Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями.  Егоров А.И.

                                                    ОГЛАВЛЕНИЕ

   Предисловие...................................................................................................................................    3

  Глава 1. Дифференциальные уравнения и их классификация.............................................    5

1. Основные понятия и определения......................................................................................     5

1.1. Дифференциальные уравнения и их классификация (5). 1.2. Системы диф­ференциальных уравнений (9). 1.3. Уравнения с частными производными (12).

2. Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям...............................     14

2.1. Радиоактивный   распад   (14).    2.2.   Движение   материальной точки   (15). 2.3. Процесс теплопереноса (16).

  Глава 2. Методы решения уравнений первого порядка......................................................    19

1. Предварительный анализ уравнений. Поле направлений и изоклины..............................    19

1.1. Уравнения первого порядка. Общая характеристика (19). 1.2. Геометриче­ский смысл уравнения (21).

2. Элементарные методы интегрирования..........................................................................      22

2.1.   Метод   разделения   переменных   (23).   2.2.   Однородные   уравнения   (24).

2.3. Уравнения, приводящиеся к однородным (25). 2.4. Линейные уравнения (27).
2.5. Уравнения, приводящиеся к линейным (30).

3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель............................      31

3.1. Уравнения в полных дифференциалах (31). 3.2. Интегрирующий множи­тель (34).

4. Нелинейные  дифференциальные  уравнения  первого порядка и методы

их решения.....................................................................................................................      37

4.1 Общие замечания о нелинейных уравнениях (37). 4.2. Уравнения, не содер­жащие одной из переменных 39. 4.3. Общий метод введения параметра (41).

4.4. Уравнения Лагранжа (42). 4.5. Уравнения Клеро (44).

5.  Два способа построения особого решения....................................................................      45

6.  Уравнение Риккати...........................................................................................................    49

6.1. Общие свойства решений (49). 6.2. Примеры интегрируемых уравнений Рик­кати (52). 6.3. Один замечательный пример уравнения Риккати (53).

7. Свойства решений уравнений Риккати...........................................................................      56

 Глава 3. Основы теории уравнений высших порядков.....................................................      65

1.  Уравнения высших порядков. Основные определения....................................................     65

2.  Уравнения, решаемые в квадратурах..............................................................................      68

2.1. Уравнение у^ = f(x) (68). 2.2. Уравнение у^ = Ду^(п_1)) (71). 2.3. Урав­нение F(y(ⁿ\y(ⁿ-^) = 0 (71).

3. Решение линейных однородных уравнений высших порядков........................................    72

3.1. Общие свойства однородных уравнений (72). 3.2. Решение линейных одно­родных уравнений с постоянными коэффициентами (77).

4. Решение линейных неоднородных уравнений................................................................      81

4.1. Структура общего решения (81). 4.2. Построение частного решения (82). 4.3. Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (84). 4.4. Уравне­ния, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами (88).

5. Уравнения второго порядка. Функция Грина................................................................       90

5.1. Стандартная форма уравнения (90). 5.2. Краевая задача и функция Гри­на (92). 5.3. Краевая задача для неоднородного уравнения (94). 5.4. Проблема собственных значений и интегральные уравнения (97).

6. Аналитические решения уравнения второго порядка.....................................................     99

6.1. Уравнения с колеблющимися решениями (99). 6.2. Интегрирование уравне­ния с помощью степенных рядов (101).

7. Промежуточный интеграл.   Уравнения, допускающие понижение порядка ..................   104

7.1. Промежуточный интеграл (104). 7.2. Уравнения, допускающие понижение порядка (104).

Глава 4. Системы дифференциальных уравнений...........................................................    109

1. Системы линейных уравнений........................................................................................    109

1.1. Основные понятия и определения (109). 1.2. Системы линейных однородных уравнений (112).

2. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.................. 116

2.1. Алгебраический способ решения (117). 2.2. Применение функций от мат­риц (121).

3.   Системы линейных неоднородных уравнений................................................................ 128

4.   Теорема существования и единственности решения...................................................... 131

4.1. Теорема Коши (131). 4.2. Основные следствия (135).

5.   Зависимость решения от параметров.............................................................................    137

6.   Нелинейные системы уравнений первого порядка.........................................................    141

6.1. Основные свойства системы в нормальной форме (142). 6.2. Фазовое про­странство и фазовые траектории (146). 6.3. Интегралы системы дифференци­альных уравнений (148). 6.4. Понижение порядка системы с помощью первых интегралов (149). 6.5. Симметричная форма системы уравнений (150). 6.6. Точ­ки покоя системы второго порядка. Классификация особых точек (152).

7. Уравнения Риккати и линейные системы второго порядка.............................................   158

7.1 Уравнения Риккати и линейные системы (158). 7.2. Системы уравнений Рик­кати (159).

Глава 5. Матричные дифференциальные уравнения......................................................   163

1. Матричные многочленные уравнения............................................................................. 163

1.1. Уравнение АХ — ХВ = в (163). 1.2. Перестановочные матрицы (168). 1.3. Решение линейного неоднородного уравнения (170). 1.4. Скалярное урав­нение (171). 1.5. Полиномиальное уравнение (172).

2. Квадратный корень из матрицы.......................................................................................   173

2.1. Уравнение с жордановой матрицей (174). 2.2. Уравнение с особенной матрицей (178).

3. Линейное дифференциальное уравнение......................................................................... 184

3.1.    Однородное   уравнение    (184).        3.2.   Неоднородное   уравнение    (187).

3.3. Частное решение неоднородного уравнения. Формула Коши (188). 3.4. Урав­нение Бернулли (190).

4. Матричное дифференциальное уравнение Риккати........................................................ 191

4.1 Простейшие свойства решений (191). 4.2. Уравнение с постоянными коэф­фициентами (194). 4.3. Существование решения (197).

5. Уравнение Риккати в методе прогонки...........................................................................   200

5.1.  Краевая   задача   для   скалярного   дифференциального   уравнения   (200).

5.2. Краевая задача для векторного дифференциального уравнения (203).

6. Уравнение Риккати в теории управления........................................................................ 206

6.1. Задача об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальной стабилизации (206). 6.2. Оптимальный фильтр Каллмана-Бьюси (211).

Глава 6.   Периодические   решения нелинейных систем дифференциальных уравнений...217

1. Периодические решения автономных нелинейных систем.............................................    217

1.1. Периодические решения квазилинейных автономных систем (218). 1.2. Ме­тод А.Н. Крылова (222).

2.  Метод гармонической линеаризации..............................................................................   225

3.  Вынужденные колебания нелинейных систем.................................................................. 229

3.1. Метод Пуанкаре (229). 3.2. Особый случай (232).

Глава 7. Уравнения с разрывной правой частью...............................................................   237

1.  Вводные замечания. Примеры.........................................................................................   237

2.  Уравнения с правой частью, разрывной по t..................................................................    242

2.1. Уравнения Каратеодори (242). 2.2. Свойства решений (244). 2.3. Линейные уравнения (248).

3. Уравнения с обобщенными функциями..........................................................................   249

3.1. Обобщенные функции входят в виде слагаемых (249). 3.2. Линейные урав­нения п-го порядка (252). 3.3. Линейные уравнения с переменными коэффици­ентами (254). 3.4. Системы уравнений с обобщенными функциями (255).

4. Выпуклые множества и выпуклые функции..................................................................... 256

4.1. Гиперповерхности (256). 4.2. Выпуклые множества (258). 4.3. Многозначные функции (260).

5.  Уравнения с разрывной правой частью........................................................................... 262

6.  Дифференциальные включения. Скользящие режимы.....................................................   268

6.1. Основные теоремы о дифференциальных включениях (268).

Глава 8. Основы теории устойчивости.................................................................................   271

1.   Устойчивость по Ляпунову. Основные определения.....................................................    271

2.   Устойчивость линейных систем....................................................................................... 275

 

2.1.  Общие теоремы об устойчивости линейных нестационарных систем (275).

2.2.  Устойчивость линейных стационарных систем (277). 2.3. Устойчивость ли­нейных нестационарных систем (280).

3. Устойчивость специальных линейных систем................................................................ 285

3.1. Линейные системы с периодическими коэффициентами (285). 3.2. Линейные системы с почти постоянной матрицей (289).

4. Критерии устойчивости.................................................................................................... 292

4.1. Критерий Гурвица. Область устойчивости (293). 4.2. Критерий Михайлова        295.

5. Устойчивость нелинейных систем ................................................................................... 298

5.1. Функции Ляпунова (298). 5.2. Теоремы Ляпунова (300). 5.3. Обобщения тео­рем Ляпунова (305).

6. Устойчивость по первому приближению........................................................................   310

6.1. Теоремы Ляпунова (311).

Глава 9. Уравнения с частными производными первого порядка   317

1.  Основные задачи интегрирования уравнений с частными производными .   317

2.  Линейные однородные уравнения первого порядка........................................................   320

2.1. Общее решение (320). 2.2. Задача Коши (323).