|
Том 1. СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Область рациональных чисел 11
1. Предварительные замечания 11
2. Упорядочение области рациональных чисел 12
3. Сложение и вычитание рациональных чисел 12
4. Умножение и деление рациональных чисел 14
5. Аксиома Архимеда 16
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
6. Определение иррационального числа 17
7. Упорядочение области вещественных чисел 19
8. Вспомогательные предложения 21
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 22
10. Непрерывность области вещественных чисел 24
11. Границы числовых множеств 25
§ 3. Арифметические действия над вещественными
числами 28
12. Определение суммы вещественных чисел 28
13. Свойства сложения 29
14. Определение произведения вещественных чисел 31
15. Свойства умножения 3 2
16. Заключение 34
17. Абсолютные величины 34 § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных
чисел 35
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем 35
19. Степень с любым вещественным показателем 37
20. Логарифмы 39
21. Измерение отрезков 40
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Варианта и ее предел 43
22. Переменная величина, варианта 43
23. Предел варианты 46
24. Бесконечно малые величины 47
25. Примеры 48
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 52
27. Бесконечно большие величины 54
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение
пределов 56
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 56
29. Леммы о бесконечно малых 57
30. Арифметические операции над переменными 58
31. Неопределенные выражения 60
32. Примеры на нахождение пределов 62
33. Теорема Штольца и ее применения 67
§ 3. Монотонная варианта 70
34. Предел монотонной варианты 70
35. Примеры 72
36. Число е 77
31. Приближенное вычисление числа е 79
38. Лемма о вложенных промежутках 82
§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 83
39. Принцип сходимости 83
40. Частичные последовательности и частичные пределы 85
41. Лемма Больцано—Вейерштрасса 87
42. Наибольший и наименьший пределы 89
ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции 93
43. Переменная и область ее изменения 93
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 94
45. Определение понятия функции 95
46. Аналитический способ задания функции 98
47. График функции 100
48. Важнейшие классы функций 102
49. Понятие обратной функции 108
50. Обратные тригонометрические функции 110
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 114
§ 2. Предел функции 115
52. Определение предела функции 115
53. Сведение к случаю варианты 117
54. Примеры 120
55. Распространение теории пределов 128
56. Примеры 130
57. Предел монотонной функции 133
58. Общий признак Больцано—Коши 134
59. Наибольший и наименьший пределы функции 135
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно
больших величин 136
60. Сравнение бесконечно малых 136
61. Шкала бесконечно малых 137
62. Эквивалентные бесконечно малые 139
63. Выделение главной части 141
64. Задачи 143
65. Классификация бесконечно больших 145
§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций 146
66. Определение непрерывности функции в точке 146
67. Арифметические операции над непрерывными функциями 148
68. Примеры непрерывных функций 148
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 150
70. Примеры разрывных функций 151
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции 154
72. Непрерывность элементарных функций 155
73. Суперпозиция непрерывных функций 156
74. Решение одного функционального уравнения 157
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной
функций
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического
косинусов
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162
78. Степенно-показательные выражения 165
79. Примеры 166
§ 5. Свойства непрерывных функций 168
80. Теорема об обращении функции в нуль 168
81. Применение к решению уравнений 170
82. Теорема о промежуточном значении 171
83. Существование обратной функции 172
84. Теорема об ограниченности функции 174
85. Наибольшее и наименьшее значения функции 175
86. Понятие равномерной непрерывности 178
87. Теорема Кантора 179
88. Лемма Бореля 180
89. Новые доказательства основных теорем 182
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная и ее вычисление 186
90. Задача о вычислении скорости движущейся точки 186
91. Задача о проведении касательной к кривой 187
92. Определение производной 189
93. Примеры вычисления производных 193
94. Производная обратной функции 196
95. Сводка формул для производных 198
96. Формула для приращения функции 198
97. Простейшие правила вычисления производных 199
98. Производная сложной функции 202
99. Примеры 203
100. Односторонние производные 209
101. Бесконечные производные 209
102. Дальнейшие примеры особых случаев 211
§ 2. Дифференциал 211
103. Определение дифференциала 211
104. Связь между дифференцируемостью и существованием _ 1. производной
105. Основные формулы и правила дифференцирования 215
106. Инвариантность формы дифференциала 216
107. Дифференциалы как источник приближенных формул 218
108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 220
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
223
109. Теорема Ферма 223
110. Теорема Дарбу 224
111. Теорема Ролля 225
112. Формула Лагранжа 226
113. Предел производной 228
114. Формула Коши 229
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 231
115. Определение производных высших порядков 231
116. Общие формулы для производных любого порядка 232
117. Формула Лейбница 236
118. Примеры 238
119. Дифференциалы высших порядков 241
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших _ ._ порядков
121. Параметрическое дифференцирование 243
122. Конечные разности 244
§ 5. Формула Тейлора 246
123. Формула Тейлора для многочлена 246
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано
125. Примеры 251
126. Другие формы дополнительного члена 254
127. Приближенные формулы 257
§ 6. Интерполирование 263
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 263
129. Дополнительный член формулы Лагранжа 264
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита 265
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции 268
131. Условие постоянства функции 268
132. Условие монотонности функции 270
133. Доказательство неравенств 273
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 276
135. Достаточные условия. Первое правило 278
136. Примеры 280
137. Второе правило 284
138. Использование высших производных 286
139. Разыскание наибольших и наименьших значений 288
140. Задачи 290
§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 294
141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 294
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 296
143. Условия выпуклости функции 298
144. Неравенство Иенсена и его приложения 301
145. Точки перегиба 303
§ 3. Построение графиков функций 305
146. Постановка задачи 305
147. Схема построения графика. Примеры 306
148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 308
149. Примеры 311
§ 4. Раскрытие неопределенностей 314
150. Неопределенность вида 0/0 314
151. Неопределенность вида оо / оо 320
152. Другие виды неопределенностей 322
§ 5. Приближенное решение уравнении 324
153. Вводные замечания 3 24
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) 325
155. Правило Ньютона (метод касательных) 328
156. Примеры и упражнения 331
157. Комбинированный метод 335
158. Примеры и упражнения 336
ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия 340
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 340
160. Функции двух переменных и области их определения 341
161. Арифметическое n-мерное пространство 345
162. Примеры областей в n-мерном пространстве 348
163. Общее определение открытой и замкнутой области 350
164. Функции п переменных 352
165. Предел функции нескольких переменных 354
166. Сведение к случаю варианты 356
167. Примеры 358
168. Повторные пределы 360
§ 2. Непрерывные функции 362
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 362
170. Операции над непрерывными функциями 364
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши 365
172. Лемма Больцано—Вейерштрасса 367
173. Теоремы Вейерштрасса 369
174. Равномерная непрерывность 370
175. Лемма Бореля 372
176. Новые доказательства основных теорем 373
176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 373
177. Частные производные и частные дифференциалы 375
178. Полное приращение функции 378
179. Полный дифференциал 381
180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух _ R_ переменных
181. Производные от сложных функций 386
182. Примеры 388
183. Формула конечных приращений 390
184. Производная по заданному направлению 391
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 394
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 396
187. Однородные функции 399
188. Формула Эйлера 400
§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков 402
189. Производные высших порядков 402
190. Теорема о смешанных производных 404
191. Обобщение 407
192. Производные высших порядков от сложной функции 408
193. Дифференциалы высших порядков 410
194. Дифференциалы сложных функций 413
195. Формула Тейлора 414
§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
417
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые . 17 условия
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 419
198. Достаточные условия (общий случай) 422
199. Условия отсутствия экстремума 425
200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры 427
201. Задачи 431
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей 441
202. Определение функциональных определителей (якобианов) 441
203. Умножение якобианов 442
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 444
§ 2. Неявные функции 447
205. Понятие неявной функции от одной переменной 447
206. Существование неявной функции 449
207. Дифференцируемость неявной функции 451
208. Неявные функции от нескольких переменных 453
209. Вычисление производных неявных функций 460
210. Примеры 463
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции 467
211. Относительные экстремумы 467
212. Метод неопределенных множителей Лагранжа 470
213. Достаточные для относительного экстремума условия 472
214. Примеры и задачи 473
215. Понятие независимости функций 477
216. Ранг матрицы Якоби 479
§ 4. Замена переменных 483
217. Функции одной переменной 483
218. Примеры 485
219. Функции нескольких переменных. Замена независимых .„„ переменных
220. Метод вычисления дифференциалов 489
221. Общий случай замены переменных 491
222. Примеры 493
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 503
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 503
224. Примеры 505
225. Кривые механического происхождения 508
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 511
227. Поверхности и кривые в пространстве 516
228. Параметрическое представление 518
229. Примеры 520
§ 2. Касательная и касательная плоскость 523
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523
231. Примеры 525
232. Касательная в полярных координатах 528
233. Примеры 529
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности
235. Примеры 534
236. Особые точки плоских кривых 535
237. Случай параметрического задания кривой 540
§ 3. Касание кривых между собой 542
238. Огибающая семейства кривых 542
239. Примеры 545
240. Характеристические точки 549
241. Порядок касания двух кривых 551
242. Случай неявного задания одной из кривых 553
243. Соприкасающаяся кривая 554
244. Другой подход к соприкасающимся кривым 556
§ 4. Длина плоской кривой 557
245. Леммы 557
246. Направление на кривой 558
247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги 560
248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги 562
249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 565
§ 5. Кривизна плоской кривой 568
250. Понятие кривизны 568
251. Круг кривизны и радиус кривизны 571
252. Примеры 573
253. Координаты центра кривизны
254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты
255. Свойства эволют и эвольвент
256. Разыскание эвольвент
ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257. Случай функции одной переменной
258. Постановка задачи для двумерного случая
259. Вспомогательные предложения
260. Основная теорема о распространении
261. Обобщение
262. Заключительные замечания
Алфавитный указатель 600
Том 2. СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264. Интеграл и задача об определении площади 14
265. Таблица основных интегралов 17
266. Простейшие правила интегрирования 18
267. Примеры 19
268. Интегрирование путем замены переменной 23
269. Примеры 27
270. Интегрирование по частям 31
271. Примеры 32
§ 2. Интегрирование рациональных
выражений 36
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36
273. Простые дроби и их интегрирование 37
274. Разложение правильных дробей на простые 38
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42
276. Выделение рациональной части интеграла 43
277. Примеры 47
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50
278. Интегрирование выражений вида R .ух + 8
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51
280. Формулы приведения 54
281. Интегрирование выражений вида К\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59
283. Примеры 60
284. Другие приемы вычисления 66
285. Примеры 72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную
функции 74
286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) дх 74
287. Интегрирование выражений sinv xcosto 76
288. Примеры 78
289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84
290. Общие замечания и определения 84
291. Вспомогательные преобразования 86
292. Приведение к канонической форме 88
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94
294. Другой подход к задаче о площади 94
295. Определение 96
296. Суммы Дарбу 97
297. Условие существования интеграла 100
298. Классы интегрируемых функций 101
299. Свойства интегрируемых функций 103
300. Примеры и дополнения 105
301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106
§ 2. Свойства определенных интегралов
108
302. Интеграл по ориентированному промежутку 108
303. Свойства, выражаемые равенствами 109
304. Свойства, выражаемые неравенствами 110
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115
306. Вторая теорема о среднем значении 117
§ 3. Вычисление и преобразование
определенных интегралов 120
307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120
308. Основная формула интегрального исчисления 123
309. Примеры 125
310. Другой вывод основной формулы 128
311. Формулы приведения 130
312. Примеры 131
313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134
314. Примеры 135
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141
316. Другой вывод формулы замены переменной 143
§ 4. Некоторые приложения
определенных интегралов 145
317. Формула Валлиса 145
318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146
319. Трансцендентность числа е 146
320. Многочлены Лежандра 148
321. Интегральные неравенства 151
§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153
323. Параболическое интерполирование 156
324. Дробление промежутка интегрирования 158
325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159
326. Дополнительный член формулы трапеций 161
327. Дополнительный член формулы Симпсона 162
328. Примеры 164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И
ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой 169
329. Вычисление длины кривой 169
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению
331. Примеры 174
332. Натуральное уравнение плоской кривой 180
333. Примеры 183
334. Длина дуги пространственной кривой 185
§ 2. Площади и объемы 186
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186
336. Площадь как предел 188
337. Классы квадрируемых областей 190
338. Выражение площади интегралом 192
339. Примеры 195
340. Определение понятия объема. Его свойства 202
341. Классы тел, имеющих объемы 204
342. Выражение объема интегралом 205
343. Примеры 208
344. Площадь поверхности вращения 214
345. Примеры 217
346. Площадь цилиндрической поверхности 220
347. Примеры 222
§ 3. Вычисление механических и физических величин 225
348. Схема применения определенного интеграла 225
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228
350. Примеры 229
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
352. Примеры 232
353. Механическая работа 233
354. Примеры 235
355. Работа силы трения в плоской пяте 237
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239
§ 4. Простейшие дифференциальные
уравнения 244
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение
переменных
359. Задачи 247
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253
361. Задачи 254
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение 257
362. Основные понятия 257
363. Примеры 258
364. Основные теоремы 260
§ 2. Сходимость положительных рядов
262
365. Условие сходимости положительного ряда 262
366. Теоремы сравнения рядов 264
367. Примеры 266
368. Признаки Коши и Даламбера 270
369. Признак Раабе 272
370. Примеры 274
371. Признак Куммера 277
372. Признак Гаусса 279
373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281
374. Признак Ермакова 285
375. Дополнения 287
§ 3. Сходимость произвольных рядов 293
376. Общее условие сходимости ряда 293
377. Абсолютная сходимость 294
378. Примеры 296
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300
381. Знакопеременные ряды 3 02
382. Примеры 303
383. Преобразование Абеля 305
384. Признаки Абеля и Дирихле 307
385. Примеры 308
§ 4. Свойства сходящихся рядов 313
386. Сочетательное свойство 313
3 87. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316
389. Умножение рядов 320
390. Примеры 323
391. Общая теорема из теории пределов 325
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327
§ 5. Повторные и двойные ряды 329
393. Повторные ряды 329
394. Двойные ряды 333
395. Примеры 338
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346
397. Примеры 348
398. Кратные ряды 350
§ 6. Бесконечные произведения 350
399. Основные понятия 350
400. Примеры 351
401. Основные теоремы. Связь с рядами 353
402. Примеры 356
§ 7. Разложения элементарных функций 364
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и
др.
405. Логарифмический ряд 368
406. Формула Стерлинга 369
407. Биномиальный ряд 371
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374
§ 8.
Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378
409. Общие замечания 378
410. Вычисление числа к 379
411. Вычисление логарифмов 381
412. Вычисление корней 383
413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84
414. Примеры 386
415. Преобразование Куммера 388
416. Преобразование Маркова 392
§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394
417. Введение 394
418. Метод степенных рядов 396
419.Теорема Тау бера 398
420. Метод средних арифметических 401
421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403
422. Теорема Харди—Ландау 405
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408
425. Примеры 413
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость 419
427. Вводные замечания 419
428. Равномерная и неравномерная сходимости 421
429. Условие равномерной сходимости 425
430. Признаки равномерной сходимости рядов 427
§ 2. Функциональные свойства
суммы ряда 430
431. Непрерывность суммы ряда 430
432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432
433. Почленный переход к пределу 434
434. Почленное интегрирование рядов 436
435. Почленное дифференцирование рядов 438
436. Точка зрения последовательности 441
437. Непрерывность суммы степенного ряда 444
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447
§ 3. Приложения 450
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу
440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474
443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477
444. Пример непрерывной функции без производной 479
§ 4. Дополнительные сведения
о степенных рядах 481
445. Действия над степенными рядами 481
446. Подстановка ряда в ряд 485
447. Примеры 487
448. Деление степенных рядов 492
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494
450. Решение уравнений рядами 498
451. Обращение степенного ряда 502
452. Ряд Лагранжа 505
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508
453. Комплексные числа 508
454. Комплексная варианта и ее предел 511
455. Функции комплексной переменной 513
456. Степенные ряды 515
457. Показательная функция 518
458. Логарифмическая функция 520
459. Тригонометрические функции и им обратные 522
460. Степенная функция 526
461. Примеры 527
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена
531
462. Примеры 531
463. Определения 533
464. Основные свойства асимптотических разложений 536
465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540
466. Исследование дополнительного члена 542
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544
468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547
469. Формула и ряд Стерлинга 550
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552
470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552
471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554
472. Примеры 555
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559
475. Сходимость интеграла в общем случае 561
476. Признаки Абеля и Дирихле 563
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566
478. Примеры 569
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577
479. Определение интегралов от неограниченных функций 577
480. Замечание относительно особых точек 581
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры
482. Условия и признаки существования интеграла 584
483. Примеры 587
484. Главные значения несобственных интегралов 590
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595
§ 3. Свойства
и преобразование несобственных интегралов 597
486. Простейшие свойства 597
487. Теоремы о среднем значении 600
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602
489. Примеры 602
490. Замена переменных в несобственных интегралах 604
491. Примеры 605
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611
492. Некоторые замечательные интегралы 611
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм.
Случай интегралов с конечными пределами
494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617
495. Интегралы Фруллани 621
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами
497. Смешанные примеры и упражнения 629
§ 5. Приближенное вычисление
несобственных интегралов 641
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641
499. Примеры 642
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом
502. Использование асимптотических разложений 650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория 654
503. Постановка задачи 654
504. Равномерное стремление к предельной функции 654
505. Перестановка двух предельных переходов 657
506. Предельный переход под знаком интеграла 659
507. Дифференцирование под знаком интеграла 661
508. Интегрирование под знаком интеграла 663
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665
510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668
511. Примеры 669
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682
513. Определение равномерной сходимости интегралов 682
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684
515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684
516. Другой случай равномерной сходимости 687
517. Примеры 689
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694
518. Предельный переход под знаком интеграла 694
519. Примеры 697
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710
521. Интегрирование интеграла по параметру 714
522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733
§ 4. Дополнения 743
525. Лемма Арцела 743
526. Предельный переход под знаком интеграла 745
527. Дифференцирование под знаком интеграла 748
528. Интегрирование под знаком интеграла 749
§ 5. Эйлеровы интегралы 750
529. Эйлеров интеграл первого рода 750
530. Эйлеров интеграл второго рода 753
531. Простейшие свойства функции Г 754
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760
533. Другая функциональная характеристика функции Г 762
534. Примеры 764
535. Логарифмическая производная функции Г 770
536. Теорема умножения для функции Г 772
537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774
538. Примеры и дополнения 775
539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782
540. Формула Стерлинга 789
541. Вычисление эйлеровой постоянной 792
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793
Алфавитный указатель 795
Алфавитный указатель |
Том 3. СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа
11
543. Определение криволинейного интеграла первого типа 11
544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу 13
545. Примеры 15
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа 20
546. Определение криволинейных интегралов второго типа 20
547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа
548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости 25
549. Примеры 27
550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной 30
551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 32
552. Примеры 35
553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов 38
554. Физические задачи 40 § 3. Условия независимости криволинейного интеграла от
пути 45
555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале 45
556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути 46
557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную 49
558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае
прямоугольной области
559. Обобщение на случай произвольной области 52
560. Окончательные результаты 55
561. Интегралы по замкнутому контуру 56
562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек 57
563. Интеграл Гаусса 62
564. Трехмерный случай 64
565. Примеры 67
566. Приложение к физическим задачам 71
§ 4. Функции с ограниченным изменением 74
567. Определение функции с ограниченным изменением 74
568. Классы функций с ограниченным изменением 76
569. Свойства функций с ограниченным изменением 79
570. Критерии для функций с ограниченным изменением 82
571. Непрерывные функции с ограниченным изменением 84
572. Спрямляемые кривые 87
§ 5. Интеграл Стилтьеса 89
573. Определение интеграла Стилтьеса 89
574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса 91
575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 92
576. Свойства интеграла Стилтьеса 95
577. Интегрирование по частям 97
578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана 98
579. Вычисление интегралов Стилтьеса 100
580. Примеры 104
581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса 111
582. Теорема о среднем, оценки 112
583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 114
584. Примеры и дополнения 115
585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства
двойного интеграла 122
586. Задача об объеме цилиндрического бруса 122
587. Сведение двойного интеграла к повторному 123
588. Определение двойного интеграла 125
589. Условия существования двойного интеграла 127
590. Классы интегрируемых функций 128
591. Нижний и верхний интегралы как пределы 130
592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов 131
593. Интеграл, как аддитивная функция области; дифференцирование по области
§ 2. Вычисление двойного интеграла 137
594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области
595. Примеры 141
596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
597. Примеры 152
598. Механические приложения 165
599. Примеры 167
§ 3. Формула Грина 174
600. Вывод формулы Грина 174
601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов
602. Примеры и дополнения 179
§ 4. Замена переменных в двойном интеграле 182
603. Преобразование плоских областей 182
604. Примеры 184
605. Выражение площади в криволинейных координатах 189
606. Дополнительные замечания 192
607. Геометрический вывод 194
608. Примеры 196
609. Замена переменных в двойных интегралах 204
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области
611. Примеры 207
§ 5. Несобственные двойные интегралы 214
612. Интегралы, распространенные на неограниченную область 214
613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла
614. Приведение двойного интеграла к повторному 219
615. Интегралы от неограниченных функций 221
616. Замена переменных в несобственных интегралах 223
617. Примеры 225
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. ПЛОЩАДЬ
ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности 241
618. Сторона поверхности 241
617. Примеры 243
620. Ориентация поверхностей и пространства 244
621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали 246
622. Случай кусочно-гладкой поверхности 247
§ 2. Площадь кривой поверхности 248
623. Пример Шварца 248
624. Определение площади кривой поверхности 251
625. Замечание 252
626. Существование площади поверхности и ее вычисление 253
627. Подход через вписанные многогранные поверхности 258
628. Особые случаи определения площади 259
629. Примеры 260
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа 274
630. Определение поверхностного интеграла первого типа 274
631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу 275
632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа 277
633. Примеры 279
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа 285
634. Определение поверхностного интеграла второго типа 285
635. Простейшие частные случаи 287
636. Общий случай 290
637. Деталь доказательства 292
638. Выражение объема тела поверхностным интегралом 293
639. Формула Стокса 297
640. Примеры 299
641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в
пространстве
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ
И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление
308
642. Задача о вычислении массы тела 308
643. Тройной интеграл и условия его существования 309
644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов 310
645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед
646. Вычисление тройного интеграла по любой области 314
647. Несобственные тройные интегралы 315
648. Примеры 316
649. Механические приложения 323
650. Примеры 325
§ 2. Формула Гаусса—Остроградского 333
651. Формула Остроградского 333
652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов
653. Интеграл Гаусса 336
654. Примеры 338
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах 342
655. Преобразование пространств и криволинейные координаты 342
656. Примеры 343
657. Выражение объема в криволинейных координатах 345
658. Дополнительные замечания 348
659. Геометрический вывод 349
660. Примеры 350
661. Замена переменных в тройных интегралах 358
662. Примеры 359
663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку 364
§ 4. Элементы векторного анализа 366
664. Скаляры и векторы 366
665. Скалярное и векторное поля 367
666. Градиент 368
667. Поток вектора через поверхность 370
668. Формула Остроградского. Дивергенция 371
669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь 372
670. Специальные поля 374
671. Обратная задача векторного анализа 378
672. Приложения 378
§ 5. Многократные интегралы 384
673. Задача о притяжении и потенциале двух тел 384
674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл 386
675. Замена переменных в n-кратном интеграле 388
676. Примеры 391
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. РЯДЫ
ФУРЬЕ
§ 1.Введение 414
677. Периодические величины и гармонический анализ 414
678. Определение коэффициентов по методу Эйлера—Фурье 417
679. Ортогональные системы функций 419
680. Тригонометрическое интерполирование 424
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье 427
681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле 427
682. Первая основная лемма 429
683. Принцип локализации 432
684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье 433
685. Вторая основная лемма 436
686. Признак Дирихле—Жордана 438
687. Случай непериодической функции 440
688. Случай произвольного промежутка 441
689. Разложения только по косинусам или только по синусам 442
690. Примеры 446
691. Разложение In Г(х) 461
§ 3. Дополнения 463
692. Ряды с убывающими коэффициентами 463
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций
комплексной переменной
694. Примеры 472
695. Комплексная форма рядов Фурье 477
696. Сопряженный ряд 480
697. Кратные ряды Фурье 483
§ 4. Характер сходимости рядов Фурье 484
698. Некоторые дополнения к основным леммам 484
699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье 487
700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай 490
701. Случай произвольной функции 495
702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания 497
703. Построение особенностей 500
§ 5. Оценка остатка в зависимости от
дифференциальных свойств функции 502
704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных 502
705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции 503
706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной 505
707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов
Фурье
709. Случай функции, заданной в промежутке [0, к] 514
710. Метод выделения особенностей 516
§ 6. Интеграл Фурье 524
711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 524
712. Предварительные замечания 526
713. Достаточные признаки 527
714. Видоизменение основного предположения 529
715. Различные виды формулы Фурье 532
716. Преобразование Фурье 534
717. Некоторые свойства преобразований Фурье 537
718. Примеры и дополнения 538
719. Случай функции двух переменных 545
§ 7. Приложения 547
720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию
721. Задача о колебании струны 549
722. Задача о распространении тепла в конечном стержне 553
723. Случай бесконечного стержня 557
724. Видоизменение предельных условий 559
725. Распространение тепла в круглой пластине 561
726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат
727. Примеры 565
728. Схема для двадцати четырех ординат 569
729. Примеры 570
730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ
(продолжение)
§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и
замкнутость 574
731. Почленное интегрирование ряда Фурье 574
732. Почленное дифференцирование ряда Фурье 577
733. Полнота тригонометрической системы 578
734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса 580
735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье
736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова 586
737. Обобщенное уравнение замкнутости 589
738. Умножение рядов Фурье 592
739. Некоторые приложения уравнения замкнутости 593
§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к
рядам Фурье 599
740. Основная лемма 599
741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля 601
742. Решение задачи Дирихле для круга 605
743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро—Фейера 607
744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье 609
745. Почленное дифференцирование рядов Фурье 611
§ 3. Единственность тригонометрического разложения
функции 613
746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных 613
747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов 616
748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда 620
749. Единственность тригонометричеекого разложения 621
750. Заключительные теоремы о рядах Фурье 623
751. Обобщение 626
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА
ПРЕДЕЛ
752. Различные виды пределов,
встречающиеся в анализе 631
753. Упорядоченные множества (в собственном смысле) 632
754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле) 633
755. Упорядоченная переменная и ее предел 636
756. Примеры 637
757. Замечание о пределе функции 639
758. Распространение теории пределов 640
759. Одинаково упорядоченные переменные 643
760. Упорядочение с помощью числового параметра 644
761. Сведение к варианте 645
762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной 647
|
