Вероятность. В 2-х кн. Ширяев А.Н.

4-е изд., перераб. и доп. - М.: 2007. — Кн.1 - 552с., Кн.2 - 416с.

Настоящее издание (в двух книгах «Вероятность –– 1» и «Вероятность –– 2») представляет собой расширенный курс лекций по теории вероятностей.

Первая книга «Вероятность–– 1» содержит материал, относящийся к элементарной теории вероятностей, и может служить пособием для первичного ознакомления с предметом. Большой материал отводится математическим основаниям теории вероятностей, базирующимся на аксиоматике Колмогорова, рассматриваются основные вопросы предельных теорем теории вероятностей.

Вторая книга «Вероятность–– 2» посвящена случайным процессам с дискретным временем. Книги рассчитаны на студентов физико-математических специальностей университетов. Могут служить учебным пособием для аспирантов и справочным пособием для специалистов.

Книга 1.

Формат: pdf

Размер: 3,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Книга 2.

Формат: pdf

Размер: 2,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

Вероятность. В 2-х кн. Ширяев А.Н. (2007; 552с., 416с.)

Задачи по теории вероятностей. Ширяев А.Н. (2006, 416с.)

Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Кн. 1. Ширяев А.Н. и др. (2014, 648с.)

КНИГА ПЕРВАЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ - 1
Предисловие к четвертому изданию 8
Предисловие к третьему изданию 9
Предисловие ко второму изданию 11
Предисловие к первому изданию 13
Введение 16
Глава I. Элементарная теория вероятностей 22
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 23
§ 2. Некоторые классические модели и распределения 38
§ 3. Условные вероятности. Независимость 45
§ 4. Случайные величины и их характеристики 55
§ 5. Схема Бернулли. I. Закон больших чисел 69
§ 6. Схема Бернулли. П. Предельные теоремы (локальная, Муавра—Лапласа, Пуассона) 81
§ 7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли 97
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 103
§ 9. Случайное блуждание. I. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 112
§ 10. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса 123
§ 11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 131
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 139
§ 13. Производящие функции 163
§ 14. Принцип включения-исключения 179
Глава II. Математические основания теории вероятностей 190
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова 191
§ 2. Алгебры и ст-алгебры. Измеримые пространства 201
§ 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах 221
§ 4. Случайные величины. I 244
§ 5. Случайные элементы 251
§ 6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание 256
§ 7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно <т-алгебр 296
§ 8. Случайные величины. II 330
§ 9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями 344
§ 10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин 354
§ 11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом 368
§ 12. Характеристические функции 382
§ 13. Гауссовские системы 410
Глава III. Близость и сходимость вероятностных мер. Центральная предельная теорема 426
§ 1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений 427
§ 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений 437
§ 3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем 443
§ 4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. I. Условие Линдеберга 451
§ 5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. П. Неклассические условия 463
§ 6. Безгранично делимые и устойчивые распределения 468
§ 7. «Метризуемость» слабой сходимости 477
§ 8. О связи слабой сходимости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное («метод одного вероятностного пространства») 482
§ 9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани—Хеллингера и интегралы Хеллингера. При¬менение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер 490
§ 10. Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость вероятностных мер 500
§ 11. 0 скорости сходимости в центральной предельной теореме 505
§ 12. О скорости сходимости в теореме Пуассона 509
§ 13. Фундаментальные теоремы математической статистики 511
Библиографическая справка (главы I—III) 523
Список литературы 527
Предметный указатель 534
Указатель обозначений 549

КНИГА ВТОРАЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ - 2
Предисловие 560
Глава IV. Последовательности и суммы независимых случайных величин 562
§ 1. Законы «нуля или единицы» 563
§ 2. Сходимость рядов 568
§ 3. Усиленный закон больших чисел 574
§ 4. Закон повторного логарифма 585
§ 5. О скорости сходимости в усиленном законе больших чисел и о вероятностях больших уклонений 591
Глава V. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности и эргодическая теория 596
§ 1. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования 597
§ 2. Эргодичность и перемешивание 601
§ 3. Эргодические теоремы 604
Глава VI. Стационарные (в широком смысле) случайные последовательности. 612
§ 1. Спектральное представление ковариационной функции 613
§ 2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы 623
§ 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле) последовательностей 629
§ 4. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности 641
§ 5. Разложение Вольда 648
§ 6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация 657
§ 7. Фильтр Калмана—Бьюси и его обобщения 668
Глава VII. Последовательности случайных величин, образующие мартингал 680
§ 1. Определения мартингалов и родственных понятий 681
§ 2. О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент 693
§ 3. Основные неравенства 707
§ 4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов 724
§ 5. О множествах сходимости субмартингалов и мартингалов 733
§ 6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений на измеримом пространстве с фильтрацией 742
§ 7. Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу 757
§ 8. Центральная предельная теорема для сумм зависимых случайных величин 762
§ 9. Дискретная версия формулы Ито 777
§ 10. Вычисление вероятности разорения в страховании. Мартин-гальный метод 783
§ 11. О фундаментальных теоремах стохастической финансовой математики. Мартингальная характеризация отсутствия арбитража 788
§ 12. О расчетах, связанных с хеджированием в безарбитражных моделях 804
§ 13. Задачи об оптимальной остановке. Мартингальный подход 813
Глава VIII. Последовательности случайных величин, образующие марковскую цепь 824
§ 1. Определения и основные свойства 825
§ 2. Обобщенное марковское и строго марковское свойства 838
§ 3. О проблематике предельных, эргодических и стационарных распределений вероятностей для марковских цепей 847
§ 4. Классификация состояний марковских цепей по алгебраическим свойствам матриц переходных вероятностей 850
§ 5. Классификация состояний марковских цепей по асимптотическим свойствам переходных вероятностей 857
§ 6. О предельных, стационарных и эргодических распределениях для счетных марковских цепей 871
§ 7. О предельных, стационарных и эргодических распределениях для конечных марковских цепей 879
§ 8. Простое случайное блуждание как марковская цепь 880
§ 9. Задачи об оптимальной остановке для марковских цепей 894
Очерк истории становления математической теории вероятностей 914
Библиографическая справка (главы IV—VIII) 938
Список литературы 943
Предметный указатель 950
Указатель обозначений 965

По сравнению с третьим изданием настоящее пополнилось новым материалом. Особо отметим два новых параграфа в первой главе — § 13 «Производящие функции» и § 14 «Принцип включения-исключения».
В элементарной теории вероятностей, оперирующей с дискретным пространством элементарных исходов, и в дискретной математике вообще метод производящих функций является одним из мощных аналитических средств алгебраического характера, применяемых при решении разнообразных задач. В новом § 13 этот метод иллюстрируется как на ряде вероятностно-комбинаторных задач, так и примерами из дискретной математики типа подсчета числа целочисленных решений в линейных соотношениях при тех или иных ограничениях на искомые величины и примерами типа отыскания элементов последовательностей, подчиняющихся рекуррентным соотношениям.
Материал, относящийся к принципу (формулам) включения-исключения, не столь часто выносится в пособия по теории вероятностей, как того этот принцип заслуживает в связи с его эффективностью при решении разного рода вероятностно-комбинаторных задач. В новом § 14 приводятся основные формулы «включения-исключения» и даются примеры их применения.
Отметим, что после выхода в свет третьего издания в двух книгах «Вероятность— 1» и «Вероятность — 2» нами было опубликовано пособие «Задачи по теории вероятностей», упорядоченное в соответствии с содержанием этих книг. Приводимые в этом пособии задачи являются не только «задачами-упражнениями», полезными для контроля усвоения основных понятий и результатов теории вероятностей, но и во многом носят характер «теории в задачах», что дает большой дополнительный материал для углубленного изучения теории вероятностей.
В заключение отметим также, что в ряд разделов книг «Вероятность — 1» и «Вероятность — 2» была внесена правка редакционного характера.