Геометрические неравенства. Путеводитель в задачах и теоремах. Гашков С.Б.

М.: 2013 - 256 с.

Книга содержит более 600 задач и теорем, посвященных геометрическим неравенствам, в основном для выпуклых многоугольников и многогранников. Среди задач есть как легкие, так и трудные; часть задач в разное время предлагались на математических олимпиадах для школьников. К некоторым задачам даны указания, а иногда и полные решения. Книга предназначена для учащихся, но может быть интересна учителям, студентам и всем, кто интересуется математикой. Содержащиеся в ней задачи могут использоваться в работе математических кружков. Решая их, учащиеся познакомятся с доказательствами интересных геометрических теорем, сильно отличающихся от известных им по школьному курсу, и даже смогут попробовать решить еще никем не решенные задачи.

Формат: pdf

Размер: 9,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Оглавление
1 Неравенства для треугольников, четырехугольников и многоугольников 9
1.1 Простейшие задачи на максимум и минимум 9
1.2 Выпуклые многоугольники 12
1.3 Неравенства для треугольников 19
1.4 Экстремальные свойства правильного треугольника 28
1.5 Доказательство теоремы об экстремальных свойствах правильного треугольника 31
1.6 Опять неравенства для треугольников 48
1.7 Неравенства для четырехугольников 53
1.8 Теоремы Юнга, Бляшке и Пала 60
1.9 Неравенства для выпуклых многоугольников 64
2 Неравенства для выпуклых многоугольников, фигур и тел 76
2.1 Экстремальные свойства выпуклых многоугольников 76
2.2 Экстремальные точки в выпуклых многоугольниках 84
2.3 Быстрое вычисление различных мер для выпуклых многоугольников 107
2.4 Симметризация по Минковскому 121
2.5 Изодиаметрические неравенства 125
2.6 Экстремальные многоугольники Рейнхардта 128
2.7 Изопериметрические неравенства для выпуклых фигур 146
2.8 Симметризация по Штейнеру 149
2.9 «Задача Дидоны» 157
2.10 Фигуры постоянной ширины 160
2.11 Метод усреднения 164
2.12 Задачи о диаметрах 174
2.13 Задача Лебега о покрышках для фигур данного диаметра 184
2.14 Задача Борсука 187
2.15 Приближение выпуклых фигур многоугольниками 191
2.16 Линейные системы выпуклых фигур и смешанные площади 202
2.17 Неравенство Брунна—Минковского 206
2.18 Неравенства для выпуклых фигур с тремя линейными мерами 210
2.19 Неравенства для тетраэдра 220
2.20 Неравенства для параллелепипеда 235
2.21 Некоторые теоремы о выпуклых многогранниках и телах 239
Литература 249

Некоторым читателям тема этой книжки покажется на первый взгляд странной, так как объединяет вместе совершенно разные и далекие друг от друга понятия. Действительно, часть учащихся считает, что алгебра и геометрия — совершенно разные науки, и ничего общего между ними нет. Но это, конечно, неверно. Есть много пунктов, в которых алгебра соприкасается с геометрией. Один из них — это геометрические неравенства, т.е. неравенства между числовыми мерами (или измерениями) различных геометрических объектов. Более точное определение не имеет смысла здесь указывать, так как далее станет ясно, о чем пойдет речь.
Доказательство неравенств в школе считается трудной и второстепенной темой, учащиеся чаще сталкиваются с равенствами, тождествами, уравнениями. Наверное поэтому, как написали в предисловии к своей книжки «Введение в неравенства» американские математики Беккенбах и Беллман, о математике часто остается впечатление как о науке тавтологической, т.е. доказывающей что предметы равны самим себе. Однако, это не так, и большая часть математических утверждений — это неравенства.