Элементарная математика. Руководство для поступающих в вузы. Будак А.Б., Щедрин Б.М.

3-е изд., перераб. и доп. - М.: УНЦ ДО, 2001.—690 с.

В данной книге содержатся: программа вступительных экзаменов по математике для поступающих в МГУ; методические указания к ответам на теоретические вопросы билетов устного экзамена по математике. Анализ характерных ошибок абитуриентов проводится на примерах вариантов письменных экзаменов предыдущих лет (1993-2000 гг.). Разбор конкретных погрешностей проводится на основе материалов письменных экзаменов 1993-1996 гг. Для самостоятельного разбора и решения предлагаются варианты тех же лет. Задачи устных экзаменов для самостоятельного разбора и решения подобраны за 1989-2000 гг.

В четвертом издании книги исправлены замеченные опечатки 3-го издания, уточнены и упрощены доказательства некоторых утверждений и теорем, уточнены и добавлены некоторые определения, расширен список цитируемой литературы.

Книга будет полезна поступающим в вузы, слушателям подготовительных курсов, подготовительных отделений, преподавателям, учащимся старших классов, школьным учителям.

Формат: djvu / zip

Размер: 9,3 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
РАЗДЕЛ I. 5
1. ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ им. М.В. ЛОМОНОСОВА 5
1.1. Основные понятие 6
1.2. Содержание теоретической части устного экзамена 7
1.2.1. Алгебра 7
1.2.2. Геометрия 8
1.3. Требования к поступающему 9
2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ 10
2.1. Используемые обозначения 10
2.1.1. Алгебра и некоторые формулы векторной алгебры 10
2.1.2. Тригонометрия 16
2.1.3. Геометрия 17
2.2. Формулы и факты элементарной математики 19
2.2.1. Алгебра 19
2.2.2. Геометрия 25
2.2.3. Тригонометрия 32
РАЗДЕЛ II 40
1. КАК ГОТОВИТЬСЯ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ 40
1.1. О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ 40
1.2. О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ 44
РАЗДЕЛ III 47
1. О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В 1993 — 2000 ГОДАХ 47
2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУЩЕННЫЕ АБИТУРИЕНТАМИ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ (ПИСЬМЕННО) В МГУ НА ФАКУЛЬТЕТЫ ВМиК, ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ, ЭКОНОМИЧЕСКИЙ, ИСАА и ВЫЕЗДНЫХ ЭКЗАМЕНАХ 48
2.1. Общие замечания об ошибках, допущенных абитуриентами в 1993 — 2000 годах 48
2.2. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1993 г 50
2.3. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1994 г 52
2.3.1. Факультет ВМиК 52
2.3.2. Экономический факультет 53
2.3.3. Геологический факультет пробный экзамен (май) 54
2.3.4. Геологический факультет основной экзамен (июль) 55
2.3.5. ИСАА 56
2.4. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1995 г 57
2.4.1. Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель) 57
2.4.2. Факультет ВМиК основной экзамен (июль) 58
2.4.3. Экономический факультет, отделение экономики 59
2.4.4. Экономический факультет, отделение менеджмента 59
2.4.5. Геологический факультет пробный экзамен (май) 60
2.4.6. Геологический факультет основной экзамен (июль) 62
2.4.7. ИСАА 63
2.4.8. Выездные экзамены 64
2.5. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1996 г 65
2.5.1. Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель) 65
2.5.2. Факультет ВМиК основной экзамен (июль) 66
2.5.3. Экономический факультет, отделение экономики 66
2.5.4. Экономический факультет, отделение менеджмента 67
2.5.5. Геологический факультет пробный экзамен (май) 68
2.5.6. Геологический факультет основной экзамен (июль) 69
2.5.7. ИСАА 70
2.5.8. Выездные экзамены 71
3. ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ НА ФАКУЛЬТЕТАХ ВМиК, ЭКОНОМИЧЕСКОМ, ГЕОЛОГИЧЕСКОМ и ИСАА в 1993 — 1996 годах 73
3.1. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ (ВМиК) 73
3.2. Экономический факультет МГУ 134
3.3. Геологический факультет МГУ .164
3.4. Институт стран Азии и Африки МГУ (ИСАА) (социально-экономическое отделение) 212
3.5. Варианты выездных письменных экзаменов по математике, проводившихся в Обнинске, Якутске, Надыме, Элисте, Пангоды, Нефтекамске, Магнитогорске, Челябинске, Архангельске, Мурманске, Саяногорске, Петропавловске-Камчатском в 1995 и 1996 годах . . . 231
3.6. Ответы 239
РАЗДЕЛ IV . 248
1. О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ 248
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ОТВЕТАМ НА ВОПРОСЫ БИЛЕТОВ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ 249
2.0. Вводная часть 250
2.0.1. План исследования свойств функции у = f(x) 250
2.0.2. Определения 250
2.0.3. О материале, который поступающие могут использовать на экзаменах без доказательств 252
2.1. Алгебра 260
Вопрос 1. Формулы сокращенного умножения 260
Вопрос 2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 260
Вопрос 3. Свойства числовых неравенств 263
Дополнительный материал к вопросу 3 266
Вопрос 4- Свойства линейной функции и ее график 270
Вопрос 5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. 277
Вопрос 6. Теорема Виета. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители 279
Вопрос 7. Свойства квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с и ее график 280
Вопрос 8. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. 282
Вопрос 9. Свойства арифметических корней п - ой степени. Свойства степеней с рациональными показателями 285
Вопрос 10. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел 289
Вопрос 11. Формулы общего члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии 290
Вопрос 12. Формулы общего члена и. суммы п первых членов геометрической прогрессии 291
Вопрос 13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию 292
Вопрос 14. Свойства показательной функции, и ее график 294
Вопрос 15. Свойства логарифмической функции и ее график. . . . 297
Вопрос 16. Свойства степенной функции с целым показателем и ее график 298
О методе математической индукции (дополнение к вопросам И и 12) 301
2.2. Тригонометрия 303
Вопрос 1. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 311
Вопрос 2. Формулы сложения: cos(a±/3), sin(a±/3), tg(a±/3), ctg(a±/3) 313
Вопрос 3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций: sin a ± sin /3, cos a ± cos /3, tga ± tg/3, ctga ± ctg/3. Преобразование в сумму произведений: cos a cos/?, sin a sin/3, sin a cos/3 316
Вопрос 4» Формулы двойного и половинного аргументов тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Формулы приведения. 317
Вопрос 5. Свойства тригонометрической функции у = sin x и ее график. Решение простейшего тригонометрического уравнения sin х = а. . 322
Вопрос 6. Свойства тригонометрической функции у = cos x и ее график. Решение простейшего тригонометрического уравнения cos х = а. . 323
Вопрос 7. Свойства тригонометрической функции у = tgx и ее график Решение простейшего тригонометрического уравнения tga: = а. . . 323
Вопрос 8. Свойства тригонометрической функции у = ctgx и ее график Решение простейшего тригонометрического уравнения ctgx = а. . . 324
Вопрос 9, Преобразование выражения a sin ж + bcosx с помощью вспомогательного аргумента 324
Свойства тригонометрических функций у = sin х и у = cos x и их графики 326
Свойства тригонометрических функций у = tg х и у = ctg x и их графики 331
2.3. Геометрия ..337
2.3.0. Вводная часть. Об используемой системе основных (первичных) понятий и аксиом; об утверждениях геометрии, которые можно использовать на экзаменах без доказательств; о понятиях луча, отрезка, угла и их свойствах и измерениях 338
I. Аксиомы принадлежности 340
П. Аксиомы порядка 342
III. Аксиомы наложения 363
IV. Аксиомы непрерывности 375
V. Аксиома параллельности прямых 386
VI. О движении в геометрии и его видах 386
VII. О требованиях, предъявляемых к системе аксиом. 388
2.3.1. Основная часть. Ответы на вопросы по геометрии 389
Вопрос 1. Признаки равенства треугольников 389
Вводная часть 389
Основная часть 392
Дополнительная часть . . . 397
Вопрос 2. Свойства вертикальных и смежных углов. Теорема о внешнем угле треугольника 397
Вводная часть . . . 397
Основная часть 399
Дополнительная часть 402
Вопрос 3. Свойства равнобедренного треугольника 404
Вводная часть 404
Основная часть 405
Дополнительная часть 406
Вопрос 4- Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы угла 410
Вводная часть 410
Основная часть 412
Дополнительная часть 414
Вопрос 5. Теоремы о параллельных прямых на плоскости 417
Основная часть 417
Дополнительная часть 421
Вопрос 6. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника 421
Вводная часть 421
Основная часть 422
Дополнительная часть 426
О внутренней и внешней областях простого многоугольника. . . . 428
Вопрос 7. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма. 429
Вводная часть 429
Основная часть 433
Дополнительная часть 436
Вопрос 8. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников. . . . 440
Вводная часть 440
Основная часть 447
Дополнительная часть 452
Вопрос 9. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора 454
Вводная часть 454
Основная часть 458
Дополнительная часть 462
О тригонометрических функциях величины угла треугольника. . . 462
Вопрос 10. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольника. Теорема Пифагора 466
Вводная часть 466
Основная часть 466
Дополнительная часть 468
Вопрос 11. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону 469
Основная часть 469
Дополнительная часть 470
Вопрос 12. Свойства средней линии треугольника. Свойства средней линии трапеции 472
Вводная часть 472
Основная часть 474
Вопрос 13. Теорема косинусов для треугольника 476
Основная часть 476
Дополнительная часть 478
Вопрос 14. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении высот треугольника 479
Вводная часть 479
Основная часть 483
Дополнительная часть 485
Вопрос 15. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Уравнение окружности. . . . 488
Вводная часть 488
Основная часть 492
Дополнительная часть 495
О координатных полуосях, полуплоскостях и четвертях 497
Об окружности и круге, их элементах и свойствах 499
Вопрос 16. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образованном касательной и хордой. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность 523
Вводная часть 523
Основная часть 524
Дополнительная часть 531
Вопрос 17. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. . . . 536
Вводная часть 536
Основная часть 536
Дополнительная часть 538
Вопрос 18. Равенство произведений длин отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата длины отрезка касательной произведению длины отрезка секущей на длину ее внешней части 542
Вводная часть 542
Основная часть 542
Дополнительная часть 544
Вопрос 19. Теорема об окружности, описанной около треугольника. 545
Вводная часть 545
Основная часть 545
Дополнительная часть 546
Вопрос 20. Теорема синусов для треугольника 548
Вводная часть 548
Основная часть 548
Дополнительная часть 550
Вопрос 21. Свойство касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных из одной точки к окружности. Свойство четырехугольника, описанного около окружности 551
Основная часть 551
Дополнительная часть 555
О взаимном расположении двух окружностей на плоскости .... 561
Вопрос 22. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. . . . 570
Вводная часть 570
Основная часть 570
Дополнительная часть . . 572
Вопрос 23. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей 572
Вводная часть 572
Основная часть 574
Дополнительная часть 578
Вопрос 24- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. . . .581
Вводная часть 581
Основная часть 584
Дополнительная часть 588
Вопрос 25. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах 590
Вводная часть 590
Основная часть 592
Дополнительная часть 594
2.3.2. Дополнительная часть 600
2.4. Приложения к методическим материалам вопросов устного экзамена по математике. О выпуклости функций 612
2.4.1. Выпуклость линейной функции 614
2.4.2. Выпуклость квадратичной функции 614
2.4.3. Выпуклость показательной функции 614
2.4.4. Выпуклость логарифмической функции 615
2.4.5. Выпуклость степенной функции хn с отрицательным показателем n 615
2.4.6. Выпуклость степенной функции хn с положительным показателем п 616
2.4.7. Выпуклость тригонометрической функции /(ж) = sin ж . . . 616
2.4.8. Выпуклость тригонометрической функции f(x) = cos ж . . . 617
2.4.9. Выпуклость тригонометрической функции f(x) = tgx .... 618
2.4.10. Выпуклость тригонометрической функции/(ж) = ctgx . . . 619
3. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА УСТНОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРЕДЫДУЩИЕ ГОДЫ ... 620
3.1. Задачи с решениями 620
3.2. Задачи для самостоятельного решения 670
3.3. Ответы и указания 675