Задачи по планиметрии. Прасолов В.В.
5-е изд., испр.и доп.—М.: 2006.— 640 с. Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии. Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
Формат: pdf Размер: 4,3 Мб
Скачать / Download файл
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 10 Глава 1. Подобные треугольники 11 § 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12). § 2. От- ношение сторон подобных треугольников (13). § 3. Отношение площадей подобных треугольников (15). § 4. Вспомогательные равные треуголь- ники (16). § 5. Треугольник, образованный основаниями высот (17). § 6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Глава 2. Вписанный угол 30 § 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31). § 2. Величина угла меж- ду двумя хордами (32). § 3. Угол между касательной и хордой (33). § 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34). § 5. Четы- ре точки, лежащие на одной окружности (35). § 6. Вписанный угол и подобные треугольники (36). § 7. Биссектриса делит дугу попо- лам (37). § 8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диа- гоналями (38). § 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39). § 10. Точка Микеля (40). § 11. Разные задачи (40). Задачи для самостоятельного решения (41). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Глава 3. Окружности 55 § 1. Касательные к окружностям (56). § 2. Произведение длин отрезков хорд (57). § 3. Касающиеся окружности (58). § 4. Три окружности одно- го радиуса (59). § 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59). § 6. Применение теоремы о высотах треугольника (60). § 7. Площади криволинейных фигур (61). § 8. Окружности, вписанные в сегмент (61). § 9. Разные задачи (62). § 10. Радикальная ось (63). § 11. Пучки окруж- ностей (65). Задачи для самостоятельного решения (66). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Глава 4. Площадь 81 § 1. Медиана делит площадь пополам (81). § 2. Вычисление площа- дей (82). § 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь- ник (83). § 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83). § 5. Разные задачи (84). § 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (85). § 7. Формулы для площади четырёхугольни- ка (86). § 8. Вспомогательная площадь (87). § 9. Перегруппировка пло- щадей (88). Задачи для самостоятельного решения (89). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Глава 5. Треугольники 101 § 1. Вписанная и описанная окружности (102). § 2. Прямоугольные тре- угольники (103). § 3. Правильный треугольник (104). § 4. Треугольник с углом 60 или 120 (105). § 5. Целочисленные треугольники (106). § 6. Разные задачи (106). § 7. Теорема Менелая (109). § 8. Теорема Че- вы (111). § 9. Прямая Симсона (113). § 10. Подерный треугольник (115). § 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116). § 12. Точки Бро- кара (117). § 13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного решения (121). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Глава 6. Многоугольники 151 § 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). § 2. Четырёх- угольники (154). § 3. Теорема Птолемея (155). § 4. Пятиугольники (156). § 5. Шестиугольники (157). § 6. Правильные многоугольники (157). § 7. Вписанные и описанные многоугольники (160). § 8. Произвольные выпуклые многоугольники (161). § 9. Теорема Паскаля (161). Задачи для самостоятельного решения (162). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Глава 7. Геометрические места точек 183 § 1. ГМТ — прямая или отрезок (183). § 2. ГМТ — окружность или дуга окружности (184). § 3. Вписанный угол (185). § 4. Вспомогатель- ные равные или подобные треугольники (186). § 5. Гомотетия (186). § 6. Метод ГМТ (186). § 7. ГМТ с ненулевой площадью (187). § 8. Теоре- ма Карно (187). § 9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для самостоятельного решения (188). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Глава 8. Построения 197 § 1. Метод геометрических мест точек (197). § 2. Вписанный угол (198). § 3. Подобные треугольники и гомотетия (198). § 4. Построение тре- угольников по различным элементам (198). § 5. Построение треуголь- ников по различным точкам (199). § 6. Треугольник (199). § 7. Четы- рёхугольники (200). § 8. Окружности (201). § 9. Окружность Аполло- ния (201). § 10. Разные задачи (202). § 11. Необычные построения (202). § 12. Построения одной линейкой (202). § 13. Построения с помощью двусторонней линейки (203). § 14. Построения с помощью прямого уг- ла (204). Задачи для самостоятельного решения (205). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Глава 9. Геометрические неравенства 221 § 1. Медиана треугольника (222). § 2. Алгебраические задачи на нера- венство треугольника (222). § 3. Сумма длин диагоналей четырёхуголь- ника (223). § 4. Разные задачи на неравенство треугольника (223). § 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (224). § 6. Неравенства для площадей (224). § 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (226). § 8. Ломаные внутри квадрата (227). § 9. Четырёхугольник (227). § 10. Многоугольники (228). § 11. Разные задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230). Приложение. Некоторые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253 § 1. Медианы (253). § 2. Высоты (253). § 3. Биссектрисы (254). § 4. Дли- ны сторон (254). § 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (254). § 6. Симметричные неравенства для углов треуголь- ника (255). § 7. Неравенства для углов треугольника (255). § 8. Нера- венства для площади треугольника (256). § 9. Против большей стороны лежит больший угол (256). § 10. Отрезок внутри треугольника мень- ше наибольшей стороны (257). § 11. Неравенства для прямоугольных треугольников (257). § 12. Неравенства для остроугольных треугольни- ков (258). § 13. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самосто- ятельного решения (259). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273 § 1. Треугольник (273). § 2. Экстремальные точки треугольника (274). § 3. Угол (275). § 4. Четырёхугольники (276). § 5. Многоугольники (276). § 6. Разные задачи (277). § 7. Экстремальные свойства правильных мно- гоугольников (277). Задачи для самостоятельного решения (278). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289 § 1. Теорема синусов (289). § 2. Теорема косинусов (290). § 3. Вписан- ная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291). § 4. Дли- ны сторон, высоты, биссектрисы (291). § 5. Синусы и косинусы уг- лов треугольника (292). § 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольни- ка (292). § 7. Вычисление углов (293). § 8. Окружности (294). § 9. Раз- ные задачи (295). § 10. Метод координат (295). Задачи для самостоя- тельного решения (296). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Глава 13. Векторы 308 § 1. Векторы сторон многоугольников (309). § 2. Скалярное произве- дение. Соотношения (310). § 3. Неравенства (310). § 4. Суммы векто- ров (311). § 5. Вспомогательные проекции (312). § 6. Метод усредне- ния (312). § 7. Псевдоскалярное произведение (313). Задачи для само- стоятельного решения (314). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Глава 14. Центр масс 325 § 1. Основные свойства центра масс (325). § 2. Теорема о группировке масс (326). § 3. Момент инерции (327). § 4. Разные задачи (328). § 5. Ба- рицентрические координаты (328). § 6. Трилинейные координаты (331). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Глава 15. Параллельный перенос 345 § 1. Перенос помогает решить задачу (345). § 2. Построения и геометри- ческие места точек (346). Задачи для самостоятельного решения (347). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Глава 16. Центральная симметрия 353 § 1. Симметрия помогает решить задачу (354). § 2. Свойства симмет- рии (354). § 3. Симметрия в задачах на построение (355). Задачи для самостоятельного решения (356). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Глава 17. Осевая симметрия 361 § 1. Симметрия помогает решить задачу (361). § 2. Построения (362). § 3. Неравенства и экстремумы (363). § 4. Композиции симметрий (363). § 5. Свойства симметрий и осей симметрии (364). § 6. Теорема Ша- ля (364). Задачи для самостоятельного решения (365). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Глава 18. Поворот 373
§1. Поворот на
90◦
(374).
§2. Поворот на 60◦
(374).
§3. Повороты на Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 388
§1. Гомотетичные
многоугольники
(389). §2. Гомотетичные окруж Глава 20. Принцип крайнего 407 §1. Наименьший или наибольший угол (407). §2. Наименьшее или наибольшее расстояние (408). §3. Наименьшая или наибольшая пло- щадь (408). §4. Наибольший треугольник (409). §5. Выпуклая оболочка и опорные прямые (409). §6. Разные задачи (410). Решения ...................................................................... 411 Глава 21. Принцип Дирихле 419
§1. Конечное число
точек, прямых и т.д.
(419). §2. Углы
и дли Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники 430
§1. Выпуклые многоугольники
(430).
§2. Изопериметрическое неравен Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски 453
§1. Чёт и нечёт
(453).
§2. Делимость
(454).
§3. Инварианты
(454). Глава 24. Целочисленные решётки 469
§1. Многоугольники с вершинами
в узлах решётки
(469). §2. Формула Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 479
§1. Равносоставленные фигуры
(479).
§2. Разрезания на части, облада Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры 506
§1. Системы точек
(506).
§2. Системы отрезков, прямых и окружно Глава 27. Индукцияикомбинаторика 513 §1. Индукция (513). §2. Комбинаторика (514). Решения ......................................................................... 514 Глава 28. Инверсия 517
§1. Свойства инверсии
(518).
§2. Построение окружностей
(518). Глава 29. Аффинные преобразования 535
§1. Аффинные преобразования
(535).
§2. Решение задач при помощи Глава 30. Проективные преобразования 559
§1. Проективные преобразования
прямой (559).
§2. Проективные пре Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола 583
§1. Классификация кривых
второго порядка
(583). §2. Эллипс
(584). Дополнение 611 Предметный указатель 625 Программы элективных курсов по геометрии 632
Примечание: Случайно прочитал на форуме Заочной физико-технической школы при МФТИ такое мнение: "Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Книга великая во всех отношениях. Если вам встретилась задача по планиметрии, то идея решения tnm в Прасолове с вероятностью 99,99999999999%. Короче там есть ВСЕ!!! И эта книга великая именно потому, что она построена во-первых, на изумительной классификации задач, а во-вторых, она вся (за небольшими исключениями) состоит из задач на доказательство. Это огромный плюс, поскольку такие задачи на порядок сложнее, чем задачи на вычисление. Однако это и ее минус, поскольку при поступлении вам будут встречаться ТОЛЬКО задачи на вычисление и овладение методами решения ИМЕННО ТАКИХ задач - для вас задача (простите за каламбур) первой значимости. Так что заниматься по Прасолову - вы уже опоздали: по нему надо ставить мозги с самого начала с 7 класса. Правда если вы прорешаете все задачи, ну или хотя бы 75% задач из первых 13 глав (остальное -это олимпиада) и при этом вас не заберут в психушку, то вам прямая дорога на Мехмат, куда вы поступите совершенно не напрягаясь."
О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."
|
||
|
|
||
|
||
