Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. Болтянский В.Г., Савин А.П.
М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с. Книга вводит читателей в круг идей современной математики. В популярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории графов, теории вероятностей и других вопросах. Издание будет интересно учителям математики. специальная глава посвящена вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач. В то же время эта книга может служить основой курса математики для студентов гуманитарных специальностей, такой курс был прочитан авторами для психологов.
Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и
гимназий могут использовать издание в качестве учебного пособия. Формат: pdf / zip Размер: 4,62 Мб
Скачать / Download файл
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика в системе наук
занимает особое место. Ее методами пользуются все существующие
науки. «Во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней
математики» — в справедливости этого высказывания теперь никто уже
не сомневается.
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 6 Беседа 1. Предмет математики ......................................................................... 6 1. Мнения о пользе математики ........................................................................... 6 2. Понятия математики и их возникновение ........................................................... 8 3. Некоторые виды абстракции ............................................................................... 9 4. Многоступенчатые абстракции ........................................................................ 11 5. Пространственные и пространственноподобные формы ................................. 13 6. Количественные отношения реального мира .................................................... 16 Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ................................................... 20 Беседа 2. Конечные и бесконечные множества ............................................. 20 7. Множество и его элементы ............................................................................... 20 8. Взаимно однозначное соответствие .................................................................. 25 9. Счетные множества ........................................................................................ 28 10. Понятие мощности множества ........................................................................ 32 Беседа 3. Операции над множествами ............................................................. 38 11. Пересечение множеств .................................................................................... 38 12. Объединение множеств .................................................................................... 45 13. Дополнение множеств ..................................................................................... 51 14. Произведение множеств ................................................................................... 56 Беседа 4. Отображения ...................................................................................... 60 15. Общее понятие отображения и школьная математика .................................... 60 16. Некоторые виды отображений ......................................................................... 65 17. Обратное отображение .................................................................................... 69 18. Композиция отображений ............................................................................... 73 19. Классификация ............................................................................................. 80 Беседа 5. Упорядоченные множества .............................................................. 88 20. Понятие упорядоченного множества .............................................................. 88 21. Минимальные элементы и математическая индукция ..................................... 91 22. Трансфинитные числа и аксиома выбора ........................................................ 98 Глава II. КОМБИНАТОРИКА ........................................................................ 104 Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи ............................ 104 23. Размещения с повторениями ......................................................................... 104 24. Системы счисления ........................................................................................ 107 25. Размещения без повторений .......................................................................... 110 26. Сочетания без повторений ............................................................................ 113 27. Сочетания с повторениями ............................................................................ 116 28. Бином Ньютона ........................................................................................... 118 29. Производящие функции ................................................................................. 122 30. Принцип Дирихле .......................................................................................... 126 Беседа 7. События и вероятности .................................................................. 130 31. События ..................................................................................................... 130 32. Классическое понятие вероятности ............................................................... 134 33. Свойства вероятности .................................................................................... 140 34. Условная вероятность .................................................................................... 144 35. Независимые события и серии испытаний .................................................... 149 Беседа 8. Случайные величины ..................................................................... 156 36. Математическое ожидание и дисперсия ........................................................ 156 37. Нормальное распределение ........................................................................... 162 38. Закон больших чисел ................................................................................... 167 Беседа 9. Информация ..................................................................................... 170 39. Чет — нечет ............................................................................................... 170 40. Количество двоичных цифр ........................................................................... 172 41. Задачи на взвешивание ................................................................................... 176 42. Понятие об энтропии .................................................................................... 179 Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах ................................................. 185 43. Графы и их элементы ..................................................................................... 185 44. Цепи и циклы в графах .................................................................................. 188 45. Плоские графы ........................................................................................... 194 46. Формула Декарта—Эйлера ............................................................................ 197 47. Правильные многогранники и паркеты ......................................................... 201 48. Проблема четырех красок ............................................................................. 208 49. Ориентированные графы ............................................................................... 210 50. Конечные позиционные игры ........................................................................ 214 51. Понятие о сетевом планировании ................................................................. 218 ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ ........................................................................... 221 Беседа 11. Теоремы .......................................................................................... 221 52. Существование и общность ........................................................................... 221 53. Структура теоремы ........................................................................................ 226 54. Отрицание ................................................................................................. 232 55. Необходимое и достаточное условие ............................................................ 237 56. Конъюнкция и дизъюнкция ............................................................................ 242 Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе ........................................ 248 57. Возникновение аксиоматического метода в математике ............................... 248 58. Метрические пространства ........................................................................... 252 59. Коммутативные группы .............................................................................. 256 Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота ......................... 262 60. Непротиворечивость и понятие модели ........................................................ 262 61. Математические примеры моделей ............................................................... 264 62. Построение аксиоматики геометрии ............................................................. 267 63. Геометрия Лобачевского ............................................................................... 270 64. Модель геометрии Лобачевского .................................................................. 274 65. Изоморфизм моделей ................................................................................... 276 66. Полнота аксиоматики .................................................................................. 279 Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ ........................................................................ 282 Беседа 14. Инсайт ............................................................................................. 282 67. Цикл озарения ............................................................................................. 282 68. Сфера достижимости ..................................................................................... 286 69. Анализ и синтез ........................................................................................... 291 70. Обратимый анализ ....................................................................................... 295 71. Анализ — поиск решения .............................................................................. 297 72. Поиск решения нестандартных задач ............................................................ 299 73. Соединение анализа с синтезом ..................................................................... 302 Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция ............................................. 306 74. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота .................................. 306 75. Наглядность и математическая эстетика ....................................................... 315 76. Аналогия — общность аксиоматики ............................................................. 320 77. Прогнозирование ..................................................................................... 326 78. Несколько слов о математической интуиции ................................................ 332 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ........................................................... 335 О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
|
||
|
|
||
|
||
