Курс теории вероятностей и математической статистики. Севастьянов Б.А.

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.— 256 с.

В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.

В книге содержатся следующие разделы: независимые испытания и цепи Маркова, предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная теорема, основные понятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы.

Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей.

Формат: djvu / zip

Размер: 2,57 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Вероятностное пространство 9
§ 1. Предмет теории вероятностей 9
§ 2. События 12
§ 3. Вероятностное пространство 16
§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности 19
§ 5 Геометрические вероятности 23
Задачи 24
Глава 2. Условные вероятности. Независимость 26
§ 6. Условные вероятности 26
§ 7. Формула полной вероятности 28
§ 8. Формулы Байеса 29
§ 9. Независимость событий 30
§ 10. Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр .... 33
§ 11. Независимые испытания 35
Задачи 39
Глава 3. Случайные величины (конечная схема) . 41
§ 12. Случайные величины. Индикаторы 41
§ 13. Математическое ожидание 45
§ 14. Многомерные законы распределения 50
§ 15. Независимость случайных величин 53
§ 10. Евклидово пространство случайных величии . . . . 5й
§ 17. Условные математические ожидания 5Э
§ 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел .... 61
Задачи 64
Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли . 65
§ 19. Биномиальное распределение 65
§ 20. Теорема Пуассона 66
§ 21. Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа . . 70
§ 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа 71
§ 23. Применения предельных теорем . 73
Задачи 76
Глава 5. Цепи Маркова 77
§ 24. Марковская зависимость испытании 77
§ 25. Переходные вероятности 78
§ 26. Теорема о предельных вероятностях 80
Задачи 83
Глава 6. Случайные величины (общий случай) 84
§ 27. Случайные величины и их распределения 84
§ 28. Многомерные распределения 92
§ 29. Независимость случайных величин 96
Задачи 98
Глава 7. Математическое ожидание 100
§ 30. Определение математического ожидания 100
§ 31. Формулы для вычисления математического ожидания 108
Задачи 115
Глава 8. Производящие функции 117
§ 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции 117
§ 33. Факториальные моменты 118
§ 34. Мультипликативное свойство 120
§ 35. Теорема непрерывности 123
§ 36. Ветвящиеся процессы 125
Задачи 127
Глава 9. Характеристические функции 129
§ 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций 129
§ 38. Формулы обращения для характеристических функций 136
§ 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения 140
Задачи 145
Глава 10. Центральная предельная теорема 146
§ 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых 146
§ 41. Теорема Ляпунова 147
§ 42. Применения центральной предельной теоремы 150
Задачи 153
Глава 11. Многомерные характеристические функции .154
§ 43. Определение и простейшие свойства 154
§ 44. Формула обращения 158
§ 45. Предельные теоремы для характеристических функций 159
§ 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения 164
Задачи 173
Глава 12. Усиленный закон больших чисел 174
§ 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова 174
§ 48 Различные виды сходимости случайных величин . . . 177
§ 49. Усиленный закон больших чисел 181
Задачи 188
Глава 13. Статистические данные 189
§ 50. Основные задачи математической статистики .... 189
§ 51. Выборочный метод 190
Задачи 194
Глава 14. Статистические критерии 195
§ 52. Статистические гипотезы 195
§ 53. Уровень значимости и мощность критерия 197
§ 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона .... 199
§ 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений 201
§ 56. Критерии для проверки сложных гипотез 2Э4
§ 57. Непараметрические критерии 206
Задачи 211
Глава 15. Оценки параметров 213
§ 58. Статистические оценки и их свойства 213
§ 59. Условные законы распределения 216
§ 60. Достаточные статистики 220
§ 61. Эффективность оценок 223
§ 62. Методы нахождения оценок 228
Задачи 232
Глава 16. Доверительные интервалы 234
§ 63. Определение доверительных интервалов 234
§ 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения 236
§ 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли 240
Задачи 244
Ответы к задачам 245
Таблицы нормального распределения 251
Литература 253
Предметный указатель 254