Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. Зельдович Я.Б.

6-е изд., испр. и доп. - М.: 2010. — 520 с.

Книга «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», написанная физиком-теоретиком академиком Я. Б. Зельдовичем, рассчитана на школьников старших классов, учащихся техникумов и лиц, занимающихся самообразованием, она может быть полезна и студентам 1-го курса вузов. В книге в наиболее простой, наглядной и доступной форме объясняются основные понятия дифференциального и интегрального исчисления. Далее даются сведения, необходимые для практического применения высшей математики к задачам физики и техники. На основе высшей математики рассмотрено большое число физических вопросов, в частности: радиоактивный распад, ядерная цепная реакция, законы механики, реактивное движение и космическая скорость, молекулярное движение, электрические явления, теория колебаний, основы радиотехники. Наряду с математическим исследованием очень подробно изложена физическая сущность рассматриваемых явлений. Была допущена Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для физико-математических средних школ и проведения факультативных занятий.

Формат: pdf

Размер: 4,8 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к пятому изданию 8
Глава I. Понятие производной и интеграла 11
§ 1. Движение, путь и скорость 11
§ 2. Производная функции — предел отношения приращений 15
§ 3. Обозначения производной. Производная степенной функции 17
§ 4. Приближенное вычисление функции с помощью производной 23
§ 5. Касательная к кривой 25
§ 6. Рост и убывание, максимум и минимум функций 31
§ 7. Определение пути по скорости движения и площадь под кривой 36
§ 8. Определенный интеграл 42
§ 9. Связь между интегралом и производной (теорема Ньютона-Лейбница) 48
§ 10. Интеграл от производной 51
§ 11. Неопределенный интеграл 52
§ 12. Свойства интегралов 60
§ 13. Средние значения 65
§ 14. Различные примеры производных и интегралов 70
Заключение 77
Глава II. Вычисление производных и интегралов 78
§ 1. Знак дифференциала. Производная суммы функций 78
§ 2. Производная обратной функции 80
§ 3. Сложная функция 82
§ 4. Производная произведения функций 85
§ 5. Степенная функция 88
§ 6. Производные алгебраических функций с постоянными показателями 91
§ 7. Показательная функция 92
§ 8. Число е 95
§ 9. Логарифмы 98
§ 10. Тригонометрические функции 101
§ 11. Обратные тригонометрические функции 106
§ 12. Производная функции, заданной неявно 109
§ 13. Интеграл. Постановка задачи 112
§ 14. Простейшие интегралы 113
§ 15. Общие свойства интегралов 115
§ 16. Замена переменной в определенном интеграле 121
§ 17. Ряды 126
§ 18. Вычисление значений функций при помощи рядов 134
§ 19. Условие применимости рядов. Геометрическая прогрессия 138
§ 20. Бином Ньютона для целых и дробных показателей. 144
§ 21. Порядок возрастания и убывания функций 147
Приложение к главе II 152
Глава III. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии 159
§ 1. Исследование максимумов и минимумов функций при помощи второй производной 159
§ 2. Другие виды максимумов и минимумов. Изломы и разрывы 167
§ 3. Вычисление площадей 175
§ 4. Средние значения 180
§ 5. Длина дуги кривой и кривизна 182
§ 6. Приближенное вычисление длины дуги 185
§ 7. Вычисление объемов. Объем и поверхность тела вращения 191
§ 8. Как надо строить кривые 194
Глава IV. Функции и графики 198
§ 1. Функциональная зависимость 198
§ 2. Координаты 201
§ 3. Геометрические величины, выраженные через координаты 204
§ 4. Графическое изображение функций. Уравнение прямой 208
§ 5. Парабола 213
§ 6. Кубическая парабола, гипербола, круг 219
§ 7. Изменение масштабов кривой 223
§ 8. Параметрическое задание кривой 230
Глава V. Вытекание воды. Радиоактивный распад и деление ядер. Поглощение света 233
§ 1. Вытекание воды из сосуда. Постановка задачи 233
§ 2. Решение уравнения в случае, когда производная зависит от искомой функции 237
§ 3. Радиоактивный распад 239
§ 4. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов 243
§ 5. Последовательный распад (радиоактивное семейство) 252
§ 6. Исследование решения для радиоактивного семейства 255
§ 7. Цепная реакция деления урана 260
§ 8. Размножение нейтронов в большой массе 262
§ 9. Вылет нейтронов 265
§ 10. Критическая масса 267
§ 11. Подкритическая и надкритическая масса при непрерывном источнике нейтронов 270
§ 12. Значение критической массы 273
§ 13. Поглощение света. Постановка задачи и грубая оценка 274
§ 14. Уравнение поглощения и его решение 276
§ 15. Соотношение между точным и грубым расчетами 277
§ 16. Эффективное сечение 279
§ 17. Ослабление потока заряженных частиц а- и р-лучей. . 281
Глава VI. Механика 284
§ 1. Сила, работа, мощность 284
§ 2. Энергия 292
§ 3. Равновесие и устойчивость 299
§ 4. Второй закон Ньютона 306
§ 5. Импульс силы 308
§ 6. Кинетическая энергия 313
§ 7. Движение под действием силы, зависящей только от скорости 318
§ 8. Движение под действием упругой силы 325
§ 9. Колебания 331
§ 10. Энергия колебаний. Затухающие колебания 337
§ 11. Вынужденные колебания и резонанс 342
§ 12. О точных и приближенных решениях физических задач 345
§ 13. Реактивное движение и формула К. Э. Циолковского 352
§ 14. Траектория снаряда 362
§ 15. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня 366
§ 16. Колебания подвешенного стержня 374
Глава VII. Тепловое движение молекул и распределение плотности воздуха в атмосфере 377
§ 1. Условие равновесия в атмосфере 377
§ 2. Связь между плотностью и давлением 379
§ 3. Распределение плотности 381
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности 384
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии 388
§ 6. Скорости химических реакций 391
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода 393
Глава VIII. Электрические цепи и колебательные явления в них 397
§ 1. Основные понятия и единицы измерения 397
§ 2. Разряд емкости через сопротивление 406
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком 410
§ 4. Энергия конденсатора 413
§ 5. Цепь с индуктивностью 419
§ 6. Размыкание цепи с индуктивностью 422
§ 7. Энергия индуктивности 426
§ 8. Колебательный контур 431
§ 9. Затухающие колебания 436
§ 10. Случай большого сопротивления 440
§ 11. Переменный ток 442
§ 12. Средние величины, мощность и сдвиг фазы 447
§ 13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений 449
§ 14. Параллельное включение^ индуктивности и емкости. Резонанс токов 453
§ 15. Ток смещения и электромагнитная теория света 456
§ 16. Нелинейное сопротивление и туннельный диод 457
Добавление. Замечательная дельта-функция Дирака 462
§ 1. Различные способы определения функции 462
§ 2. Дирак и его функция 463
§ 3. Разрывные функции и их производные 466
§ 4. Представление дельта-функции формулами 469
§ 5. Применения дельта-функции 474
Заключение. Что дальше? 480
Ответы и решения 486
Послесловие 517
Приложение. Латинский алфавит. Греческий алфавит 519

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Уже в заглавии книги выражена задача — дать читателю первое представление о дифференциальном и интегральном исчислении и, применяя эти методы к важнейшим разделам физики, показать значение и силу высшей математики.
Понятия производной и интеграла не намного сложнее таких понятий, как «неизвестная величина» или «подобие треугольников», которые незыблемо входят в школьную программу. Давно пора сделать понятие производной и интеграла достоянием вся¬кого культурного человека, чем бы он ни занимался.
Новые понятия вводятся в первой главе максимально просто и естественно. Дальше следует глава, посвященная технике вычислений в высшей математике. В третьей главе и в главах с пятой по восьмую идут применения к геометрии, к процессам ядерных превращений, механике, молекулярной физике, электричеству. Читателю, давно кончившему школу, будет полезна глава 4 о функциях и графиках. Добавление, напротив, выходит за рамки элементарного курса. Наконец, в Заключении очень схематично охарактеризованы более сложные задачи математической физики.
За годы, прошедшие после первого издания (1960 г.), отшумели дискуссии, в которых автора обвиняли в математической нестрогости и чуть ли не в развращении молодежи приблизительным, легкомысленным.
В сущности сталкивались два различных подхода к обучению.
Во многих учебниках изложение ведется в форме, напоминающей диспут двух ученых. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и неопровержимо доказывает правильность своих положений.
В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приемы, которые ему предлагают. Понимание приходит в результате анализа примеров и применений. В строго логическом подходе
вопрос о значении и пользе изучаемых теорем остается в тени. В предлагаемой книге на переднем плане показаны именно математические идеи и связь их с изучением природы.
Может быть, недостаточное внимание к строгим доказательствам есть проявление потребительского подхода к математике со стороны автора-физика? Мне кажется, что это не так; продвижение математики вперед совершается также с помощью интуиции, в терминах общих идей, попросту говоря — с помощью вдохновения, а не холодного расчета. Только потом работа облачается в броню формул и цепь строгих доказательств; в учебниках часто оказываются запрятанными, затушеванными идеи, вдохновлявшие творцов. Восьмидесятилетний патриарх современной математики Рихард Курант писал в 1964 году, что очень долго математики принимали геометрию Евклида за образец строгого аксиоматического подхода, строгой логической дедукции (вывода). Но вот что пишет дальше Курант: «Упор на этот аксиоматический, логический] аспект полностью дезориентирует того, кто предположит, что созидание, воображение, сопоставление и интуиция играют только вспомогательную роль в математическом творчестве и в настоящем понимании. В математическом образовании действительно дедуктивный способ, начинающий с догматических аксиом, позволяет быстрее обозреть большую территорию. Но конструктивный способ, идущий от частного к общему и избегающий догматического принуждения, надежнее ведет к самостоятельному творческому мышлению». Итак, воображение и интуицию Курант ставит на первое место! Пресловутое противопоставление лириков и физиков (а заодно и математиков) придумано поэтом Б. Слуцким, т.е. «лириком». В математике, как и в других естественных науках, больше поэзии, чем думают профессионалы-лирики. История науки показывает, что хорошая математика имеет пророческий дар: математический анализ известного открывает путь дальше, в новые неизвестные области, ведет к созданию новых физических понятий. В «Высшей математике для начинающих» я стремился к конструктивному подходу, к выявлению смысла и цели математических понятий, стремился хотя бы отчасти передать дух того героического периода, когда эти понятия рождались.

О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."