Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д.

2-е изд., стер. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.— 496 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VII ).

Книга является седьмым выпуском комплекса учебников "Математика в техническом университете". Она знакомит читателя с кратными, криволинейными и поверхностными интегралами и с методами их вычисления. В ней уделено внимание приложениям этих типов интегралов, приведены примеры физического, механического и технического содержания. В заключительных главах изложены элементы теории поля и векторного анализа.

Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Формат: djvu

Размер: 7,4 Мб

Скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 11
1. Двойные интегралы 15
1.1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 15
1.2. Определение двойного интеграла 17
1.3. Условия существования двойного интеграла 24
1.4. Классы интегрируемых функций 27
1.5. Свойства двойного интеграла 29
1.6. Теоремы о среднем значении для двойного интеграла 36
1.7. Вычисление двойного интеграла 40
1.8. Криволинейные координаты на плоскости 62
1.9. Замена переменных в двойном интеграле 65
1.10. Площадь поверхности 79
1.11. Несобственные двойные интегралы 84
Вопросы и задачи 93
2. Тройные интегралы 97
2.1. Задача о вычислении массы тела 97
2.2. Определение тройного интеграла 98
2.3. Свойства тройного интеграла 102
2.4. Вычисление тройного интеграла 105
2.5. Замена переменных в тройном интеграле 113
2.6. Цилиндрические и сферические координаты 118
2.7. Приложения двойных и тройных интегралов 128
Вопросы и задачи 149
3. Кратные интегралы 153
3.1. Мера Жордана 153
3.2. Интеграл по измеримому множеству 164
3.3. Суммы Дарбу и критерии интегрируемости функции 168
3.4. Свойства интегрируемых функций и кратного инте¬грала 179
3.5. Сведение кратного интеграла к повторному 183
3.6. Замена переменных в кратном интеграле 190
3.7. Кратные несобственные интегралы 201
Вопросы и задачи 205
4. Численное интегрирование 208
4.1. Использование одномерных квадратурных формул 208
4.2. Кубатурные формулы 219
4.3. Многомерные кубатурные формулы 231
4.4. Метод статистических испытаний 237
4.5. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло 247
Вопросы и задачи 253
5. Криволинейные интегралы 254
5.1. Криволинейный интеграл первого рода 254
5.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода 257
5.3. Механические приложения криволинейного интеграла первого рода 265
5.4. Криволинейный интеграл второго рода 274
5.5. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода 279
5.6. Свойства криволинейного интеграла второго рода . 285
5.7. Формула Грина 288
5.8. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 296
5.9. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала 306
Д.5.1. Криволинейный интеграл в многосвязной области 310
Вопросы и задачи 314
6. Поверхностные интегралы 319
6.1. О задании поверхности в пространстве 319
6.2. Односторонние и двусторонние поверхности 323
6.3. Площадь поверхности 327
6.4. Поверхностный интеграл первого рода 334
6.5. Приложения поверхностного интеграла первого рода 341
6.6. Поверхностный интеграл второго рода 347
6.7. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода 353
6.8. Формула Стокса 356
6.9. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве . 362
6.10. Формула Остроградского — Гаусса 364
Вопросы и задачи 371
7. Элементы теории поля 375
7.1. Скалярное поле 375
7.2. Градиент скалярного поля 380
7.3. Векторное поле 383
7.4. Векторные линии 390
7.5. Поток векторного поля и дивергенция 397
7.6. Циркуляция векторного поля и ротор 407
7.7. Простейшие типы векторных полей 417
Д.7.1. Безвихревое поле в многосвязной области 424
Д.7.2. Векторный потенциал соленоидального поля 430
Вопросы и задачи 435
8. Основы векторного анализа 438
8.1. Оператор Гамильтона 438
8.2. Свойства оператора Гамильтона 444
8.3. Дифференциальные операции второго порядка 448
8.4. Интегральные формулы 452
8.5. Обратная задача теории поля 463
Д.8.1. Дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах 465
Вопросы и задачи 479
Список рекомендуемой литературы 481
Предметный указатель 484