ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Задачи на целые числа. Типовое задание 19.

2-е изд., перераб. - М.: 2018. - 304 с.

Пособие посвящено одному из самых трудных заданий ЕГЭ по математике — заданию 19 профильного уровня. В нём содержатся: • основные способы решения подобных задач и методические рекомендации по их выполнению; • 300 задач для самостоятельного решения; • методы решения и образцы выполнения; • ответы ко всем задачам. Книга адресована выпускникам, сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня, учителям и методистам.

Формат: pdf

Размер: 5,5 Мб

Смотреть, скачать: 4.06.2019г, ссылки удалены по требованию изд-ва "Легион" (см. примечание)

Оглавление
Введение 6
§ 1. Делимость целых чисел 8
1.1. Деление без остатка 8
1. Свойства делимости целых чисел 8
2. Простые и составные числа 9
3. Каноническое разложение натурального числа на множители 16
4. НОД и НОК 18
5. Количество делителей натурального числа 23
6. Сумма делителей натурального числа 27
7. Факториал натурального числа 29
1.2. Деление с остатком 32
1. Алгоритм Евклида 34
2. Классы чисел {2/с}, {2к + 1}: чётные и нечётные числа 37
3. Классы чисел {ЗА;}, {ЗА: + 1}, {ЗА: + 2} 40
4. Другие классы чисел 42
§ 2. Десятичная запись натурального числа 45
1. Признаки делимости натуральных чисел 47
2. Восстановление цифр 51
3. Зачёркивание цифр 52
4. Приписывание цифр 53
5. Перестановки цифр 56
6. Обращенные числа 58
7. Последние цифры 59
§ 3. Сравнения 59
1. Задачи на деление чисел без остатка 60
2. Задачи на деление чисел с остатком 61
3. Вывод признаков делимости 62
4. Общий признак делимости чисел 63
5. Малая теорема Ферма 66
§ 4. Выражения с числами 67
1. Дроби 67
2. Степень числа 70
§ 5. Выражения с переменными 75
1. Целые рациональные выражения 75
2. Дробно-рациональные выражения 76
3. Иррациональные выражения 77
4. Показательные выражения 78
5. Тригонометрические выражения 78
6. Выражения с факториалами 79
§ 6. Уравнения и неравенства в целых числах 79
6.1. Линейные уравнения 79
1. Метод прямого перебора 79
2. Использование неравенств 80
3. Использование отношения делимости 80
4. Выделение целой части 80
5. Метод остатков 82
6. Метод спуска 82
7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю 83
8. Использование формул 83
9. Использование конечных цепных дробей 85
6.2. Нелинейные уравнения 87
1. Метод разложения на множители 87
2. Разложение квадратного трёхчлена на множители 88
3. Использование параметра 89
4. Метод решения относительно одной переменной 89
5. Метод оценки 91
6. Метод остатков 93
7. Метод спуска 94
8. Метод доказательства от противного 95
9. Параметризация уравнения 96
10. Функционально-графический метод 96
6.3. Неравенства 97
1. Метод математической индукции 97
2. Использование области определения 98
3. Использование монотонности 99
4. Использование ограниченности 99
5. Метод интервалов 100
6. Функционально-графический метод 100
6.4. Уравнения и неравенства разного вида 102
1. Уравнения, содержащие функции «целая часть числа» [х] и «дробная часть числа» {х} 102
2. Системы уравнений и неравенств 107
3. Задачи с параметрами 109
§ 7. Суммирование чисел 112
§ 8. Среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 121
1. Среднее арифметическое чисел 122
2. Среднее геометрическое чисел 131
§ 9. Неравенства и оценки 134
§ 10. Арифметическая прогрессия 151
1. Делимость и остатки 153
2. Простые числа 155
3. Уравнение в целых числах 156
4. Десятичная запись натурального числа 158
5. Натуральная степень числа 160
6. Инварианты 163
7. Неравенства и оценки выражений 164
8. Примеры и конструкции арифметических прогрессий 167
§ 11. Геометрическая прогрессия 172
1. Общий член профессии 173
2. Знаменатель прогрессии 177
3. Количество членов профессии 179
4. Суммирование членов профессии 183
§ 12. Последовательности общего вида 185
1. Различные способы задания последовательности 185
2. Количество членов последовательности 193
3. Суммирование членов последовательности 194
4. Делимость и остатки 197
5. Десятичная запись натурального числа 200
6. Уравнения в целых числах 201
7. Натуральная степень числа 202
8. Наборы чисел 203
9. Задачи на последовательности ходов 208
Упражнения 210
Ответы 252
Литература 299

В аналитических отчётах ФИПИ отмечается, что задание 19 высокого уровня сложности в ЕГЭ 2011—2017 гг. составлялось таким образом, «что, с одной стороны, тематически оно вполне было доступно даже ученикам основной школы, а, с другой стороны, для его решения требовалась не столько формальная математическая образованность (знание терминов, формул, правил, готовых алгоритмов), сколько общая математическая культура, то есть сформированная привычка самостоятельно ориентироваться в математической ситуации, строить и исследовать математические модели». Соответственно задание 19 направлено на проверку у выпускников умения строить и исследовать простейшие математические модели и носит оценочно-экспертный характер.