Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. Андронов И.К., Окунев А.К.

М.: Просвещение, 1967. - 648с.

Из основ математических наук, изучаемых в средней школе, как показывает опыт, наиболее поверхностно и во многом формально проводится учение о круговых функциях, традиционно называемое тригонометрией. В ней изучаются абстрактно существенные свойства периодических колебательных движений. Тригонометрия дает необходимый метод развития многих понятий и методы решения реальных задач, возникающих в физике, механике, астрономии, геодезии, картографии и других науках.

В предлагаемом нами пособии учитель найдет неформальное, близкое к школе изложение теории круговых функций в органической связи с ее разнообразными приложениями в науке и технике. Рекомендуемый нами метод изложения учебного материала подскажет учителю реальный путь творческого преодоления традиционных недостатков в школьном преподавании тригонометрии.

Книга состоит из трех частей: I. Тригонометрия острого угла; II. Основной курс тригонометрии; III. Дополнительный курс тригонометрии. Каждая часть содержит то, что нужно знать учителю соответствующих школ и классов.

Формат: pdf

Размер: 6,5 Мб

Файл: смотреть, скачать

ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к учителям математики, физики, астрономии и географии 3
Введение , . . . , 7
ЧАСТЬ I. ТРИГОНОМЕТРИЯ ОСТРОГО УГЛА

Гл а в а I. Плоские углы и их косвенные измерения через угловые коэффициенты
§ 1. О непосредственном и косвенном измерении величин . , 17
§ 2. О точности непосредственных и косвенных измерений . 21
§ 3. Косвенное измерение недоступных углов 26
§ 4. Угловой коэффициент, или тангенс острого угла .... 27
§ 5. Составление двузначной таблицы тангенсов острых углов и пользование ею 33
$ 6. Четырехзначные таблицы тангенсов острых углов и пользование ими 37
Глава II. Недоступные отрезки и их косвенное измерение через тангенсы соответствующих углов
§ 7. Определение расстояния между двумя пунктами, когда
один из них недоступен 43
§ 8. Определение расстояния между двумя пунктами, к которым невозможно подойти 46
Глава III. Функции острого угла — тангенс, синус и косинус и их практическое применение
§ 9. Что такое функция? 49
§ 10. Синус острого угла 50
§ 11. Косинус острого угла . 54
§ 12. Построение и чтение таблицы синусов и косинусов острых углов 57
§ 13. Применение синуса и косинуса при косвенных измерениях недоступных углов и расстояний 60
Глава IV. Геометрические задачи и методы их решения
§ 14. Графический и вычислительный методы решения геометрических задач и их достоинства и недостатки 69
§ 15. Треугольник как элемент любой прямолинейной фигуры 71
§ 16. Вычислительный тригонометрический метод решения прямоугольных треугольников 72
§ 17. Решение любых треугольников через сведение к решению прямоугольных треугольников 75
? 18. Вычислительный тригонометрический метод решения многоугольников через сведение к решению треугольников 83
Заключение , , , 94
Таблицы .,,.,,, 95
ЧАСТЬ II. ОСНОВНОЙ КУРС ТРИГОНОМЕТРИИ
Глава I. Обобщение понятия угла и круговой дуги. Числовая окружность
§ 1. Необходимость обобщения понятия угла и круговой дуги при изучении вращательных движений 99
§ 2. Обобщенный угол и обобщенная круговая дуга .... 100
§ 3. Арифметические операции над обобщенными дугами и углами 104
§ 4. Различные меры углов и дуг и выделение наиболее удобной радианной меры 106
§ 5. Числовая окружность . . 111
Глава П. Круговые функции действительного числа
§ 6. Простейшие периодические процессы 120
§ 7. Определение круговых (тригонометрических) функций . 123
§ 8. Круговые функции любого действительного числа как обобщение тригонометрических функций острого угла . 132
§ 9. Независимость круговых функций от длины радиуса числовой окружности 136
§ 10. Непрерывность круговых функций 137
Глава III. Закономерность изменения круговых функций с изменением их аргументов
§ 11. Характеристика изменения синуса .,,,,,,..,, 145
§ 12. Характеристика изменения косинуса . 149
§ 13. Характеристика изменения тангенса 153
§ 14. Характеристика изменения котангенса 158
Глава IV. Основные свойства круговых функций, выражаемые в соответствующих тригонометрических тождествах
§ 15. Периодические функции и их графики , 161
§ 16. Периодичность и периоды круговых функций. Приводимость аргументов круговых функций к аргументам промежутков [0s 2п] и [0; я] .. 165
§ 17. Четные и нечетные функции и приводимость аргументов круговых функций к положительному аргументу .... 169
§ 18. Сведение круговых функций любого аргумента к тем же функциям положительного аргумента, не превышающего — 174
§ 19. Сведение круговых функций любого аргумента к соименным круговым функциям положительного аргумента не превышающего — 176
§ 20. Алгебраическая зависимость между круговыми функциями одного аргумента и возможность сведения каждой из шести круговых функций к одной из них ..... 183
§ 21. Тождества и тождественные преобразования круговых функций , 191
Глава V. Обобщенные круговые функции
§ 22. Гармонические колебательные движения и необходимость
обобщения понятий круговых функций 196
§ 23. Графики функций k sin {аг + 6) и k cos {аг + b) и роль параметров a, b, k 200
§ 24. Применение обобщенных круговых функций при рассмотрении простых гармонических колебательных движений 210
Глава VI. Круговые функции от алгебраической суммы аргументов
§ 25. Практическая необходимость знания тождеств, выражающих круговые функции от суммы аргументов через круговые функции от слагаемых 222
§ 26. Синус и косинус от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические тождества 224
§ 27. Синус и косинус суммы двух аргументов в новом изложении 232
§ 28. Формулы для нахождения синуса и косинуса разности аргумента 244
§ 29. Тангенс и котангенс от алгебраической суммы двух аргументов и соответствующие тригонометрические тождества 247
§ 30, Следствия из теорем о круговых функциях от алгебраической суммы двух аргументов 248
§ 31. Преобразование произведения круговых функций в сумму и обратное преобразование суммы круговых функций в произведение 255
Глава VII. Таблицы круговых функций и их логарифмов с соответствующей точностью
§ 32. Основные тригонометрические неравенства ...».,, 265
§ 33. Составление таблиц круговых функций » 269
§ 34. Таблицы логарифмов круговых функций и их построение 271
Глава VIII. Обратные круговые функции
§ 35. Понятие об обратной функции к данной функции . . , 278
§ 36. Связь между графиками прямой и обратной функции , 280
§ 37. Арксинус — функция, обратная синусу , 282
§ 38. Арккосинус—функция, обратная косинусу ...... 291
§ 39. Арктангенс — функция, обратная тангенсу ...... 297
§ 40. Арккотангенс — функция, обратная котангенсу .... 302
§ 41. Тригонометрические операции над аркфункциями . , . 307
§ 42. Простейшие зависимости между аркфункциями .... 309
Глава IX. Уравнения и системы уравнений, рассматриваемые в тригонометрии
§ 43. Тригонометрические уравнения и их решения 317
§ 44. Классификация тригонометрических уравнений с одним неизвестным « 321
§ 45. Тригонометрические уравнения I основного типа: АТ{ох-\-Ъ) = д 324
; 46. Тригонометрические уравнения II основного типа Т(ах-\-
-\- b) = T (atx-\- bi), где левые и правые части суть одноименные круговые функции 328
§47. Тригонометрические уравнения III типа Т (ах -)-6) = = Ts (a-[X + 6j), в которых левые и правые части суть
соименные круговые функции 332
$ 48. Тригонометрические уравнения IV типа f [Т (ах-\- Ь)]=0, в которых совершаются алгебраические операции только
над одной круговой функцией с одним и тем же аргументом ... 334
§ 49. Тригонометрические уравнения V типа /i [П (а,* + Ьх) ]./« [Т2 (а2х + bt) ].. fk [Тк (а1гх + Ь*)]=0,
где левая часть есть произведение функций вида левой
части уравнений IV типа 337
§ 50. Тригонометрические уравнения VI типа /[sin(a*+6), cos (a*+6), tg (ax+b), ctg (ax -f- b),
sec (ax + b), csc (ax -f- b) ] = 0, где выполняются алгебраические действия над несколькими круговыми функциями одного аргумента 340
§ 51. Тригонометрические уравнения VII типа / [Т (сцх +6,), Т (а2х + Ь2), Т (а3х + 6,) ] = 0, где производятся какие-либо алгебраические действия над одной
и той же круговой функцией с различными аргументами 360
§ 52. Тригонометрические уравнения VIII типа ЦШъх+Ьд, Т2(а2х+Ь2), Ts(a3x+bs) =0, с ал¬
гебраическими действиями над несколькими круговыми функциями с различными аргументами , 365
§ 53. Трансцендентные уравнения, сводимые к тригонометрическим уравнениям 370
§ 54. Трансцендентные уравнения, содержащие неизвестные под знаками круговых функций, но не сводимые к тригонометрическим уравнениям 373
§ 55. Уравнения, образованные аркфункциями 378
§ 56. Простейшие системы тригонометрических уравнений . 389
§ 57. Некоторые задачи, сводимые к исследованию круговых функций 400
Глава X, Триангуляция
§ 58. Треугольник как элемент геометрических фигур . . , 409
§ 59. Зависимость между основными элементами треугольника 412
§ 60. Эквивалентность трех основных систем соотношений между элементами треугольника 417
§ 61. Основные четыре случая решения треугольникои ... 421
§ 62. Нахождение неосновных элементов треугольника . . . 440
§ 63. Понятие об общем методе решения треугольников ... 451
§ 64. Решение четырехугольников через сведение к системе треугольников 464
§ 65. Решение простых многоугольников с любым числом сторон , , 467
§ 66. Решение стереометрических задач 471
Приложение ..,,.. 479
ЧАСТЬ III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КУРС ТРИГОНОМЕТРИИ
Приложение круговых функций в сферической геометрии, геодезии и астрономии
Глава I. Сферические двуугольники и треугольники
§ 1. Простейшие образы сферической геометрии — точки и большие круги на сфере 483
§ 2. Сферический двуугольник ! . 486
§ 3. Сферический треугольник , 488
§ 4. Площадь и сумма углов сферического треугольника , . 491
Глава II. Основные формулы, выражающие зависимости между сторонами
и углами сферического треугольника
§ 5. Понятие о решении сферического треугольника .... 495
§ 6. Формулы I группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между тремя сторонами и одним углом 497
§ 7. Приложение формул I группы в геометрии и геодезии 500
§ 8. Формулы II группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между сторонами и противолежащими им углами 507
§ 9. Формулы III группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между двумя сторонами, углом между ними и углом, лежащим против одной из этих сторон 510
§ 10. Формулы IV группы, выражающие зависимость в сферическом треугольнике между всеми тремя углами и одной из его сторон 514
§ 11. Формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами прямоугольного сферического треугольника . 516
Глава III, Приложение сферической тригонометрии в астрономии
§ 12. Небесная сфера и ее элементы 524
§ 13. Определение положения небесных светил с помощью сферических координат ... 526
§ 14. Задачи из астрономии и их решение 530
Приложение круговых функций в алгебре
Глава IV. Алгебраические операции
с комплексными числами, представленными в тригонометрическом виде
§ 15. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости и конкретное истолкование действий I ступени с этими числами 539
§ 16. Комплексные числа в тригонометрической форме . . . 546
§ 17. Действия II ступени с комплексными числами в тригонометрической форме и геометрическое истолкование этих действий 550
§ 18. Действия III ступени с комплексными числами в тригонометрической форме 556
Глава V. Использование тригонометрической формы комплексных чисел для обобщения теоремы сложения
круговых функций и ее следствий
§ 19. Круговые функции от суммы п аргументов 561
§ 20. Круговые функции от краткого аргумента 564
§ 21. Круговые функции от n-й доли аргумента 566
§ 22. Использование тригонометрической и показательной форм комплексных чисел для преобразования некоторых тригонометрических выражений 568
Глава VI. Использование тригонометрической формы
комплексных чисел при решении алгебраических уравнений
§ 23. Двучленные уравнения и их приложение в теории построения правильных многоугольников 579
$ 24. Алгебраические уравнения третьей степени и задача о трисекции угла 587
Неалгебраические элементарные функции от комплексного аргумента
Глава VII. Показательная функция
§ 25. Один из замечательных пределов в математике .... 605
§ 26. Функция ех и ее приложения 611
I 27. Определение показательной функции ег с комплексным аргументом 616
Глава VIII, Круговые функции от комплексного аргумента
§ 28. Замечательные формулы Эйлера 622
§ 29. Определение круговых функций от комплексного аргумента 624
§ 30. Логарифм от комплексного аргумента 628
Ответы 632