|
Общеобразовательные |
М.: Физматгиз, 1963 — 168 с.
Настоящая книга написана на основе лекций по курсу
высшей математики, которые читались одним из авторов в течение ряда лет в
Криворожском горнорудном и в Воронежском лесотехническом институтах.
Формат:
djvu / zip
Размер: 4,1
Мб
Скачать / Download файл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава I
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Понятие функции 11
1. Определение функции по Лобачевскому (И). 2. Система координат (12). 3. График
функции и уравнение кривой (13). 4. Однозначные и многозначные функции (16). 5.
Область определения функции (16).
§ 2. Линейная функция у = кх + Ъ 18
1. График линейной функции у = kx (18). 2. График общей линейной функции (20).
3. Приращение линейной функции (22). 4. Возрастание и убывание линейной функции
(23). 5. Задачи на построение линейной функции (24).
§ 3. Геометрические задачи для двух линейных функций . 26
1. Параллельность графиков линейных функций (26). 2. Точка пересечения графиков
линейных функций (26). 3. Угол между графиками линейных функций (27). 4.
Перпендикулярность графиков линейных функций (28).
§ 4. Линейная интерполяция 29
§ 5. Квадратичная функция 30
1. Симметрия графика функции у = х2 (31). 2. Исследование функции на возрастание
и убывание (31). 3. Экстремум функции у = х2 (32). 4. Исследование графика
функции у = х2 на выпуклость и вогнутость (34). 5. Функция у = ах2 (35). 6.
Уравнение параболы с вершиной в заданной точке (36). 7. Исследование общей
квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с (37). 8. Примеры зависимостей,
выражающихся квадратичной функцией (38).
§ 6. Кубическая функция 40
1. Исследование функции у *= хг (40). 2. Исследование функции у =» xz + kx (42).
3. Исследование функции у = хг + Ьх + 6 (46). 4. Исследование общей кубической
функции у = а0х3 -{-а{х2-\- а2х -f- a3 (48). 5. Пример зависимости» выражающейся
кубической функцией (48).
§ 7. Многочлены . 49
1. Сравнение графиков степенных функций у = хп при четных и нечетных показателях
(49). 2. Многочлен. Корни многочлена. Разложение на множители (50). 3. Поведение
многочлена у = Рп(х) на бесконечности (52). 4. Примеры графиков многочленов
(52).
§ 8. Обратно-пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция 53
1. Исследование функции у = — (53). 2. Гипербола с центром в заданной точке
(56). 3. Дробно-линейная функция (57).
§ 9. Дробно-рациональная функция 58
1. Отрицательные степени х (58). 2. Дробно-рациональная функция (61). 3.
Асимптоты графика дробно-рациональной функции (62). 4. Разложение на простейшие
дроби (64). 5. Графики простейших дробей (66). 6. Пример зависимости,
выражающейся дробно-рациональной функцией (70).
§ 10. Показательная функция 71
§ 11. Тригонометрические функции 72
1. Исследование функции у = sin x (73). 2. Исследование функции у = sin cojc
(75). 3. Уравнение простого гармонического колебания (76). 4. Приведение функции
у = A cos шх + В sin <ax к виду простого гармонического колебания (77). 5.
Примеры зависимостей, выражающихся тригонометрическими функциями (79).
§ 12. Взаимно-обратные функции 80
1. Понятие обратной функции (80). 2. График обратной функции (81). 3. Свойства
обратной функции (82). 4. Логарифмическая функция у = \ogQ x (83). 5. Обратные
тригонометрические функции и их главные значения (84).
§ 13. Линеаризация алгебраических функций 86
1. Линеаризация рациональных функций вблизи нуля (86). 2. Линеаризация
иррациональных функций (88). 3. Линеаризация вблизи данного значения аргумента (Щ*
Глава II
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Предел функции в точке 91
1. Понятие бесконечно малой (91). 2. Свойства бесконечно малых (92). 3. Понятие
предела функции (93). 4. Свойства пределов (93). 5. Понятие непрерывной функции
(97).
§ 2. Предел функции на бесконечности 99
1. Понятие функции, бесконечно малой на бесконечности (99). 2. Предел функции на
бесконечности (99). 3. Нахождение наклонных асимптот графика функции (100).
§ 3. Задача о касательной 103
1. Касательная к параболе у =* х2 в начале координат (105). 2. Касательная к
параболе у = У х (106). 3. Касательная к синусоиде у = sin x в начале координат.
Первый замечательный предел (106). 4. Касательная к косинусоиде у =* cos х в
точке ее пересечения с осью ординат (109). 5. Касательная к тангенсоиде у = Xg x
в начале координат (НО). 6. Касательные к графикам обратных тригонометрических
функций (111). 7. Касательная к графику обратной функции (112). 8. Касательная к
графику показательной функции в точке его пересечения с осью ординат (113). 9.
Касательная к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью их
(116). 10. Число е как предел (117).
§ 4. Гиперболические функции 117
Глава III.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Сравнение бесконечно малых функций 120
1. Свойства бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная (121).
2. Основная теорема об эквивалентных бесконечно малых (121).
§ 2. Линеаризация вблизи нуля 122
1. Линеаризация функции у = (1-{-х)п (123). 2. Линеаризация функции у = -т——
(123). 3. Линеаризация функции у =*Yl+x (124). 4. Линеаризация функции у = sin х
(124). 5. Линеаризация функции у = cos л: (124). 6. Линеаризация функций у = ех
и у ±= а* (125). 7. Линеаризация функции у = loga (1 + х) (125). 8, Формулы
линеаризации вблизи нуля (125). 9. Примеры применения линеаризации (126).
§ 3. Линеаризация функции вблизи данной точки .... 126
1. Производная и дифференциал линейной функции в данной точке (128).
§ 4. Формулы линеаризации основных элементарных функций. Производные 129
1. Линеаризация степенной функции f(x) = хп при целом положительном п (129). 2.
Линеаризация функции f(x) = — (130). 3. Линеаризация функции f(x) = Vx (130). 4.
Линеаризация функции f(x) = s\nx (131). 5. Линеаризация функции /(л:) = cos .к
(131). 6. Линеаризация показательной функции f(x) = ax (131). 7. Линеаризация
логарифмической функции f(x) = \ogax (131).
§ 5. Общие свойства производных 132
1. Производная суммы (132). 2. Производная произведения (133). 3. Производная
дроби (133). 4. Производная и дифференциал сложной функции (135). 5. Производная
степенной функции при любом показателе степени (137). 6. Производные обратных
функций (137). 7. Производные обратных тригонометрических функций (138).
§ 6. Геометрический смысл производной и дифференциала 138
1. Геометрический смысл производной (138). 2. Уравнение касательной к кривой у=Дх)
в точке (х0, у0) (139). 3. Геометрический смысл дифференциала (140).
§ 7. Понятие о производных и дифференциалах высшего порядка 140
§ 8. Механический смысл производной 141
Глава IV
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К
ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. Поведение функции вблизи данной точки 143
1. Условие возрастания и убывания функции в точке (143). 2. Точки экстремума
(144). 3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (146).
§ 2. Теорема Лагранжа и ее применения 148
1. Теорема Лагранжа (148). 2. Возрастание и убывание функции на отрезке (150).
3. Классификация изолированных стационарных точек (151). 4. Достаточное условие
экстремума по второй производной (153). 5. Выпуклость и вогнутость дуги кривой
(154). 6. Пример. Исследование функции у = 6.*2£~"*2(157).
§ 3. Применение производных к вычислению пределов . 158
1. Теорема Коши (158). 2. Правило Лопиталя (159). 3. Сравнение поведения на
бесконечности степенной, показательной и логарифмической функций: хп% ех, \пх
(160).
§ 4. Представление функции по формуле Тейлора ....
1. Формула Тейлора (161). 2. Геометрический смысл формулы Тейлора при п = 2
(164).
§ 5. Представление элементарных функций по формуле Тейлора вблизи нуля 164
1. Представление многочлена (164). 2. Представление функции (1 -\- х)т. Бином
Ньютона (165). 3. Представление функции -т—7-— (166). 4. Представление функции Y
1 + х (166). 5. Представление функций sin x и cos x (167). 6. Представление
функций е* и ах (167). 7. Представление функций \п(\-\-х) и loga(l+^r) (167). 8.
Таблица простейших представлений основных элементарных функций по формуле
Тейлора (168).
О том, как читать книги в форматах
pdf,
djvu
- см. раздел "Программы; архиваторы; форматы
pdf, djvu
и др."
|
