов и синусов кратных дуг в виде конечных произведений (47). 1.41. Разложение тригонометрических а гиперболи­ческих функций в степенные ряды (48). 1.42. Разложение на простейшие дроби (50). 1.43. Представление в виде бесконечного произведения (51). 1.44—1.45. Тригонометрические ряды (52). 1.46. Ряды произведений показательных и тригонометрических функций (56). 1.47. Ряды гипербо­лических функции (56). 1.48. «Угол параллельности» Лобачевского П (г)  (57).    1.49.    Гиперболическая   амплитуда    (гудерманиан)    gd x  (57).

1.5. Логарифмическая  функция        ...........................................................................         58

1.51. Представление в виде ряда (58). 1.52. Ряды логарифмических функций  (60).

1.6. Обратные тригонометрические в обратные гиперболические функции  ....        61

1.61. Область определения (61). 1.62—1.63. Функциональные соот­ношения (61).  1.64. Представление в виде ряда (65).

 

 

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ   ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

2.0.   Введение     ..........................................................................................................         67

2.00. Замечания общего характера (67). 2.01. Основные интегралы (68). 2.02.   Общие   формулы   (69).

2.1.  Рациональные функции.........................................................................................         70

2.10. Общие правила интегрирования (70); 2.11—2.13. Формы, содержа­щие биномы а-\-Ьх^к (72). 2.14. Формы, содержащие биномы 1 -^ х^п (77). 2.15. Формы, содержащие пары биномов: а -\ Ьх и а -f рх (80) 2.16. Формы, содержащие трехчлены а + Ъх^к -\- сх^гк (81). 2.17. Формы, содержащие квадратный трехчлен а + Ьх -f- сх^г и степени х (82). 2.18. Формы, юдер-жащие нвадратный трехчлен о + Ьх + сх^г и бином   а + р* (84).

2.2.  Алгебраические   функции....................................................................................         84

2.20. Введение (84). 2.21. Формы, содержащие бином a+6ar^k и Ух (85). 2.22—2.23. Формы, содержащие *У(а + Ьх)^к (86). 2.24. Формы, содержащие Уа-\-Ьх и   бином а+рж (89).    2.25.  Формы, содержащие  y^a+bx ' сь^?(94).

2.26.     Формы,     содержащие     Уа -р Ьх-\- cx^s    и    целые    степени    х (95).

2.27.    Формы, содержащие у а + еж² и целые степени х (100). 2.28. Формы, содержащие У a -f- Ьх ^-сх* и многочлены первой и второй степени (103).
2.29. Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим   (104).

2.3.  Показательная  функция........................................................................................       106

2.31. Формы, содержащие е^ах (106). 2.32. Показательная и рацио­нальные   функции   от   х   (106).

2.4.  Гиперболические функции....................................................................................       107

2.41—2.43. Степени sh т, ch х, th х и ctb x (107). 2.44—2.45. Рацио­нальные функции от гиперболических функций (121). 2.46. Алгебраиче­ские функции от гиперболических функций (127). 2.47. Гиперболические функции и степенная функция (133). 2.48. Гиперболические функция, пока­зательная   и   степенная   функции   (142).

2.5—2.6. Тригонометрические функции   .,..""..........................................       143

2.50. Введение (143). 2.51—2.52. Степени тригонометрических функ­ций (144). 2.53—2.54. Синусы и косинусы кратных дуг, липейпых и более сложных функций аргумента (153). 2.55—2.56. Рациональные функции от синуса и косинуса (161). 2.57. Формы, содержащие У а ^ Ь sin x , У^я^б cos ж или приводящиеся к этому виду (167). 2.58—2.62. Интегралы, при­водящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим (171). 2.63—2.65. Три­гонометрические функции и степенная функция (196). 2.66. Тригонометри­ческие функции и показательная функция (208). 2.67. Тригонометрические функции  и  гиперболические  функции  (212).

2.7. Логарифмическая   функция; функции, обратные  гиперболическим.................        217

2.71. Логарифмическая функция (217). 2.72—2.73. Логарифмиче­ская и алгебраическая функции (217). 2.74. Обратные гиперболические функ­ции (220).

2.8.   Обратные  тригонометрические  функции..........................................................       221

2.81. Арксинус и арккосинус (221). 2.82. Арксеканс и арккосеканс, арк­тангенс и арккотангенс (221).  2.83. Арксинус,  арккосинус и алгебраиче­ская  функция   (222).   2.84.  Арксеканс,  арккосеканс  и   степени   х   (223). 2.S5. Арктангенс,   арккотангенс и алгебраическая функция^ (223).

 

 

3_4.   ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ  ЭЛЕМЕНТАРНЫХ   ФУНКЦИИ

3.0. Введение      ........................................................................... *.............................      22&

3.01. Теоремы общего характера (225). 3.02. Замена переменного в определенном интеграле (226). 3.03. Формулы общего характера (227). 3.04. Несобственные интегралы (229). 3.05. Главные значения несобствен­ных интегралов   (230).

3.1—3.2. Степенные и  алгебраические ф}нкпии........................................................       231

3.11. Радиопалыше функции (231). 3.12. Произведения рациональных функций и выражений, приводившихся к квадратным корням из многочленов первой и второй степени (233) 3.13 — 3.17. Выражения, приводящиеся к квадратным корням из многочленов третьей и четвертой степени, и их произведения с рациональными функциями (233). 3.18 Выражения, при­водящиеся к корням четвертой степени из многочленов второй степени, и их произведения с рациональными функциями (296). 3.19—3.23. Степени х я би­номов вида а + fix (298). 3.24—3.27. Степени х, биномов вида а + fix? и многочленов  от х   (306).

3.3—3.4- Показательная функция.................................................................................      318

3.31. Показательная функция (318). 3.32—3.34. Показательная функ­ция от более сложнмх аргументов (320). 3.35. Показательная функция и рациональные функции (324). 3.36—3.37. Показательная функция и алге­браические фушщии (329). 3.38—3.39. Показательная функция и степен­ная функция с произвольными показателями степени (331). 3.41—3.44. Рацио­нальные функции от степенной и показательной функций (339). 3.45. Ал­гебраические функции от показательной функции и степенная функция (349). 3.46—3.48. Показательная функция от более сложных аргументов и сте­пенная   функция    (351)

3.5.    Гиперболические   функция................................................................................      358

3.51 Гиперболические функции (358). 3.52—3.53. Гиперболические функции и алгебраические функции (361). 3.54. Гиперболические функции и показательная функция (370). 3.55—3.56. Гиперболические, показатель­ные  и   степенные   функции   (374).

3.6—4.1.  Трш онометрические  функции     ..............................................................       379

3.61. Рациональные функции от синусов и косинусов и тригонометри­ческие функции кратных дуг (379). 3.62. Стенепи тригонометрических: функ­ций (383). 3.63. Степени тригонометрических функций и тригонометриче­ские функции от линейной функции аргумента (386). 3.64—3.65. Степыш три­гонометрических функций и рациональная функция от тригонометриче­ских функций (391). 3.66. Формы, содержащие стенени линейных функций от тригонометрических функций (396). 3.67. Квадратные корни из выражений, содержащих тригонометрические функции (400) 3.68. Различные формы от степеней тригонометрических функций (403). 3.69—3.71. Тригонометри­ческие функции от более сложных аргументов (409). 3.72—3.74. Тригоно­метрические и рациональные функции (419) 3.75. Тригонометрические и алгебрапческие функции (432). 3.76—3.77. Тригонометрические и степенная функции (434). 3.78—3.81. Рациопалыше функции от х и от тригонометрических функций (446). 3.82—3.83. Степени тригономе­трических функций и степенная функция (460). 3.84. Интегралы, содержа­щие выражения 1^1—A:² sin² ж, 1 1—A-² cos² а; и сходные с ними (474). 3.85—-3.88 Тригонометрические функции от более сложных аргументов и степенная функция (478). 3.89—3.91. Тригонометрические и показа­тельная функции (490). 3.92. Тригонометрические функции от более слож-пых аргументов и показательная функция (498) 3.93. Тригонометри­ческие и показательные функции от тригонометрических функций (500). 3.94—3.97. Тригонометрические, показательная и степенная функ­ции (503).3.98—3.99. Тригонометрические и гиперболические функ­ции (517). '4.11—4.12. Тригонометрические, гиперболические и степенная функции (525). 4.13. Тригонометрические, гиперболические и показательная функции (533). 4.14. Тригонометрические, гиперболические, показательная и  степенная функции   (535).

4.2—4.4. Логарифмическая функция...........................................................................       533

4.21. Логарифмическая функция (537;- 5-22. Логарифгалеская функция от более сложных   аргументов   (539). 4.23. Логарифмическая и рашюнадь-

ная функции (546). 4.24. Логарифмическая и алгебраическая функции (549). 4.25. Логарифмическая и степенная функции (551). 4.26—4.27. Степени логарифма и степенная функция (553). 4.28. Рациональная функция In x и сте­пенная функция (586). 4.29—4.32. Логарифмическая функция от более сложных аргументов и степенная функция (569). 4.33—4.34. Логарифмиче­ская и показательная функции (587). 4.35—4.36. Логарифмическая, ноказа-тельная и степенная функции (589). 4.37. Логарифмическая а гиперболи­ческие функции (594). 4.38—4.41. Логарифмическая и трт оночетрические функции (597). 4.42—4.43. Логарифмическая, тригонометрические и сте­пенная функции (612). 4.44. Логарифмическая, тригонометрические и по­казательная   фупкции (619).

4.5.   Обратные  тригонометрические  флпкции...........................................................       619

4.51. Обратные тригонометрические функции (619). 4.52. Арксинус, арккосинус и степенная функция (620). 4.53—4.54. Арктангецс, арккотан­генс и степенная функция (621). 4.55. Обратные тригонометрические и пока­зательная функции (625). 4.56. Арктангенс и гиперболическая функция (626). 4.57. Обратные и прямые тригонометрические фупкции (626). 4.58. Обрат­ная и прямая тригонометрические и степенная функции (628). 4.59. Обрат­ные   тригонометрические  и   логарифмическая   функции    (628),

4.6.   Кратные   интегралы.............................................................................................       628

4.60. Замена перемепных в кратных интегралах (628). 4.61. Перемена порядка интегрирования и замена переменных (629). 4.62. Двойные и трой­ные интегралы с постоянными пределами (632). 4.63—4.64. Многократные интегралы   (634).

 

 

5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ

5.1.  Эллиптические интегралы я функции....................................................................       640

5.11. Полные эллиптические интегралы (640). 5.12. Эллиптические ин­тегралы (641). 5.13. Эллиптические функции Якоби (643). 5.14. Эллипти­ческие    фупкции  Вейерштрасса   (645).

5.2.  Интегральная показательная функция...................................................................       646

5.21. Интегральная показательная функция (646). 5.22. Интеграль­ная показательная и степенная функции (646). 5.23. Интегральная пока­зательная и показательная  функции  (646).

5.3.   Интегральный chhjc и  инте! ральный косинус....................................................        646

5.4.   Интеграл вероятности и imi-ei валы Френеля.......................................................       647

5.5.   Цилиндрические функции       ..............................................................................       647

 

 

6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1.   Эллиптические   интегралы   и  функции.............................................................        649

6.11 Формы, содержащие F (х, к) (649). 6.12. Формы, содержащие Е (х, к) (650). 6.13. Интегрирование эллиптических иптегралон по модулю (650). 6.14—6.15. Полные эллиптические интегралы (651). 6.16. Тэта-функ­ции   (652).

6.2—6.3. Интегральная показательная функция и родственные ей функции  .' .   .      653

6.21. Интегральный логарифм (653). 6.22—6.23. Интегральная пока­зательная функция (655). 6.24—6.26. Интегральные еппус и косинус (657). 6.27. Интегральный гиперболический синус и косинус (061). 6.28—6.31. Ин­теграл вероятности (662).  6.32.  Интегралы Френеля (667).

6.4. Гамма-флгащия и родственные ей функции..........................................................        669

6.41. Гамма-функция (669). 6.42. Гамма-функция, поьалательная и степен­ная функции (670). 6.43. Гамма-функция и тригонометрические функ­ции (674). 6.44. Логарифм гамма-фулкции (675). 6.45. Неполная гамма-функ­ция (676).   6.46—6.47.   Функции \p(z)   (678).

6.5—6.7.  Цилиндрические функции     .......................................................................       679

6.51. Цилиндрические функции (679). 6.52. Цилиндрические функции а: и ж² (686). 6.53—6.54.   Цилиндрические функции и рациональные фупк-

ции (GDI). 0.55. Цилиндрические и алгебраические функции (695). '5.56—6.58. Цилиндрические и степенные функции (697). 6.59. Цилиндри­чески! функции от более сложных аргументов и стеиениая функция (714). 6.61. Цилиндрические и показательная функции (721). 6.62—6.63. Цилинд ричсскии, показательная и степенная функции (725) 6.64. Цилипдричесшгс функции от более сложных аргументов, показательная и стспешгая фупк ции (734). 6.65. Цилиндрические и цоказательная функции от более сложных аргументов и степенная функция (737). 6.66. Цилиндрические, гиперболи­ческие и показательная функции (740). 6.67—6.68. Цилиндрические и три­гонометрические функции (744). 6.69—6.74. Цилиндрические, тригонометри­ческие и степенная функции (757) 6.75. Цилиндрические, тригонометриче­ские, показательная и степенная функции (776). 6.76. Цилиндрические, тригонометрические и гиперболические функции (781). 6.77. Цилиндрические функции логарифм и арктангенс (781). 6.78. Цилиндрические функции и другие специальные функции (782). 6.79. Интегрирование цилиндриче­ских   функций  по индексу (784).

6.8. Функции,   родственные   цилиндрическим..........................................................        789

6.81. Функции Струве (789). 6.82. Функции Струве, показательная и степенная функции (791). 6.83. Функции Струве и тригонометрические функции (792). 6.84—6.85. Функции Струве и цилиндрические функции (793). 6.86. Функции Ломмеля (798;. 6.87. Функции Томсона (801).

6.9.                                                                                                                                 Фупкцип Матье                 802

6.91. Функции Матье (802). 6.92. Функции Матье, гиперболические и тригонометрические функции (803). 6.93. Функпци Матье и цилиндри­ческие  функции (807).

7.1—7.2.   Шаровые фупкцип      ................................................................................       808

7.11. Шаровые функции (808). 7.12—7.13. Шаровые функции и степен­ная фупкция (809). 7.14. Шаровые, степенная а показательная функ­ции (817). 7.15. Шаровые и гиперболические фуни) и i (820). 7.16. Шаровые, стецепная и тригонометрические функции (820). 7.17. Шаровые функции и интеграл вероятности (824). 7.18. Шаровые и цилиндрические функции (824). 7.19. Шаровые функция и функции, родственные цилиндрическим (831). 7.21. Интегрирование шаровых фуикций по индексу (833). 7.22. Полино­мы Легкандра, рациопальные и алгебраические функции (834). 7.23. По­линомы Лежандра и степенная функция (836). 7.24. Полиномы Лежандра и Другие элементарные функции (837). 7.25. Полиномы Лежандра д цилин­дрические  функции (839).

7.3—7.4.  Ортогональные многочлены     ...................................................................       840

7.31- Многочлены Гегенбауэра С^(ж) и степенная функция (840). 7.32. Многочлены С^(х) и другие элементарные функции (844). 7.33. Много­члены С^(х) и цилиндрические функции Интегрирование по индексу функций Гегенбауэра (845). 7.34. Многочлены Чебышёва и степенная функ­ция (847) 7.35. Многочлены Чебышёва и другие элементарные функ­ции (849). 7.36. Многочлены Чебышёва и цилиндрические функции (850). 7.37—7.38. Полиномы Эрмита (850). 7.39. Полиномы Нкоби (855). ' 7.41—7.42.   Полиномы Лагерра (857).

7.5. Гипергеометрическпе функции       ......................................................................       862

7.51. Гинергеометрическке и степенная функции (862). 7.52. Гипергео­метрические и показательная функции (884). 7.53. Гипергеометрические и тригонометрические функции (867). 7.54. Гипергеометрпческие и цилинд­рические   функции   (8!)7).

7.6. Вырожденные гипергеометрические функции.....................................................        871

7.61. Вырожденные гипергеометрические функции и стецепная функ­ция (871). 7.62—7.63. Вырожденные гипергеометрические функции и ио-каяательная функция (873). 7.64. Вырожденные гипергеометрические функ­ции и тригонометрические функции (883). 7.65. Пырожденные гипергеоме­трическпе функции и цилипдрическис функции (884). 7.66. Вырожденные ги­пергеометрпческие, цилиндрические и степенная функции (885). 7.67. Вырож­денные   гипергеометрические    функции,   цилиндрические,    показательная

и ететнная функции (890). 7.68. Вырожденные гипергеометрические функции и другие специальные функции (895). 7.69. Интегрирование вырожденных  гипергеометрических   функций   по   индексам   (898).

7.7. Функции  параболического цилипдра   .       ........................................................       899

7.71. Функции иараболического цилиндра (899). 7.72. Функции па­раболического ииливдра, степенная и показательная функции (899). 7.73. Функции параболического цилиндра и гиперболические функ­ции (901). 7.74. Функции параболического цилиндра и тригонометрические функции (902). 7.75. Функции параболического цилиндра и цилиндрические функции (903). 7,76. Функции параболического цилиндра и вырожденные гипергеометрические функции (908) 7.77. Интегрирование функции параболического   цилицдра   по   индексу  (909).

7.8, Функции Мен ери и Мок Роберта (G и Е).............................................................       910

7.81. Функции G, В. и элементарные функции (910). 7.82. Функции G, Е и цилиндрические функции (914). 7.83. Функции G, Е и другие специаль­ные   функции   (917).

 

 

8—9. СПЕЦИАЛЬНЫЕ   ФУНКЦИИ

8.1. Эллиптические интегралы а функции...................................................................       918

8.11. Эллиптические ишегралы (918). 8.12. Функциональные соотно­шения между эллиптическими интегралами (921). 8.13. Эллиптические функ­ции (92.3) 8.14. Эллиптические функции Якоби (924). 8.15. Свойста шлш-тических функций Якоби и функциональные соотношения между ними (928). 8.16. Функция Вейерштрасеа £> (в) (931). 8.17. Функции £(и) и о(в) (934). 8.18—8.19    Тчта-функнии  (935).

8.2. Ивтегральная i   картельная функция и родственные ей функции   ......       939

8.21 Ин1е1р<и!»я<»я показательная функция Ei x (939). 8.22. Интеграль­ный гиперболический синус shi х и интегральный гиперболический коси­нус chi х (942). 8.23. Интегральный синус и интегральный косинус: si (%) и ci (х) (942) 8.24. Интегральный логарифм Ь (х) (943). 8.25. Интеграл вероят­ности и интегралы Френеля: Ф(ж), S(x) и С(х) (944). 8.26. Функция Лоба­чевского Цх) (947)

8.3. Эйлеровы hhtci ралы 1 -го и 2-го рода и родственные им функции....................       947

8.31. Гамма-функция (эйлеров интеграл 2-го рода)^- Г(г) (947). 8.32. Пред­ставление гамма-функций в виде рядов и произведений (949). 8.33. Функ­циональные соотношения для гамма-функций (951) 8.34. Логарифм гам­ма функции (453) 8.35. Неполная гамма-функция (954). 8.36. Пси-фушщия ф(ж) (957). 8.37. Функция Р(аг) (961). 8.38. Бэта-фупкция (эйлеров ин­теграл 1-го рода): В(г, у) (962). 8.39. Неполная бэта-функция В_х{р, ?) (964).

8.4—8.5. Цилиндрические функции и функции, связанные с ними.............................       965

8.40. Определения (965). 8.41. Интегральные представления функций /_v(z) и /V_v(z) (966). 8.42. Интегральные представлении функций Hy'{z) и H™(z) (964) 8.43. Интегральные представления функций /„(г) и K_v(z) (972). 8.44. Представление в виде ряда (973) 8.45. Асимптотические разложения цилиндрических функций (975). 8.46. Цилиндрические функции, индек< кото­рых равен целому числу плюс одна вторая (979). 8.47—8.48. Функциональные соотношения (981). 8.49. Дифференциальные уравнения, приводящие к цилиндрическим функциям (985). 8.51—8.52. Ряды бесселевых функ­ций (987). 8.53. Разложение по произведениям цилиндрических функций (993). 8.54. Корни цилиндрических функций (994). 8.55. Функции Струпе (996). 8.56. Фупкции Томсона и их обобщения: ber_v (г), bei_v (z), her_v(z), hei_v (г), ker (z), kei (г) (997). 8.57. Функции Ломмеля (999). 8.58. Функции Ан-repa и Вебера J_v (z) и E_v (z) (1002). 8.59. Полиномы Неймана О_п (z) и Шлеф-ли£„(з)(1003).

8.6.     функции    Матье...............................................................................................      1005

8.60. Уравнение Матье (1005). 8.61. Периодические функции Матье (1005). 8.62. Рекуррентные соотношения для коэффициентов А^^п\ A^<^^ⁱ\ ^B<i™H^i]' S^c₂²_r^^2>(1006). 8.63. функции Матье с чисто мнимым аргументом (1006). 8.64.  Непериодические  решения уравнепия  Матье  (1007).   8.65.   Функции