Векторно-координатный метод решения задач стереометрии. Потоскуев Е.В.

М.: 2019 - 224 с.

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Выработка навыков и умений решать геометрические задачи векторно-координатным методом развивает и повышает математическую культуру учащихся — будущих студентов • вузов физико-математической и естественно-научной направленности. В этой книге ведется разговор о применении векторов и координат при решении задач позиционного и метрического характера в процессе изучения таких разделов стереометрии в 10-11 классах, как геометрия прямых и плоскостей, геометрия многогранников и фигур вращения. При этом большое внимание уделено вопросам верного, наглядного изображения пространственных фигур на плоскости и корректной аргументации утверждений — проблем, возникающих при изучении стереометрии в 10-11 общеобразовательных классах, классах с углубленным и профильным изучением математики: эти проблемы носят общий характер, вне зависимости от профиля и использования того или иного учебника.

Формат: pdf

Размер: 3,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АФФИННОЙ СТЕРЕОМЕТРИИ 11
1.1. Линейные операции над векторами в пространстве 13
Подготовительный набор задач 18
1.2. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 22
Подготовительный набор задач 24
1.3. Содержательные аффинные задачи стереометрии 26
Задачи для самостоятельного решения 35
ГЛАВА 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СТЕРЕОМЕТРИИ 36
2.1. Начала метрической стереометрии 36
Подготовительный набор задач 38
2.2. Содержательные метрические задачи стереометрии 41
Задачи для самостоятельного решения 44
Задачи для самостоятельного решения 53
Задачи для самостоятельного решения 56
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ, ПЛОСКОСТЕЙ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ В КООРДИНАТАХ 57
3.1. Линейные операции над векторами в координатах ...58
3.2. Скалярное произведение векторов в координатах 60
3.3. Подготовительный набор задач 62
3.4. Содержательные метрические задачи стереометрии 65
3.4.1. Расстояния в пространстве 67
а) Расстояние от точки до прямой. Задачи 67
Задачи для самостоятельного решения 71
б) Расстояние от точки до плоскости. Задачи 71
Задачи для самостоятельного решения 75
в) Расстояние между скрещивающимися прямыми. Задачи 76
Задачи для самостоятельного решения 84
3.4.2. Углы в пространстве 85
а) Угол между двумя прямыми. Задачи 85
Задачи для самостоятельного решения 87
б) Угол между прямой и плоскостью. Задачи 88
Задачи для самостоятельного решения 92
в) Угол между плоскостями. Задачи 93
Задачи для самостоятельного решения 97
ГЛАВА 4. СФЕРА И МНОГОГРАННИКИ В КООРДИНАТАХ 98
Подготовительные задачи 101
Задачи для самостоятельного решения 111
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 112
1. Определители второго и третьего порядка 112
Задачи 122
2. Векторное произведение двух векторов 123
2.1. Ориентация троек некомпланарных векторов 123
2.2. Определение векторного произведения векторов 125
2.3. Свойства векторного произведения векторов. Векторное произведение векторов в координатах 125
Задачи 132
ГЛАВА 6. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СТЕРЕОМЕТРИИ 137
Определение смешанного произведения трех векторов и его свойства 137
Алгебраические свойства смешанного произведения трех векторов 138
Геометрические свойства смешанного произведения трех векторов 140
Задачи 144
ГЛАВА 7. СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГОГРАННИКОВ И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ 164
Правильная шестиугольная призма как модель геометрии прямых и плоскостей 164
1. Расстояние между точками. Задачи 164
Задачи для самостоятельного решения 166
2. Расстояние отточки до прямой. Задачи 167
Задачи для самостоятельного решения 169
3. Расстояние от точки до плоскости. Задачи 170
Задачи для самостоятельного решения 173
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Задачи 173
Задачи для самостоятельного решения 178
О наименьших значениях площадей в геометрии 179
Задачи 179
Задачи для самостоятельного решения 196
Комбинации фигур вращения и многогранников 197
ПРИЛОЖЕНИЕ 210
ОТВЕТЫ 218
ЛИТЕРАТУРА 223

В данной книге речь идет о динамике развития геометрической культуры учащихся, о выработке у них (при решении задач любого уровня сложности) умений аргументированно обосновывать логические утверждения, геометрические построения и вычислительные операции, необходимые для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Требования корректно обосновывать любое геометрическое утверждение способствуют развитию логического мышления, пространственного воображения и повышению математической культуры учащихся. Поэтому обучение языку геометрии является одной из важнейших целей математического образования, интеллектуального развития творческой личности. Заметим при этом, что хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление необходимо не только математику, но и инженеру, и экономисту, и дизайнеру, и юристу, и программисту, а также специалистам многих и многих других профессий.
Опыт работы свидетельствует, что осознанное решение геометрических задач (планиметрических и стереометрических) достигается учащимися, если изучение геометрического материала согласуется с наглядно-модельным принципом его изложения: решение геометрической задачи начинается с аргументированного построения рисунка, обладающего наглядностью и простотой, и сопровождается аргументированными обоснованиями возникающих логических утверждений, дополнительных геометрических построений и вычислительных операций. С самых первых уроков изучения геометрии необходимо выработать понимание учащимися, что аргументация шагов построения изображений фигур, соответствующих условию геометрической задачи, составляет своеобразный анализ пути её решения.