Математика. Пособие для поступающих в вузы. Шабунин М.И.

7-е изд., испр. и доп. - М.: 2016.— 747 с.

Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, хочет систематизировать свои знания, а также стремится успешно сдать вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным студентам педагогических вузов, а также учителям средних школ. Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания. В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ 1998-2013 гг.

Формат: pdf

Размер: 5,3 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Оглавление
Предисловие автора 10
Глава 1. Действительные числа 11
§1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные числа. Метод математической индукции 11
Справочные сведения 11
Примеры с решениями 13
Задачи 18
Ответы 19
§2. Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений 19
Справочные сведения 19
Примеры с решениями 23
Задачи 29
Ответы 30
§3. Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности 31
Справочные сведения 31
Примеры с решениями 34
Задачи 39
Ответы 41
§4. Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа 42
1. Основные формулы тригонометрии 42
Справочные сведения 42
Примеры с решениями 46
Задачи 53
Ответы 55
2. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа 56
Справочные сведения 56
Примеры с решениями 58
Задачи 62
Ответы 63
§ 5. Числовые неравенства 63
Справочные сведения 63
Примеры с решениями 68
Задачи 73
Ответы и указания 76
Глава 2. Алгебраические уравнения 78
§6. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений 78
Справочные сведения 78
Задачи 83
Ответы 83
§ 7. Рациональные уравнения 84
Справочные сведения 84
Примеры с решениями 87
Задачи 90
Ответы 91
Указания 91
§8. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля 91
Справочные сведения 91
Примеры с решениями 92
Задачи 96
Ответы 97
Указания 97
Глава 3. Показательные и логарифмические уравнения 98
§ 9. Показательные уравнения 98
Справочные сведения 98
Примеры с решениями 98
Задачи 100
Ответы 101
§ 10. Логарифмические уравнения 101
Справочные сведения 101
Примеры с решениями 102
Задачи 108
Ответы 109
Глава 4. Тригонометрические уравнения 110
§11. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sinx, cosx и tgx 110
Справочные сведения 110
Примеры с решениями 112
Задачи 115
Ответы 115
§12. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители,
с помощью формул понижения степени 116
Справочные сведения 116
Примеры с решениями 119
Задачи 125
Ответы 126
§13. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля .. 127
Справочные сведения 127
Примеры с решениями 128
Задачи 139
Ответы 139
§14. Тригонометрические уравнения различных видов 140
Примеры с решениями 140
Задачи 146
Ответы 146
Задачи к главе IV 147
Ответы 150
Указания 154
Глава 5. Системы уравнений 156
§15. Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы линейных уравнений 156
Справочные сведения 156
Примеры с решениями 162
Задачи 167
Ответы 169
Указания 170
§ 16. Системы алгебраических уравнений 170
1. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными 170
а) Однородные системы 170
б) Симметрические системы 173
в) Другие типы систем 175
Задачи 178
Ответы 179
Указания 179
2. Иррациональные системы с двумя неизвестными 181
Задачи 184
Ответы 185
Указания 185
3. Алгебраические системы с тремя неизвестными 186
Справочные сведения 186
Примеры с решениями 188
Задачи 194
Ответы 195
Указания 196
§ 17. Задачи на составление и решение уравнений 200
1. Задачи на движение 200
Справочные сведения 200
Примеры с решениями 200
2. Задачи на сплавы и смеси 210
Справочные сведения 210
Примеры с решениями 211
3. Задачи на совместную работу 212
Примеры с решениями 212
Задачи 214
Ответы 217
§18. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений 217
1. Системы показательных уравнений 217
Примеры с решениями 217
2. Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями 220
Примеры с решениями 220
3. Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями 225
Примеры с решениями 225
Задачи 227
Ответы 228
Указания 229
4. Системы тригонометрических уравнений 230
Примеры с решениями 230
Задачи 240
Ответы 240
Указания 241
Глава 6. Алгебраические неравенства 243
§ 19. Основные понятия, связанные с решением неравенств 243
Справочные сведения 243
Примеры с решениями 246
Задачи 250
Ответы 251
§ 20. Квадратный трехчлен и квадратные неравенства 251
Справочные сведения 251
Примеры с решениями 255
Задачи 263
Ответы 264
§ 21. Рациональные неравенства 264
1. Метод интервалов 264
Примеры с решениями 264
2. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси 269
Справочные сведения 269
Примеры с решениями 273
Задачи 274
Ответы 275
§ 22. Иррациональные неравенства 275
Справочные сведения 275
Примеры с решениями 276
Задачи 283
Ответы 284
Глава 7. Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства 285
§ 23. Показательные неравенства 285
Справочные сведения 285
Примеры с решениями 286
Задачи 290
Ответы 290
§ 24. Логарифмические неравенства 291
1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями 291
Справочные сведения 291
Примеры с решениями 292
2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями 301
Справочные сведения 301
Примеры с решениями 301
Задачи 308
Ответы 310
§ 25. Тригонометрические неравенства 311
Примеры с решениями 311
Задачи 320
Ответы 320
Глава 8. Системы неравенств с двумя переменными 322
§26. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными 322
1. Прямая на плоскости 322
Справочные сведения 322
2. Угол между прямыми 323
3. Линейные неравенства с двумя переменными 324
4. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными 326
Справочные сведения 326
Примеры с решениями 327
5. Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля 330
Примеры с решениями 330
Задачи 334
Ответы 335
§27. Нелинейные системы неравенств с двумя переменными 336
Примеры с решениями 336
Задачи 342
Ответы 343
Глава 9. Планиметрия 344
§ 28. Треугольник 344
Справочные сведения 344
Примеры с решениями 347
Задачи 362
Ответы 368
§ 29. Четырехугольник 368
Справочные сведения 368
Примеры с решениями 370
Задачи 384
Ответы 388
§ 30. Окружность и круг 389
Справочные сведения 389
Примеры с решениями 391
Задачи 401
Ответы 407
§ 31. Комбинации геометрических фигур 407
Примеры с решениями 407
Задачи 424
Ответы 428
Глава 10. Прямые и плоскости в пространстве 429
§ 32. Справочный материал по стереометрии 429
§ 33. Сечения многогранников 449
Справочные сведения 449
Примеры с решениями 450
§ 34. Вычисление углов в пространстве 461
1. Угол между прямыми 461
Справочные сведения 461
Примеры с решениями 462
2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью 467
а) Перпендикулярность прямой и плоскости 467
Справочные сведения 467
Примеры с решениями 467
б) Угол между прямой и плоскостью 469
Справочные сведения 469
Примеры с решениями 470
3. Двугранные углы 473
Справочные сведения 473
Примеры с решениями 473
§ 35. Вычисление расстояний в пространстве 482
1. Расстояние между двумя точками 482
Справочные сведения 482
Примеры с решениями 482
2. Расстояние от точки до прямой 485
Справочные сведения 485
Примеры с решениями 486
3. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями 486
Примеры с решениями 488
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми 494
Справочные сведения 494
Примеры с решениями 495
Глава 11. Многогранники 500
§ 36. Треугольная пирамида 500
1. Объем пирамиды 500
Справочные сведения 500
Примеры с решениями 500
2. Пирамида и сфера 508
Справочные сведения 508
Примеры с решениями 509
3. Разные задачи 515
Примеры с решениями 515
§ 37. Четырехугольная и шестиугольная пирамиды 530
Примеры с решениями 530
§ 38. Призма 543
Примеры с решениями 543
Глава 12. Круглые тела, комбинации геометрических тел 559
§ 39. Конус, цилиндр и сфера 559
Справочные сведения 559
1. Конус и сфера. Цилиндр и сфера 559
Примеры с решениями 559
2. Сфера, прямая и плоскость 564
Справочные сведения 564
Примеры с решениями 565
§ 40. Комбинации круглых тел и многогранников 568
1. Цилиндр и многогранник. Конус и многогранник 568
Примеры с решениями 568
2. Комбинации многогранников 581
Примеры с решениями 581
Задачи к главам 10-12 585
Первый уровень 585
Второй уровень 587
Третий уровень 594
Ответы 600
Глава 13. Производная и интеграл 603
§41. Производная и ее применение к исследованию функций 603
Справочные сведения 603
Примеры с решениями 606
Задачи 618
Ответы 621
§ 42. Интеграл и его приложения 622
Справочные сведения 622
Примеры с решениями 624
Задачи 630
Ответы 632
Глава 14. Задачи с параметрами. Разные задачи 633
§43. Уравнения и системы уравнений с параметрами 633
Примеры уравнений с параметрами 633
Примеры систем уравнений с параметрами 650
Задачи 666
Ответы 672
§44. Неравенства и системы неравенств с параметрами 673
Примеры с решениями 673
Задачи 692
Ответы 694
§45. Делимость целых чисел, сравнения, целочисленные решения уравнений 694
Примеры с решениями 694
Задачи 701
Ответы 702
§ 46. Элементы комбинаторики 702
Справочные сведения 702
Примеры с решениями 703
Задачи 704
Ответы 705
§ 47. Разные задачи по алгебре 705
Примеры с решениями 705
Задачи 708
Ответы 709
Варианты олимпиад и письменных вступительных экзаменов по математике в МФТИ 710
Ответы к вариантам 714