Элементарная геометрия. В 3-х т. Планиметрия. Стереометрия.  Понарин Я.П.

Оглавление  Том 1.

Предисловие   ..................................................................................      8

Часть I. Планиметрия

§1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью   ..................    13

1.1. Угол с вершиной внутри окружности (13). 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности (13). 1.3. Угол между секущей и касательной (14).

§2. Пропорциональные отрезки   .......................................................    16

2.1. Свойство ряда равных отношений (16). 2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла (17). 2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых (18). 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (18). 2.5. Секущие к окружности (19). 2.6. Среднее геометрическое (19). 2.7. Золотое сечение отрезка (21).

§3. Основные метрические соотношения в треугольнике ...................    25

3.1. Теорема синусов (25). 3.2. Формулы проекций и их след­ствия (26). 3.3. Некоторые формулы площади треугольника (28). 3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и ради­усами его вписанной и описанной окружностей (29). 3.5. Длина биссектрисы треугольника (30).

§4. Четыре замечательные точки треугольника ..................................    34

4.1. Центроид треугольника (34). 4.2. Центр вписанной в треуголь­ник окружности (37). 4.3. Ортоцентр треугольника (38). 4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника (40).

§5. Вневписанные окружности треугольника   ...................................    45

5.1. Существование вневписанных окружностей (45). 5.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окруж­ностям (46). 5.3. Зависимость между радиусами вписанной, вневпи-санных и описанной окружностей треугольника (47).

§6. Окружность девяти точек треугольника .......................................    49

6.1. Существование окружности девяти точек (49). 6.2. Теорема Фейербаха (50).

§7. Вписанные и описанные четырехугольники  ................................    53

7.1. Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырех­угольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56).

§8. Теорема Симсона и теорема Птолемея ........................................    61

8.1. Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62).

§9. Теорема Чевы   ...........................................................................    68

9.1. Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответ­ствия (70).

§10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек ..................    75

10.1. Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Тео­рема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78). 10.5. Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79).

§11. Метрические соотношения в четырехугольнике  ........................    82

11.1. Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних ли­ний и расстояние между серединами диагоналей четырехугольни­ка (83). 11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехуголь­ника (86). 11.5. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88).

§12. Площадь четырехугольника   ....................................................    91

12.1.   Формулы   площади   четырехугольника   общего   вида   (91). 12.2.  Следствия из общих формул площади четырехугольника (92).
§13. Геометрические неравенства   ...................................................    97

13.1. Использование неравенств между сторонами и углами тре­угольника (97). 13.2. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций сину­са и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скаляр­ного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраиче­ских неравенств для средних величин двух положительных чи­сел (103). 13.6. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106).

§14. Геометрические экстремумы   ...................................................  110

14.1. Экстремальные свойства суммы и произведения положитель­ных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и коси­нуса (112). 14.3. Об эквивалентности задач на экстремумы (113). 14.4. Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экс­тремальные значения квадратного трехчлена (114).

§15. Экстремальные свойства правильных многоугольников   ...........  118

15.1. Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изо-периметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две

подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правиль­ного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правиль­ного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124).

§16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей ..................  126

16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Ради­кальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикаль­ный центр трех окружностей (129).

§17. Пучки окружностей  ...................................................................  130

17.1.    Определение    пучка    окружностей.    Виды    пучков    (130).

17.2.  Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134).

§18. Полярное соответствие   ............................................................  136

18.1. Поляра точки относительно окружности (136). 18.2. Свойство взаимности поляр (138). 18.3. Автополярный треугольник. (138). 18.4. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности (139).

Задачи общего содержания .............................................................  143

Часть II. Преобразования плоскости

Введение. Отображения и преобразования множеств ........................  157

Глава I. Движения плоскости

§1. Общие свойства движений .........................................................  160

1.1. Определения движения и равных фигур (160). 1.2. Инвариан­ты движений (160). 1.3. Конструктивное задание движения плос­кости (162). 1.4. Движения первого и второго рода (163).

§2. Центральная симметрия   ............................................................  164

2.1. Определение и свойства центральной симметрии плоско­сти (164). 2.2. Решение задач (165).

§3. Осевая симметрия ......................................................................  169

3.1.       Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169).

3.2.       Решение задач с помощью осевой симметрии (171).

§4. Перенос ......................................................................................  175

4.1. Определение и свойства переноса (175). 4.2. Решение задач с помощью переноса (176).

§5. Поворот ......................................................................................  179

5.1. Определение и свойства поворота (179). 5.2. Угол между лу­чом и его образом при повороте (180). 5.3. Два способа построения центра поворота (181).

§6. Решение задач с помощью поворота   ........................................  181

§7. Композиции движений  ................................................................  187

7.1.    Композиция   центральных   симметрии   и   переносов   (187).

7.2.   Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями (188). 7.3. Представление переноса композицией осевых симметрий (189). 7.4. Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190). 7.7. Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия (191). 7.9. Композиция переноса и осевой симметрии (192).
7.10. Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192).

§8. Решение задач с помощью композиций движений   ....................  193

§9. Координатные формулы движений плоскости ..............................  197

9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Форму­лы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Фор­мулы движений I и II рода (199). 9.5. Решение задач с использова­нием координатных формул движений (200).

§ 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода

решения задач   .......................................................................  202

10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью по­ворота вектора (203).

§11. Применение движений к построению графиков функций . . . . 206 11.1. Перенос графиков (206). 11.2. Применение осевой симмет­рии (207).

Глава II. Подобия и аффинные преобразования

§12. Гомотетия .................................................................................  211

12.1. Определение гомотетии и его следствия (211). 12.2. Образ пря­мой при гомотетии (212). 12.3. Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии (213). 12.4. Задание гомотетии. Построение образа точки (213).

§13. Гомотетичность окружностей .....................................................  214

13.1. Гомотетичные фигуры (214). 13.2. Гомотетичность двух ок­ружностей (215).

§14. Решение задач с помощью гомотетии .......................................  216

§15. Композиция гомотетий   .............................................................  223

Оглавление  Том 2.

Предисловие .................................................................................    11

Часть I. Стереометрия

Глава 1. Прямые и плоскости

§1. Параллельные прямые и плоскости    .......................................    15

1.1. Параллельность прямой и плоскости (15). 1.2. Параллель­ность двух плоскостей (16).

§2. Перпендикулярные прямые и плоскости ...................................    17

2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости (17). 2.2. Перпен­дикулярность двух плоскостей (18).

§3. Скрещивающиеся прямые .......................................................    19

3.1. Параллельные плоскости, заданные двумя скрещивающими­ся прямыми (19). 3.2. Описанный параллелепипед (19). 3.3. Об­щий перпендикуляр скрещивающихся прямых (20). 3.4. Построе­ние и вычисление длины общего перпендикуляра векторным ме­тодом (22). 3.5. Пропорциональные отрезки на скрещивающихся прямых (22).

§4. Углы между прямыми и плоскостями  ......................................    23

Угол между скрещивающимися прямыми (23). Угол между пря­мой и плоскостью (23). 4.3. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями (24). 4.4. О сущности стереометрической задачи на построение (25).

Задачи к главе 1 ...........................................................................    27

Глава 2. Трехгранный угол

§1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры . . . . 31 1.1. Трехгранный угол и его элементы (31). 1.2. Полярные три­эдры (32).

§2. Неравенства для углов триэдра ...............................................    32

2.1. Сумма плоских углов триэдра (32). 2.2. Аналог неравенства треугольника (33). 2.3. Сумма двугранных углов триэдра (33). 2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра (34).

§3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра   ...............    34

3.1. Две теоремы косинусов (34). 3.2. Теорема синусов для триэд­ра (35). 3.3. Следствия из теоремы синусов (36). 3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра (36). 3.5. Приме­нение теорем косинусов в решении задач (38).

§4. Замечательные прямые и плоскости триэдра ...........................    39

4.1. Медианные плоскости триэдра (39). 4.2. Ось вписанного кру­гового конуса (39). 4.3. Ось описанного конуса (40). 4.4. Высотные плоскости и ортоось триэдра (41).

§5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного

конусов триэдра ......................................................................    43

5.1. Плоскость перпендикулярная оси конуса, описанного около триэдра (43). 5.2. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса (44).

§6. Начальные сведения о сферической геометрии ........................    45

6.1. Основные понятия (45). 6.2. Связь геометрии трехгранного угла со сферической геометрией (46).

Задачи к главе 2 ...........................................................................    47

Глава 3. Ортогональное проектирование

§1. Свойства ортогонального проектирования    .............................    50

1.1. Ортогональное проектирование как частный вид параллель­ного проектирования (50). 1.2. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры (51). 1.3. Формула проекций граней тетраэд­ра (53). 1.4. Пример задачи (54).

§2. Ортогональная проекция угла    ...............................................    54

2.1. Общая формула ортогональной проекции угла (54). 2.2. Част­ные случаи (55). 2.3. Сравнение величины угла и величины его ортогональной проекции (57). 2.4. Примеры решения задач (58).

§3. Ортогональная проекция вектора на плоскость    ......................    60

3.1. Вектор ортогональной проекции вектора (60). 3.2. Решение задач (61).

Задачи к главе 3 ...........................................................................    62

Глава 4. Геометрические места точек пространства

§1. Основные геометрические места точек пространства   .............    65

1.1. Сущность задачи на нахождение ГМТ (65). 1.2. Простейшие ГМТ пространства (66).
§2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми ............................................................................................    68

2.1. Серединная плоскость скрещивающихся прямых (68). 2.2. Ги­перболический параболоид (69).

§3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости   ...............    70

3.1. Окружность Аполлония и сфера Аполлония (70). ГМТ пространства, разность квадратов расстояний (72). ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний (73).
§4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение . . . .   74
Задачи к главе 4                                                                                75

Глава 5. Векторное и смешанное произведения векторов
§1. Определения векторного и смешанного произведений, их геометрический смысл .......................................................................    78

1.1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векто­ров (78). 1.2. Определение векторного произведения, его след­ствия (79). 1.3. Смешанное произведение трех векторов, геомет­рический смысл его знака и модуля (80). §2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений 81

2.1.  Алгебраические  свойства  смешанного  произведения  (81).

2.2. Алгебраические свойства векторного произведения (82).
§3. Произведения в декартовых координатах .................................    83

3.1.   Координатная   формула   векторного   произведения   (83).

3.2. Координатное представление смешанного произведения (83).
§4. Сложные произведения векторов .............................................    84

4.1. Двойное векторное произведение (84). 4.2. Скалярное произ­ведение двух векторных произведений (85). 4.3. Векторное про­изведение двух векторных произведений (85). 4.4. Квадрат сме­шанного произведения (85).

§5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов 86 5.1. Тригонометрия триэдра (86). 5.2. Теорема Менелая для три­эдра (86). 5.3. Теорема Чевы для триэдра (87). 5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра че­рез косинусы и синусы его двугранных углов (88).

Задачи к главе 5 ...........................................................................    88

Глава 6. Тетраэдр

§1. Медианы и бимедианы тетраэдра. Центроид  ...........................    91

1.1. Бимедианы (средние линии) тетраэдра (91). 1.2. Медианы тетраэдра (92). 1.3. Свойства центроида тетраэдра (93).

§2. Площади граней тетраэдра   ....................................................    94

2.1. Теорема косинусов для тетраэдра (94). Сумма квадратов пло­щадей граней тетраэдра (95). 2.3. Зависимость между косинусами двугранных углов тетраэдра (96).

§3. Объем тетраэдра и объем клина   ............................................    97

3.1. Первая формула Штаудта (97). 3.2. Формулы Достора (97). 3.3. Формула Сервуа (98). 3.4. Теоремы синусов для тетраэд­ра (99). 3.5. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер (формула Юнгиуса) (99). 3.6. Вторая формула Штаудта (100). 3.7. Объем клина (100).

§4. Барицентрические координаты точки   ......................................  102

4.1. Определение (102). 4.2. Аффинный и метрический смысл ба­рицентрических координат (103). 4.3. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра (103).

§5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра ...................  105

5.1. Условия существования и число сфер, касающихся плоско­стей граней тетраэдра (105). 5.2. Зависимость между радиусами вписанной и вневписанных сфер и высотами тетраэдра (107).

§6. Ортоцентрический тетраэдр .....................................................  108

6.1. Высоты тетраэдра. Определение и критерий ортоцентриче-ского тетраэдра (108). 6.2. Вектор ортоцентра (109). 6.3. Харак­теристические свойства ортоцентрического тетраэдра (110).

§7. Равногранный тетраэдр   .........................................................  112

7.1. Определение и характеристическое свойство равногранно-го тетраэдра (112). 7.2. Свойства углов равногранного тетраэд­ра (112). 7.3. Критерии равногранного тетраэдра (113). 7.4. Фор­мулы для равногранного тетраэдра (114).

Задачи к главе 6 ...........................................................................  115

Глава 7. Вычисление объемов тел

§1. Формула Ньютона–Симпсона и ее применение ........................  119

1.1. Вывод формулы Ньютона–Симпсона (119). 1.2. Объем пира­миды и усеченной пирамиды (120). 1.3. Объем клина (121).

§2. Объем шара и его частей   ......................................................  123

2.1. Объем шара и шарового сегмента (123). 2.2. Объем шарового сектора (124). 2.3. Объем шарового слоя и шарового кольца (125).

§3. Принцип Кавальери   ...............................................................  126

3.1. Сущность принципа Кавальери (126). 3.2. Объем шара и ша­рового сегмента (127). 3.3. Объем тора (128).

§4. Объем тела вращения   ...........................................................  129

4.1. Лемма о площади поверхности, образованной вращением отрезка (129). 4.2. Объем тела вращения треугольника (130). 4.3. Объем тела вращения центрально-симметричной фигу­ры (132). 4.4. Эквивалентная замена вращающейся фигуры (133). 4.5. Замена оси вращения (134).

Задачи к главе 7 ...........................................................................  136

Глава 8. Сфера

§1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы . 139 1.1. Касательные плоскости к сфере (139). 1.2. Малые окружно­сти сферы (140). 1.3. Касательные прямые к сфере (141). 1.4. Пе­ресечение двух сфер (142).

§2. Площадь сферы и ее частей ....................................................  143

2.1. Площадь сферы (143). 2.2. Площадь сферического сегмен­та (143). 2.3. Площадь сферического пояса (144). 2.4. Площадь сферы, сферического сегмента и сферического пояса как поверх­ностей вращения (144). 2.5. Площадь сферического двуугольника и сферического треугольника (145).

§3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер    ......................................................................................  146

3.1. Степень точки относительно сферы (146). 3.2. Радикальная плоскость двух сфер (147). 3.3. Радикальная ось трех сфер и ра­дикальный центр четырех сфер (148). 3.4. Ортогональные сфе­ры (148).

§4. Инверсия пространства относительно сферы ............................  149

4.1. Определение инверсии и его следствия (149). 4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностей при инверсии (150). 4.3. Инвариантность величины угла между кривыми при инвер­сии (151). 4.4. Вывод второй формулы Штаудта для объема тет­раэдра (152). 4.5. Стереометрическое обобщение тождества Брет-шнайдера (153).

§5. Стереографическая проекция ...................................................  154

5.1.  Определение и свойства стереографической проекции (154).

5.2.  Координатные формулы стереографической проекции (155). Задачи к главе 8         156

Глава 9. Стереометрические неравенства и экстремумы

§1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств .............................  159

1.1. Неравенство Коши (159). 1.2. Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел (160). 1.3. Тождество Лагранжа и неравенство Коши–Буняковского (160).

§2. Получение неравенств из тождественных равенств    ...............  161

§3. Некоторые избранные неравенства ..........................................  164

3.1. Неравенства для углов триэдра, тетраэдра и косого четырех­угольника (164). 3.2. Неравенства для прямоугольного тетраэд­ра (165). 3.3. Неравенства для произвольного тетраэдра (167).

§4. Стереометрические экстремумы    ...........................................  168

4.1.    Экстремумы   как   следствия   нестрогих   неравенств   (168).

4.2.    Экстремумы суммы и произведения положительных чи­сел (169). Сведение задачи к планиметрической (170).

§5. Точка Люилье тетраэдра ..........................................................  172

5.1. Задача Люилье (172). 5.2. Барицентрические координаты точки Люилье (173). 5.3. Точка Люилье — центроид ее тетраэдра проекций (173).

§6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра .....................  174

6.1. Тетраэдр минимальной площади поверхности с данным осно­ванием и данной высотой (175). 6.2. Правильный тетраэдр — объ­ект с экстремальными свойствами (176).

Задачи к главе 9 ...........................................................................  177

Часть II. Преобразования пространства

Глава 10. Движения пространства

§ 1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства ................................................................................  183

1.1. Определения движения и равных фигур (183). 1.2. Пере­нос (183). 1.3. Центральная симметрия (183). 1.4. Осевая симмет­рия (183). 1.5. Зеркальная симметрия (184). 1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий (184).

§2. Общие свойства движений пространства   ...............................  185

2.1. Два рода движений пространства (185). 2.2. Множества непо­движных точек движений пространства (185). 2.3. Инварианты движений пространства (186). 2.4. Признак зеркальной симмет­рии (188).

§3. Поворот пространства около оси  .............................................  188

3.1. Поворот как частный вид движения (188). 3.2. Признак пово­рота (189). 3.3. Представление поворота композициями симмет-рий (189).

§4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение . . . 190 4.1. Переносная симметрия (190). 4.2. Поворотная симмет­рия (192). 4.3. Винтовое движение (192).

§5. Конструктивное задание движения пространства   ....................  193

5.1. Теорема о задании движения (193). 5.2. Следствия (195).

§6. Классификация движений пространства    ................................  195

6.1. Движения второго рода (195). 6.2. Движения первого ро­да (196).

§7. Координатные формулы движений пространства   ....................  197

7.1. Вывод формул движений (197). Матрица движения (198). 7.3. Формулы обратного движения (200). 7.4. О критериях част­ных видов движений (200). 7.5. Формулы частных видов движе­ний при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат (201).

§8. Композиции движений пространства    .....................................  202

8.1. Композиция поворота и переноса (202). 8.2. Композиция зер­кальной и осевой симметрий (202). 8.3. Композиция двух пово­ротов (203). 8.4. Композиция трех зеркальных симметрий (203). 8.5. Композиция симметрий относительно трех попарно скрещи­вающихся прямых (205).

§9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба   . . . . 205

9.1.   Группа   самосовмещений   правильного   тетраэдра   (205).

9.2. Группа самосовмещений куба (207).

§10. Решение задач с использованием движений пространства . . . 208
Задачи к главе 10 .........................................................................  211

Глава 11. Подобия пространства

§1. Гомотетия пространства ...........................................................  219

1.1. Обзор теории (219). 1.2. Композиция гомотетии и перено­са (220). 1.3. Гомотетия пространства в задачах (220).

§2. Преобразования подобия .........................................................  222

2.1. Определение и инварианты подобий пространства (222). Ко­ординатные формулы подобий пространства (222). 2.3. Центр по­добия пространства (223). 2.4. Построение центра подобия перво­го рода плоскости (223). 2.5. Классификация подобий простран­ства (224).

Задачи к главе 11 .........................................................................  225

Глава 12. Аффинные преобразования §1. Начала теории аффинных преобразований пространства . . . . 228 1.1. Определение аффинного преобразования пространства и его следствия (228). 1.2. Задание аффинного преобразования про­странства (228). 1.3. Координатные формулы аффинного преоб­разования (229). §2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании . . . . 231 2.1. Выражение смешанного произведения векторов в аффин­ных координатах (231). 2.2. Зависимость между объемом тела и объемом его образа при аффинном преобразовании простран­ства (231).