Математика в экономике. В 2 ч. Солодовников А.С., Бабайцев В.А. и др.

3-е изд., перераб. и доп. - М.: 2013. — Ч.1 - 384 с.; Ч.2 - 560 с.

В части 1 Изложены темы: арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели, элементы аналитической геометрии, метод наименьших квадратов выпуклые множества, линейное программирование, двойственность. В отличие от 2-го издания (2003 г.) добавлена глава «Комплексные числа», переработана глава о линейных преобразованиях и квадратичных формах, расширены главы, посвященные элементам аналитической геометрии и вопросам линейного программирования и др.

Часть 2 посвящена математическому анализу функций одной и нескольких переменных, выпуклому анализу, рядам и дифференциальным уравнениям. В отличие от второго издания (2003 г.) в новом выпуске учебника уточнены некоторые формулировки.

Для преподавателей и студентов экономических вузов, бизнес-школ, а также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике.

Часть 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование.

Формат: pdf

Размер: 2,1 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Часть 2. Математический анализ.

Формат: pdf

Размер: 3,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Математика в экономике. В 2 ч. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. (2013; 384с., 560с.)

Математика в экономике. Теория вероятностей. Курс лекций. Бабайцев В.А., Солодовников А.С., Браилов А.В. (2002, 232с.)

Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3 ч. Бабайцев В.А., Солодовников А.С. и др. (2013; 256с., 368с., 128с.)

Часть 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование.
Предисловие 7
Глава 1. Линейные пространства и системы линейных уравнений 9
§1.1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса 9
1. Основные понятия (9). 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (11). 3. Однородные системы линейных уравнений (16).
§ 1.2. Линейные пространства 17
1. Арифметические векторы и действия над ними. Пространство Ш" (17). 2. Линейные пространства общего вида (20). 3. Подпространство линейного пространства (22).
§1.3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов 23
1. Системы векторов в линейном пространстве (23). 2. Линейная зависимость векторов и ее свойства (25). 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы в пространстве Ш" (28). 4. Линейно зависимые и линейно независимые системы в пространстве Ш (32).
§ 1.4. Базис и размерность линейного пространства 33
1. Базис и размерность линейного пространства (33). 2. Ранг и базис системы векторов (38).
§ 1.5. Евклидовы пространства 40
1. Основные понятия и примеры (40). 2. Неравенство Коши -Буняковского (43). 3. Ортогональные системы векторов (45). 4. Ортонормированные системы векторов (48). 5. Ортогональное дополнение подпространства (50).
Глава 2. Матрицы и определители 52
§ 2.1. Матрицы и операции над ними 52
1. Основные понятия и определения (52). 2. Операции над матрицами (54).
§ 2.2. Матрицы и системы линейных уравнений 62
1. Матричная запись систем линейных уравнений (62). 2. Ранг матрицы и элементарные преобразования (63). 3. Пространство решений однородной системы уравнений (65). 4. Неоднородные линейные системы и подпространства в Ш" (70).
§ 2.3. Определители 71
1. Определители второго и третьего порядка (71). 2. Миноры и алгебраические дополнения (73). 3. Определитель матрицы n-го порядка (75). 4. Свойства определителей (77). 5. Практический способ вычисления определителей (81).
§ 2.4. Обратная матрица 83
1. Определение обратной матрицы (83). 2. Невырожденные матрицы (84). 3. Первый способ нахождения обратной матрицы (87). 4. Необходимое и достаточное условие невырожденности матрицы (89). 5. Второй способ нахождения обратной матрицы (91). 6. Решение системы n х n с помощью обратной матрицы (93). 7. Правило Крамера для системы n х n (94).
§ 2.5. Преобразование координат вектора при замене базиса.... 97
Глава 3. Комплексные числа 102
§3.1. Алгебраическая форма комплексного числа 102
1. Определение комплексного числа (102). 2. Операции над комплексными числами (103).
§3.2. Тригонометрическая форма комплексного числа 106
1. Геометрическое изображение комплексных чисел (106). 2. Модуль и аргумент комплексного числа (107). 3. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме (Ю9).
§ 3.3. Многочлены в комплексной области 113
1. Теорема о существовании корня (113). 2. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители (113). 3. Сумма кратностей всех корней многочлена (115). 4. Многочлены с действительными коэффициентами (116).
Глава 4. Линейные преобразования и квадратичные формы 119
§ 4.1. Линейные преобразования и матрицы 119
1. Определение линейного преобразования. Примеры (119). 2. Матрица линейного преобразования (121). 3. Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису (124).
§ 4.2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 126
1. Модель международной торговли (126). 2. Определения и примеры (128). 3. Характеристическое уравнение (131).
§ 4.3. Симметрические линейные преобразования 134
1. Основные определения (134). 2. Собственные векторы и собственные значения симметрического линейного преобразования (135).
§ 4.4. Квадратичные формы 139
1. Основные определения (139). 2. Преобразование квадратичной формы при замене переменных (140). 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (142). 4. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду (144). 4. Закон инерции квадратичных форм (149). 5. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (151).
Глава 5. Неотрицательные матрицы и линейные экономические модели 156
§ 5.1. Собственные векторы неотрицательных матриц 156
§ 5.2. Балансовые модели 161
1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (161). 2. Продуктивные модели Леонтьева (165). 3. Вектор полных затрат (173). 4. Модель равновесных цен (175).
§5.3. Дополнение к модели международной торговли 177
Глава 6. Элементы аналитической геометрии 181
§ 6.1. Точечные пространства 181
§6.2. Координаты в конечномерном точечном пространстве.... 184
§ 6.3. Прямая в n-мерном пространстве. Отрезок 187
§6.4. Различные виды плоскостей в n-мерном пространстве 188
§ 6.5. Геометрические объекты на плоскости и в пространстве 191
§ 6.6. Точечные евклидовы пространства 195
§ 6.7. Расстояние от точки до гиперплоскости 199
§ 6.8. Выпуклые множества. Полупространство как выпуклое множество 202
§ 6.9. Угловые точки выпуклых многогранных областей 205
§ 6.10. Выпуклая оболочка системы точек 209
§ 6.11. Кривые второго порядка 214
1. Эллипс (214). 2. Гипербола (219). 3. Парабола (223). 4. Общее уравнение кривой второго порядка (225).
§ 6.12. Поверхности второго порядка 228
1. Эллипсоид (229). 2. Другие типы поверхностей второго порядка (231).
Глава 7. Введение в линейное программирование 236
§ 7.1. Общая задача оптимизации. Линейное программирование. Основные задачи 236
§7.2. Геометрия задачи линейного программирования 247
§ 7.3. Примеры решения задачи линейного программирования путем последовательного исключения неизвестных 258
§ 7.4. Строение множества оптимальных решений 264
§ 7.5. Графический метод решения задачи линейного программирования при малом числе переменных 268
Глава 8. Решение общей задачи линейного программирования 275
§ 8.1. Симплекс-метод 275
§ 8.2. Симплекс-таблицы 284
§ 8.3. Работа с целевой функцией 289
§ 8.4. Метод искусственного базиса. Двухфазный симплекс-метод 293
§ 8.5. Теорема о конечности симплекс-алгоритма 304
Глава 9. Теория двойственности 312
§ 9.1. Взаимно двойственные задачи линейного программирования 312
1. Постановка взаимно двойственных задач (312). 2. Основное неравенство для двойственных задач (317).
§ 9.2. Дополнительные сведения о системах линейных неравенств 319
§ 9.3. Теоремы о следствиях системы неравенств 322
§9.4. Основная теорема двойственности и ее следствия 326
§ 9.5. Применение двойственности в однопродуктовой задаче 334
§ 9.6. Другое доказательство основной теоремы двойственности. Метод одновременного решения пары двойственных задач 341
§ 9.7. Несимметричные двойственные задачи 347
Глава 10. Метод наименьших квадратов и его приложения 351
§ 10.1. Метод наименьших квадратов 351
§ 10.2. Применение метода наименьших квадратов 356
§10.3. Случай линейной зависимости между переменными 362
Приложение. Основная теорема алгебры и разложение на простейшие дроби 368
Рекомендуемая литература 375
Предметный указатель 376

Часть 2. Математический анализ.
Предисловие 10
Глава 1. Введение в анализ 11
§ 1.1. Понятие функции. Числовые функции и графики. Обратная и сложная функции 11
§ 1.2. Предел числовой последовательности 18
1. Определения. Примеры (18). 2. Основные свойства пределов последовательностей (20). 3. Общие правила нахождения пределов (22). 4. Монотонные последовательности и их пределы (23). 5. Бесконечные пределы (24).
§ 1.3. Число е 25
§ 1.4. Предел функции 27
1. Определение и примеры (27). 2. Основные свойства пределов функции (28). 3. Общие правила нахождения пределов функций (30). 4. Более общий подход к понятию предела функции (31). 5. Предел при х —> +оо или х —> -оо. Бесконечный предел (32).
§ 1.5. Два замечательных предела 33
§ 1.6. Формула непрерывных процентов 36
§1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 38
§ 1.8. Непрерывность функции 39
1. Непрерывность функции в точке (39). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями (42). 3. Постоянство знака непрерывной функции (43). 4. Расширение понятия непрерывности функции в точке (44).
§ 1.9. Теорема о стягивающихся отрезках. Точные границы числового множества 45
§ 1.10. Свойства функций, непрерывных на отрезке 48
1. Теорема о существовании корня (49). 2. Теорема о промежуточном значении (50). 3. Ограниченность непрерывной функции (50). 4. Достижение крайних значений (51). 5. Множество значений непрерывной функции (52). 6. Равномерная непрерывность (53).
§ 1.11. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций 53
§ 1.12. Паутинные модели рынка 56
§ 1.13. Функции нескольких переменных 59
1. Определение функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня (59). 2. Элементарные функции нескольких переменных (61).
§ 1.14. Сходимость точек в Ш". Открытые и замкнутые множества. Предел и непрерывность для функций нескольких переменных 62
1. Расстояние между точками в Ш (62). 2. Сходимость точек в К" (63). 3. Открытые и замкнутые множества в К" (66). 4. Предельные точки множества. Изолированные точки (67). 5. Предел и непрерывность функций нескольких переменных (68).
§ 1.15. Свойства непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах 70
§ 1.16. Множества, заданные с помощью неравенств 73
Приложения к главе 1 74
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 79
§ 2.1. Производная функции в точке 79
1. Определение производной (79). 2. Физический смысл производной (81). 3. Геометрический смысл производной (81). 4. Уравнение касательной (83). 5. Односторонние производные (84).
§ 2.2. Дифференцируемость и непрерывность 85
§ 2.3. Правила дифференцирования 87
§ 2.4. Производные элементарных функций 91
1. Производная логарифмической функции (92). 2. Производная показательной функции (93). 3. Производная степенной функции (93). 4. Производные тригонометрических функций (94). 5. Производные обратных тригонометрических функций (95).
§2.5. Дифференциал и приближенные вычисления 97
§ 2.6. Предельные величины в экономике 100
§ 2.7. Логарифмическая производная 102
§ 2.8. Эластичность и ее свойства 106
1. Геометрический смысл эластичности (111). 2. Ценовая эластичность спроса (113).
§ 2.9. Распределение налогового бремени 115
§ 2.10. Теоремы о промежуточных значениях 118
§ 2.11. Правило Лопиталя 122
§ 2.12. Цены, предельные издержки и объем производства 126
§ 2.13. Высшие производные 130
1. Производная порядка п степенной функции (130). 2. Производная порядка п показательной функции (131). 3. Производные порядка п функций sinx, cosx (132). 4. Производная порядка п функции у = In x (132).
§ 2.14. Применение производных к исследованию функций 132
1. Возрастание и убывание функции (132). 2. Экстремум функции (135). 3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (138). 4. Оценка числа корней уравнения (140).
§2.15. Функция предложения конкурентной фирмы 142
§ 2.16. Выпуклые функции 148
§ 2.17. Неравенство Йенсена и средние величины 159
§ 2.18. Формула Тейлора 164
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 171
§ 3.1. Частные производные 171
§ 3.2. Полный дифференциал и дифференцируемость функции 174
§ 3.3. Достаточные условия дифференцируемости 177
§ 3.4. Дифференцируемость сложной функции 180
§ 3.5. Производная по направлению. Градиент 182
§ 3.6. Касательные прямые и плоскости 187
§ 3.7. Предельная полезность и предельная норма замещения. 191
§3.8. Эластичность функции нескольких переменных 193
§ 3.9. Однородные функции. Формула Эйлера 197
§ 3.10. Частные производные высших порядков 199
§ 3.11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных 202
§ 3.12. Локальный экстремум функции нескольких переменных 208
1. Необходимые условия первого порядка (208). 2. Необходимые условия второго порядка (210). 3. Достаточные условия существования локального экстремума (212). 4. Экономические приложения (215).
§ 3.13. Условный экстремум 217
§3.14. Выпуклые функции нескольких переменных 224
§3.15. Квадратичные формы и выпуклые функции 233
§ 3.16. Экстремумы и стационарные точки выпуклых функций 236
1. Глобальные и локальные экстремумы (236). 2. Стационарные точки и глобальные экстремумы (237). 3. Единственность экстремума выпуклой функции (238).
§ 3.17. Теорема Куна - Таккера 240
1. Постановка задачи выпуклого программирования (241). 2. Необходимое условие экстремума (243). 3. Достаточное условие экстремума (247). 4. Включение уравнений в систему ограничений (253). 5. Связь с седловыми точками (257).
§ 3.18. Функции спроса 259
§ 3.19. Уравнения Слуцкого 262
Глава 4. Определенный интеграл и его приложения 275
§ 4.1. Неопределенный интеграл и его свойства 275
1. Первообразная и неопределенный интеграл (275). 2. Свойства неопределенного интеграла (277). 3. Таблица основных интегралов (279).
§ 4.2. Методы интегрирования 281
1. Интегрирование методом замены переменной (281). 2. Метод интегрирования по частям (284).
§ 4.3. Интегрирование некоторых классов функций 287
1. Интегрирование рациональных функций (287). 2. Интегрирование тригонометрических функций (292). 3. Использование справочников и математических процессоров. Неберущиеся интегралы (294).
§ 4.4. Определенный интеграл 295
1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции (295). 2. Понятие определенного интеграла (299). 3. Интегрируемость непрерывной функции (304). 4. Аддитивность определенного интеграла (305). 5. Теорема о среднем для определенного интеграла (307).
§ 4.5. Формула Ньютона - Лейбница 308
1. Интеграл с переменным верхним пределом (308). 2. Формула Ньютона - Лейбница (311). 3. Свойства определенного интеграла (313). 4. Интегрирование по частям в определенном интеграле (315). 5. Замена переменной в определенном интеграле (316).
§ 4.6. Приложения определенного интеграла 318
1. Вычисление площадей плоских фигур (318). 2. Вычисление объема тела вращения (321). 3. Экономические приложения определенного интеграла (324).
§ 4.7. Несобственные интегралы 328
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (328). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (331). 3. Признаки сходимости несобственных интегралов (334).
§ 4.8. Приближенное вычисление определенных интегралов .. 338
1. Формула прямоугольников (339). 2. Формула Симпсона (341).
Глава 5. Числовые и степенные ряды 345
§ 5.1. Понятие числового ряда 345
1. Основные определения (345). 2. Свойства сходящихся рядов (348). 3. Необходимый признак сходимости ряда (350).
§ 5.2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости 352
1. Критерий сходимости (352). 2. Достаточные признаки сходимости (352). 3. Оценка остатка ряда (360).
§ 5.3. Знакопеременные ряды 362
1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (362). 2. Ряды с членами произвольного знака. Плюс- и минус-ряды для данного ряда (364). 3. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства (365). 4. Условно сходящиеся ряды (366).
§ 5.4. Степенные ряды 368
1. Степенной ряд. Теорема Абеля (368). 2. Область сходимости степенного ряда (370). 3. Отыскание радиуса сходимости степенного ряда (371). 4. Свойства степенных рядов (373).
§ 5.5. Разложение функций в степенные ряды 374
1. Ряд Маклорена (374). 2. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена (376). 3. Разложение функции ех (377). 4. Разложение функций sin x и cos x (378). 5. Разложение функций 1п(1 +х) и arctgx (379). 6. Разложение функции (1+х)а (380).
§ 5.6. Степенные ряды с произвольным центром 382
1. Интервал сходимости (382). 2. Ряд Тейлора (383).
§ 5.7. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям 384
1. Вычисление значений показательной функции (384). 2. Вычисление значений логарифмической функции (386). 3. Вычисление значений синуса и косинуса (387). 4. Приближенное нахождение интегралов (388).
§ 5.8. Ряды из матриц 390
1. Последовательности из матриц (390). 2. Ряды из матриц. Определения и примеры (392). 3. Степенные матричные ряды (393).
Глава 6. Кратные интегралы 396
§ 6.1. Двойной интеграл и его свойства 396
1. Определение двойного интеграла (396). 2. Геометрический смысл двойного интеграла (399). 3. Свойства двойного интеграла (401).
§ 6.2. Для каких функций существует двойной интеграл? 406
§ 6.3. Сведение двойного интеграла к повторному 409
§6.4. Другой подход к понятию двойного интеграла 413
§ 6.5. Замена переменных в двойном интеграле 414
1. Предварительная формула замены переменных (415).
2. Вычисление T(Q). (417). 3. Окончательный вид формулы замены переменной в кратном интеграле (419).
§ 6.6. Тройной интеграл 421
§ 6.7. Несобственные кратные интегралы 425
Глава 7. Дифференциальные уравнения 435
§ 7.1. Общие понятия и примеры 435
§7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 437
§ 7.3. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения 443
§ 7.4. Математические модели экономической динамики с непрерывным временем 448
1. Модель естественного роста (рост при постоянном темпе) (449). 2. Логистический рост (451). 3. Неоклассическая модель роста (456).
§ 7.5. Однородные уравнения 459
§ 7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 464
§ 7.7. Уравнения Бернулли и Риккати 470
§ 7.8. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 475
§7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков 479
1. Общие сведения (479). 2. Уравнения, допускающие понижение порядка (480).
§ 7.10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 484
§ 7.11. Линейные однородные уравнения. Фундаментальный
набор решений 488
§ 7.12. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 492
1. Линейные однородные уравнения (492). 2. Линейные неоднородные уравнения (498).
§ 7.13. Системы дифференциальных уравнений 507
§ 7.14. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка 509
1. Общие сведения о линейных системах (509). 2. Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка (511).
§ 7.15. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 513
1. Однородные линейные системы (513). 2. Неоднородные линейные системы (529).
§ 7.16. Разностные уравнения 535
1. Общие понятия и примеры (535). 2. Линейные разностные уравнения (537).
§ 7.17. Модели экономической динамики с дискретным временем 544
1. Модель Самуэльсона-Хикса (544). 2. Паутинная модель рынка (546). 3. Задача об определении текущей стоимости купонной облигации (547).
Рекомендуемая литература 550
Предметный указатель 551

В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка статистических данных и т.д. Касаясь вопроса о сильных и слабых сторонах математических методов в экономике, отметим несколько моментов.
Первое - это то, что математика по самой ее сути не может оперировать с нечетко, а тем более некорректно определенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, то должны четко сформулировать задачу. Иначе говоря, применение математики с самого начала вызывает необходимость в уточнении понятий. Это, безусловно, ценное качество математических методов исследования.
Другой сильной стороной в применении математики является глубокая продвинутость математических теорий (ведь математика -одна из древнейших наук). Линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения, математическое программирование -эти и другие разделы математики предоставляют к услугам пользователей очень мощный и развитый математический аппарат.
Однако в случае применения математических методов при попытке формализовать экономическую ситуацию в полной общности может получиться очень сложная математическая задача. Тогда, чтобы ее упростить, вводят допущения, часто неоправданные с точки зрения экономистов. Поэтому пользователя подстерегает опасность заниматься математическими выкладками вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбы с этим - проверка опытными данными выводов математической теории.