Математический гербарий абитуриента. Алгебра во всем ее блеске и многообразии. Пантаев М.Ю.

М.: 2017 - 784 с.

В настоящей книге показана в действии одна из подобных «последовательностей», которая, по мнению автора, вполне достаточна для успешной подготовки по алгебре в любой вуз. Пособие представляет собой сборник задач с немедленными решениями, предназначенный для повторения той части школьного курса алгебры, которая востребована на выпускных и вступительных экзаменах. Эта книга — путеводитель по задачам разной степени трудности: тут есть и абсолютно стандартные задачи «базового» уровня, и более сложные «профильного» уровня, и задачи «с изюминкой», которые должен знать каждый абитуриент, не желающий относиться к тому, чем занимается, формально-прагматически. Книга обращена прежде всего к таким ученикам старших классов, которые честно изучали математику в школе, но кое-какие подробности за давностью лет подзабыли. Каждый, кто готовится к экзаменам, верит, что существуют могущественные приемы, ищет сильные методы и принимает за таковые всё незнаемое прежде. Автор постарался не обмануть эти благородные ожидания, поделившись с читателями всеми тонкостями, которые узнал от своих учителей, коллег и учеников.

Формат: pdf

Размер: 17,7 Мб

Скачать: drive.google

Содержание
Предисловие 6
Глава 1. Воспоминания детства, или Числа и алгебраические преобразования 11
§ 1. Поговорим о целых числах 11
§ 2. Преобразования алгебраических выражений 31
§ 3. Числа рациональные и иррациональные. Действия с иррациональностями 57
Глава 2. Алгебра во всем ее блеске и великолепии 94
§ 4. Алгебраические уравнения 94
§ 5. Иррациональные уравнения 161
§ 6. Системы уравнений 202
§ 7. Неравенства 243
§ 8. Уравнения, неравенства и системы с модулем 276
Глава 3. Тригонометрия, или Неравный брак 316
§ 9. Проверь себя, или 60 разминочных вопросов 318
§ 10. Тригонометрические преобразования 332
§ 11. Обратные тригонометрические функции 364
§ 12. Тригонометрические уравнения 385
§ 13. Две дюжины уравнений с обратными тригонометрическими функциями 448
§ 14. Тригонометрические неравенства 474
§ 15. Системы тригонометрических уравнений 509
Глава 4. Логарифмы и несть им конца 546
§ 16. Преобразования и вычисления 546
§ 17. Уравнения и их системы 567
§ 18. Неравенства 613
Глава 5. Тематическая смесь, или Ресторан господина Септима 658
§ 19. Только параметры, или Привет от Тристрама Шенди 658
§ 20. Хитрые задачи, или Голь на выдумки быстра 659
§ 21. Трудные задачи, или Без паники, майор Кардош! 677
§ 22. Наш Декамерон, или Десять дней на повторение 715
§ 23. Appendix, или 33 задачи без изюминки 744
§ 24. Теоремы, или Долги наши 747
Приложение 1. Поступальник для абитуриентов (по Д. Самойлову и не только) 770
Приложение 2. Слово о человеке 773
Послесловие 775
Список использованной литературы 778

Числа и алгебраические преобразования
Отправная точка вымысла и размышления всегда произвольна. Что было в начале, никто не знает. Сказка? Слово?.. Или даже буква?.. И какого языка?.. А может быть, в начале было число?..
Конечно, это было давно и благополучно позабыто взрослыми людьми, готовящимися к поступлению в вуз, но... «Всё есть число», — утверждали греки, и от этого никуда не деться,
Потому что все опенки смысла Умное число передает, —
по словам поэта Н. Гумилева.
§ 1* Поговорим о целых числах
Начинать с чисел, наверное, естественно. Еще Сократ определял математику как науку о числах и фигурах. Алгебра начинается с чисел. И первый класс чисел — натуральные, которые даны нам свыше. А всё прочее люди создали сами. Но что они создали? Да ничего, кроме комбинации натуральных чисел. Разве десятичная дробь — это не набор всё тех же натуральных чисел? Пусть и взятых в бесконечном количестве?
Натуральные числа появились в процессе счета, и, считая, мы видим, сколько раз одно число повторяется в другом: делится ли одно число на другое и каково частное.
Задачи на делимость учат математике. Поскольку ответом здесь всегда являются целые числа, его во многих случаях можно (хотя бы частично) угадать-подобрать перебором; и крайне важно доказать, что перебор окончен, что других вариантов нет. Доказательство — мозг математики — присутствует здесь в самом буквальном виде.
Важно знать, что если два целых числа тип связаны равенством т = = nq + г, где 0 ^ г < \п\ (все числа целые), то это равенство выражает факт деления с остатком первого числа на второе. Соответственно числа q и г — это частное (или неполное частное) и остаток. Если остаток равен 0, то говорят, что число т делится на п (и иногда используют обозначение т\п). Если мы имеем в виду натуральные т и п, то можно писать просто 0 ^ г < п (без модуля).